2018-2019学年安徽省宿州市高一下学期期末联考数学试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年安徽省宿州市十三所省重点中学高一下学期期末联考数学试题 一、单选题 ‎1．下列结论正确的是（ ）‎ A．若则； B．若，则 C．若，则 D．若，则；‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据不等式的性质，结合选项，进行逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 因，则当时，；当时，，故A错误；‎ 因，则或，故B错误；‎ 因，才有，条件不足，故C错误；‎ 因，则，则只能是，故D正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的基本性质，需要对不等式的性质非常熟练，属基础题.‎ ‎2．等差数列的前项之和为，若，则为（ ）‎ A．45 B．54‎ C．63 D．27‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列的性质，可知，利用等差数列的前n项和公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的性质，可知，‎ 又由等差数列的前n项和公式，可得，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，以及利用等差数列的求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎3．高一某班男生36人，女生24人，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若抽出的女生为12人，则的值为（ ）‎ A．18 B．20 C．30 D．36‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据分层抽样等比例抽样的特点，进行计算即可.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，可得，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样的等比例抽取的性质，属基础题.‎ ‎4．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据不等式组画出可行域，数形结合解决问题.‎ ‎【详解】‎ 不等式组确定的可行域如下图所示：‎ 因为可化简为 与直线平行，且其在轴的截距与成正比关系，‎ 故当且仅当目标函数经过和的交点时，取得最小值，‎ 将点的坐标代入目标函数可得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查常规线性规划问题，属基础题，注意数形结合即可.‎ ‎5．的三内角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将进行整理，反凑余弦定理，即可得到角.‎ ‎【详解】‎ 因为 即 故可得 又 故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理的变形，属基础题.‎ ‎6．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(　　)‎ A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 ‎【答案】D ‎【解析】利用对立事件的概念求解．‎ ‎【详解】‎ 根据对立事件的定义，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件．‎ 一个人打靶时连续射击两次的结果可记作{（中，中），（中，不中），（不中，中），（不中，不中）} ‎ ‎“至少有一次中靶”即为{（中，中），（中，不中），（不中，中）} ，‎ ‎“至多有一次中靶”即为{（中，不中），（不中，中），（不中，不中）} ，‎ ‎“两次都中靶”即为{（中，中）} ，“只有一次中靶”即为{（中，不中），（不中，中）}， ‎ ‎“两次都不中靶” 即为{（不中，不中）}， ‎ 事件“至少有一次中靶”的对立事件是：两次都不中靶．故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对立事件的定义应用．‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】模拟执行循环体的过程，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 根据程序框图，模拟执行如下：‎ ‎，满足，‎ ‎，满足，‎ ‎，满足，‎ ‎，不满足，输出.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图中循环体的执行，属基础题.‎ ‎8．已知一组正数的平均数为，方差为，则的平均数与方差分别为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据平均数的性质和方差的性质即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 根据平均数的线性性质，以及方差的性质：‎ 将一组数据每个数扩大2倍，且加1，则平均数也是同样的变化，‎ 方差变为原来的4倍，‎ 故变换后数据的平均数为：；方差为4.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平均数和方差的性质，属基础题.‎ ‎9．盒中装有除颜色以外，形状大小完全相同的3个红球、2个白球、1个黑球，从中任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（ ）‎ A．至少有一个白球；至少有一个红球 B．至少有一个白球；红、黑球各一个 C．恰有一个白球：一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；都是白球 ‎【答案】B ‎【解析】根据对立事件和互斥事件的定义，对每个选项进行逐一分析即可.‎ ‎【详解】‎ 从6个小球中任取2个小球，共有15个基本事件，‎ 因为存在事件：取出的两个球为1个白球和1个红球，‎ 故至少有一个白球；至少有一个红球，这两个事件不互斥，故A错误；‎ 因为存在事件：取出的两个球为1个白球和1个黑球，‎ 故恰有一个白球：一个白球一个黑球，这两个事件不互斥，故C错误；‎ 因为存在事件：取出的两个球都是白球，‎ 故至少有一个白球；都是白球，这两个事件不互斥，故D错误；‎ 因为至少有一个白球，包括：1个白球和1个红球，1个白球和1个黑球，‎ ‎2个白球这3个基本事件；红、黑球各一个只包括1个红球1个白球这1个基本事件，‎ 故两个事件互斥，因还有其它基本事件未包括，故不对立.故B正确.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查互斥事件和对立事件的辨析，属基础题.‎ ‎10．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于频率分布直方图的组距为5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)两组各一人，去掉B，应选A．‎ ‎11．已知函数，当时，取得最小值，则等于（ ）‎ A．9 B．7 C．5 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】先对函数进行配凑，使得能够使用均值不等式，再利用均值不等式，求得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为 故 当且仅当，即时，取得最小值.‎ 故，则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查均值不等式的使用，属基础题；需要注意均值不等式使用的条件.‎ ‎12．已知数列的通项为，我们把使乘积为整数的叫做“优数”，则在内的所有“优数”的和为（ ）‎ A．1024 B．2012 C．2026 D．2036‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据优数的定义，结合对数运算，求得的范围，再用等比数列的前项和公式进行求和.‎ ‎【详解】‎ 根据优数的定义，‎ 令，则可得 令，解得 则在内的所有“优数”的和为：‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新定义问题，本质是考查对数的运算，等比数列前项和公式.‎ 二、填空题 ‎13．如图，在水平放置的边长为1的正方形中随机撤1000粒豆子，有400粒落到心形阴影部分上，据此估计心形阴影部分的面积为_________.‎ ‎【答案】0.4‎ ‎【解析】根据几何概型的计算，反求阴影部分的面积即可.‎ ‎【详解】‎ 设阴影部分的面积为，根据几何概型的概率计算公式：‎ ‎，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型的概率计算公式，属基础题.