2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第九章　7 第7讲　抛物线 8页

‎[基础题组练]‎ ‎1．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)‎ A．－　　　　　　　　　 B．－1‎ C．－ D．－ 解析：选C.由已知得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2，0)．又A(－2，3)，所以直线AF的斜率k＝＝－.‎ ‎2．已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)的准线与抛物线C2：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是(　　)‎ A．x2＝2y B．x2＝y C．x2＝y D．x2＝y 解析：选A.由题意得，F，不妨设A，B(－p，－)，所以S△FAB＝·2p·p＝1，则p＝1，即抛物线C1的方程是x2＝2y，故选A.‎ ‎3．(2020·丽水调研)已知等边△ABF的顶点F是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l，则点A的位置(　　)‎ A．在C开口内 B．在C上 C．在C开口外 D．与p值有关 解析：选B.设B，由已知有AB中点的横坐标为，则A，△ABF是边长|AB|＝2p的等边三角形，即|AF|＝ ＝2p，所以p2＋m2＝4p2，所以m＝±p，所以A，代入y2＝2px中，得点A在抛物线C上，故选B.‎ ‎4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　　)‎ A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|‎ B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2‎ C．|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|‎ D．|FP1|·|FP3|＝|FP2|2‎ 解析：选C.根据抛物线的定义知|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，‎ 所以|FP1|＋|FP3|＝＋＝(x1＋x3)＋p＝2x2＋p＝2＝2|FP2|.‎ ‎5．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是(　　)‎ A．4 B．3 C．4 D．8‎ 解析：选C.F(1，0)，直线AF：y＝(x－1)，代入y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，‎ 解得x＝3或x＝.‎ 由于点A在x轴上方且直线的斜率为，所以其坐标为(3，2)．‎ 因为|AF|＝|AK|＝3＋1＝4，AF的斜率为，即倾斜角为60°，所以∠KAF＝60°，‎ 所以△AKF为等边三角形，‎ 所以△AKF的面积为×42＝4.‎ ‎6．(2020·杭州市高考模拟)设倾斜角为α的直线l经过抛物线Г：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线Г交于A，B两点，设点A在x轴上方，点B在x轴下方．若＝m，则cos α的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.设抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l：x＝－.‎ 如图所示，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足分别为M，N.‎ 在△ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角α，‎ 由＝m，|AF|＝m|BF|，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(m＋1)|BF|，‎ 根据抛物线的定义得，|AM|＝|AF|＝m|BF|，|BN|＝|BF|，‎ 所以|AC|＝|AM|－|MC|＝m|BF|－|BF|＝(m－1)|BF|，‎ 在Rt△ABC中，cos α＝cos ∠BAC＝＝＝，故选A.‎ ‎7．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为________．‎ 解析：设M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|＝xM＋＝2p，解得xM＝，代入抛物线方程可得yM＝±p，则直线MF的斜率为＝＝±.‎ 答案：± ‎8．已知抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，○·M的方程为x2＋y2＋8x＋12＝0，如果抛物线C的准线与○·M相切，那么p的值为________．‎ 解析：将○·M的方程化为标准方程(x＋4)2＋y2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r＝2，又因为抛物线的准线方程为x＝－，所以＝2，p＝12或4.‎ 答案：12或4‎ ‎9．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．‎ 解析：由题意得抛物线与圆不相交，‎ 且圆的圆心为A(3，0)，‎ 则|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1，‎ 当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，‎ 所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小．‎ 设P(x0，y0)，则y＝x0，|PA|＝＝＝ ，当且仅当x0＝时，|PA|取得最小值，此时|PQ|取得最小值－1.‎ 答案：－1‎ ‎10．(2020·浙江省名校协作体高三联考)抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且过点(4，4)，焦点为F.‎ ‎(1)求抛物线的焦点坐标和标准方程；‎ ‎(2)P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．