‎ ‎14．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价（单位：元）和销售量（单位：件）之间的四组数据如下表，为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量与售价之间的线性回归方程，那么方程中的值为___________.‎ 售价 ‎4‎ ‎4.5‎ ‎5.5‎ ‎6‎ 销售量 ‎12‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎9‎ ‎【答案】17.5‎ ‎【解析】计算，根据回归直线方程必过样本中心点即可求得.‎ ‎【详解】‎ 根据表格数据：；‎ ‎，‎ 根据回归直线过点，‎ 则可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归直线方程的性质：即回归直线经过样本中心点.‎ ‎15．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为_________．‎ ‎【答案】0.5‎ ‎【解析】由互斥事件的概率加法求出射手在一次射击中超过8环的概率，再利用对立事件的概率求出不超过8环的概率即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，‎ 所以射手的一次射击中超过8环的概率为：0.2+0.3=0.5‎ 故射手的一次射击中不超过8环的概率为：1-0.5=0.5‎ 故答案为0.5‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对立事件的概率，属于基础题.‎ ‎16．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是____________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为不等式有解，所以，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号是成立的，所以，所以，即，解得或.‎ ‎【考点】不等式的有解问题和基本不等式的求最值.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．‎ 一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.‎ ‎(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；‎ ‎(Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】【详解】‎ 古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点 ‎（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果，可以列举出，而满足条件的事件数字之和大于7的，可以从列举出的结果中看出．‎ ‎（2）列举出每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字3，从前面列举出的结果中找出来．‎ 解：(Ⅰ)设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共4种，‎ 数字之和大于或等于7的是（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共3种， ‎ 所以P(A)=. ‎ ‎(Ⅱ)设B表示事件“至少一次抽到2”，‎ 第一次抽 ‎1张，放回后再抽取1张的全部可能结果为：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个 ‎ 事件B包含的结果有（1、2）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、2）（4、2），共7个 所以所求事件的概率为P(B)=.‎ ‎18．已知关于的不等式.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当且m≠1时，求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，解集为；当或时，解集为 ‎【解析】（1）当时，不等式是一个不含参的二次不等式，分解因式，即可求得；‎ ‎（2）对参数进行分类讨论，从而确定不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，原不等式为 故其解集为 ‎（2）令则方程两根为.‎ 因为所以 ‎①当即时，解集为；‎ ‎②当即或时，解集为.‎ 综上可得：①当即时，解集为；‎ ‎②当即或时，解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不含参二次不等式的求解，以及含参不等式的求解，属基础题.‎ ‎19．某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．‎ ‎（1）求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结 果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？‎ ‎（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．‎ ‎【答案】（1）甲班参加；（2）．‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）由题意知求出x=5，y=6．从而求出乙班学生的平均数为83，分别求出S12和S22，根据甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小，得到应该选派甲班的学生参加决赛．‎ ‎（2）成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，由此能求出随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率．‎ 试题解析：（1）甲班的平均分为，易知．‎ ‎；又乙班的平均分为，∴；‎ ‎∵，，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．‎ ‎（2）分及以上甲班有人，设为；乙班有人，设为，从这人中抽取人的选法有：，共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为．‎ ‎【考点】1．古典概型及其概率计算公式；2．茎叶图．‎ ‎20．某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎（1）画出散点图；‎ ‎（2）求线性回归方程；‎ ‎（3）试预测广告费支出为10万元时，销售额为多少？‎ 附：公式为：，参考数字：，.‎ ‎【答案】(1)散点图见详解；(2)；(3)万元.‎ ‎【解析】（1）根据表格数据，绘制散点图即可；‎ ‎（2）根据参考数据，结合表格数据，分别求解回归直线方程的系数即可；‎ ‎（3）令（2）中所求回归直线中，即可求得预测值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据表格中的5组数据，绘制散点图如下：‎ ‎（2）由表格数据可知：‎ ‎，‎ 故可得 故所求回归直线方程为.‎ ‎（3）由（2）知，‎ 令，解得.‎ 故广告费支出为10万元时，销售额为万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查散点图的绘制，线性回归直线方程的求解，以及应用回归直线方程进行预测，属综合性基础题.‎ ‎21．的内角所对的边分别为，向量，若.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ ‎【解析】（1）根据向量的数量积定义，结合余弦的倍角公式，即可求得；‎ ‎（2）由余弦定理，及（1）中所求角度，即可直接求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知易得：‎ 所以，又 故.‎ ‎（2）由及余弦定理可得：‎ 所以，所以 得：（舍）‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理，余弦的倍角公式，涉及向量的数量积，属基础题.‎ ‎22．已知数列是递增的等比数列，且 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为q，，根据已知由等比数列的性质可得，联立解方程再由数列为递增数列可得则通项公式可得 ‎（2）根据等比数列的求和公式，有所以，裂项求和即可 试题解析：（1）设等比数列的公比为q，所以有 联立两式可得或者又因为数列为递增数列，所以q>1，所以 数列的通项公式为 ‎（2）根据等比数列的求和公式，有 所以 所以 ‎【考点】等比数列的通项公式和性质，数列求和