‎ 解：(1)抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点(4，4)，设抛物线解析式为y2＝2px，把(4，4)代入，得16＝2×4p，所以p＝2，‎ 所以抛物线的标准方程为y2＝4x，焦点坐标为F(1，0)．‎ ‎(2)设M(x，y)，P(x0，y0)，F(1，0)，M是PF的中点，则x0＋1＝2x，0＋y0＝2y，‎ 所以x0＝2x－1，y0＝2y，‎ 因为P是抛物线上一动点，所以y＝4x0，‎ 所以(2y)2＝4(2x－1)，化简得y2＝2x－1.‎ 所以M的轨迹方程为y2＝2x－1.‎ ‎11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．‎ 解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，‎ 于是4＋＝5，所以p＝2.‎ 所以抛物线方程为y2＝4x.‎ ‎(2)因为点A的坐标是(4，4)，‎ 由题意得B(0，4)，M(0，2)．‎ 又因为F(1，0)，所以kFA＝，‎ 因为MN⊥FA，所以kMN＝－.‎ 又FA的方程为y＝(x－1)，①‎ MN的方程为y－2＝－x，②‎ 联立①②，解得x＝，y＝，‎ 所以点N的坐标为.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·台州书生中学月考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°，过AB的中点M作抛物线准线l的垂线MN，垂足为N，则的最大值为(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ 解析：选A.过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，连接AF，BF，由抛物线的定义知|MN|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)，在△AFB中，|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|·cos 120°＝|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|.‎ 所以＝· ‎＝ ‎＝≤×＝，‎ 当且仅当|AF|＝|BF|时取等号，所以的最大值为.‎ ‎2．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)‎ A．2 B．3‎ C. D. 解析：选B.设A(x1，)，B(x2，－)，‎ 则S△AFO＝×＝.‎ 由·＝2得x1x2－＝2，‎ 即x1x2－－2＝0，解得x1x2＝4，‎ 所以(||·||)2＝(x＋x1)(x＋x2)‎ ‎＝xx＋x1x2·(x1＋x2)＋x1x2＝20＋4(x1＋x2)，‎ 因为cos∠AOB＝，‎ 所以sin∠AOB＝ ‎＝‎ 所以S△AOB＝||||sin∠AOB ‎＝||||‎ ‎＝ ‎＝＝ ‎＝＝＋，‎ 所以S△ABO＋S△AFO＝＋≥2＝3，当＝，即x1＝时等号成立．‎ ‎3．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝________．‎ 解析：依题知C，F，因为点C，F在抛物线上，所以两式相除得－2－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍)．‎ 答案：1＋ ‎4．(2020·台州市高考模拟)如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若＝4，则||＝________．‎ 解析：分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，则|DF|＝p＝2，由抛物线的定义可知|FB|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，‎ 因为＝4，所以＝＝，‎ 所以|FB|＝|BB1|＝.‎ 所以|FC|＝4|FB|＝6，‎ 所以cos ∠DFC＝＝，‎ 所以cos ∠A1AC＝＝＝，解得|AF|＝3，‎ 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝3＋＝.‎ 答案： ‎5．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点．‎ ‎(1)当|PF|＝2时，求点P的坐标；‎ ‎(2)求点P到直线y＝x－10的距离的最小值．‎ 解：(1)由抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点，‎ 故设P(a＞0)，‎ 因为|PF|＝2，结合抛物线的定义得＋1＝2，‎ 所以a＝2，所以点P的坐标为(2，1)．‎ ‎(2)设点P的坐标为P(a＞0)，则点P到直线y＝x－10的距离为＝.‎ 因为－a＋10＝(a－2)2＋9，‎ 所以当a＝2时，－a＋10取得最小值9，‎ 故点P到直线y＝x－10的距离的最小值为.‎ ‎6．(2020·杭州宁波二市三校联考)已知A，B，C是抛物线y2＝2px(p＞0)上三个不同的点，且AB⊥AC.‎ ‎(1)若A(1，2)，B(4，－4)，求点C的坐标；‎ ‎(2)若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标．‎ 解：(1)因为A(1，2)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.‎ 设C，则由kAB·kAC＝－1，即·＝－1，解得t＝6，即C(9，6)．‎ ‎(2)设A(x0，y0)，B，C，则y＝2px0，‎ 直线BC的方程为＝，即(y1＋y2)y＝2px＋y1y2，由kAB·kAC＝·＝－1，‎ 得y0(y1＋y2)＋y1y2＋y＝－4p2，‎ 与直线BC的方程联立，化简，得(y1＋y2)(y＋y0)＝2p(x－2p－x0)，故直线BC恒过点E(x0＋2p，－y0)．‎ 因此直线AE的方程为y＝－(x－x0)＋y0，‎ 代入抛物线的方程y2＝2px(p＞0)，‎ 得点D的坐标为.‎ 因为线段AD总被直线BC平分，‎ 所以 解得x0＝，y0＝±p，‎ 即点A的坐标为.‎