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  • 2021-06-30 发布

2019学年高二数学下学期期末考试试题 理 新人教版

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- 1 - 2019 学年度下学期高二年级数学学科(理)期末考试试题 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.设集合 M={-1,1},N={x|x2-x<6},则下列结论正确的是( ) A.N⊆M B.M∩N= C.M⊆N D.M∩N=R 2.函数 f(x)= x+3+log2(6-x)的定义域是( ) A.(6,+∞) B.(-3,6) C.(-3,+∞) D.[-3,6) 3.sin1,cos1,tan1 的大小关系是( ) A.sin1<cos1<tan1 B.tan1<sin1<cos1 C.cos1<tan1<sin1 D.cos1<sin1<tan1 4.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( ) A..y=e-x B.y=x3 C.y=ln x D.y=|x| 5.集合 A={x|x-2<0},B={x|x<a},若 A∩B=A,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-2] B.[-2,+∞) C.(-∞,2] D.[2,+∞) 6.设等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,已知 S3=8,S6=7,则 a7+a8+a9 等于( ) A.1 8 B.-1 8 C.57 8 D.55 8 7.执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为( ) A.2 B.3 2 C.5 3 D.8 5 - 2 - 8.如图是依据某城市年龄在 20 岁到 45 岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图, 现已知年龄在[30,35),[35,40),[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布,则年龄在 [35,40)的网民出现频率为( ) A.0.04 B.0.06 C.0.2 D.0.3 9.甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方 法分别求得相关系数 r 与残差的平方和 m 如下表: 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 10.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的 是( ) A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β B.若 m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β C.若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β D.若 m∥n,m∥α,则 n∥α 11.如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)在区间 -π 6 ,5π 6 上的图象, 为了得到 y=sinx(x∈R)的图象,只需将函数 f(x)的图象上所有的点( ) - 3 - A.向左平移π 3 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2 ,纵坐标不变 B.向右平移π 3 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 C.向左平移π 6 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2 ,纵坐标不变 D.向右平移π 6 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 12.已知正棱锥 S-ABC 的底面边长为 4,高为 3,在正棱锥内任取一点 P,使得 VP-ABC<1 2 VS -ABC 的概率是( ) A.3 4 B.7 8 C.1 2 D.1 4 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.已知向量 a=(sinθ,-2)与 b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈ 0,π 2 ,则 cosθ=________. 14.已知 f(x)是奇函数,g(x)= )( )(2 xf xf .若 g(2)=3,则 g(-2)=________. 15.如图,矩形 ABCD 中,AB=2BC=4,E 为边 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻转成△A1DE. 若 M 为线段 A1C 的中点,则在△ADE 翻转过程中: ①|BM|是定值; ②点 M 在圆上运动; ③一定存在某个位置,使 DE⊥A1C; ④一定存在某个位置,使 MB∥平面 A1DE. 其中正确的命题是 16.若实数 x,y 满足 xy>0,则 x x+y + 2y x+2y 的最大值为 - 4 - 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=sin x+π 12 ,x∈R. (1)求 f -π 4 的值; (2)若 cosθ=4 5 ,θ∈ 0,π 2 ,求 f 2θ-π 3 的值. 18.(本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1,数列{bn}满足:b1=3,bn+1=an+bn(n∈N*). (1)求证:数列{an}为等比数列; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 19.(本小题满分 12 分) 已知|2x-3|≤1 的解集为[m,n]. (1)求 m+n 的值; (2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1. - 5 - 20.(本小题满分 12 分) 海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口 此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽 取 6 件样品进行检测. 地区 A B C 数量 50 150 100 (1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相同 地区的概率. 21.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知(a-3b)cosC=c(3cosB-cosA). (1)求sinB sinA 的值; (2)若 c= 7a,求角 C 的大小. 22.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=kax-a-x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集; (2)若 f(1)=3 2 ,且 g(x)=a2x+a-2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. - 6 - 吉林省实验中学 2017---2018 学年度下学期 高二年级数学学科(理)期末考试试题答案 1-6 CDDBDA 7-12 CCDCDB 13. 5 5 14.-1 15.①②④ 16.4-2. 17.已知函数 f(x)=sin π 12,x∈R. (1)求 f π 4 的值;(2)若 cosθ= 4 5,θ∈ π 2 ,求 f π 3 的值. 解:(1)f π 4 =sin π 12=sin π 6 =- 1 2. (2)f π 3 =sin π 12=sin π 4 = 2 2(sin2θ-cos2θ). 因为 cosθ= 4 5,θ∈ π 2 ,所以 sinθ= 3 5, 所以 sin2θ=2sinθcosθ= 24 25,cos2θ=cos2θ-sin2θ= 7 25, 所以 f π 3 = 2 2(sin2θ-cos2θ)= 2 2× 7 25= 2 50. 18.数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1,数列{bn}满足:b1=3,bn+1=an+bn (n∈N*). (1)求证:数列{an}为等比数列;(2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解析 (1)证明:∵Sn=2an-1,n∈N*,∴Sn+1=2an+1-1.两式相减得 an+1=2an+1-2an. ∴an+1=2an,n∈N*.由 a1=1,知 an≠0, ∴ an+1 an =2.由定义知{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列. (2)由(1)知,an=2n-1,bn+1=2n-1+bn, ∴bn+1-bn=2n-1. ∴b2-b1=20,b3-b2=21,b4-b3=22,… bn-bn-1=2n-2,等式左右两边相加得 bn=b1+20+21+…+2n-2=3+ 1-2n-1 1-2 =2n-1+2. ∴Tn=(20+2)+(21+2)+…+(2n-1+2)=(20+21+…+2n-1)+2n=2n+2n-1. 19.已知|2x-3|≤1 的解集为[m,n]. - 7 - (1)求 m+n 的值; (2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1. 解:(1)不等式|2x-3|≤1 可化为-1≤2x-3≤1, 解得 1≤x≤2,所以 m=1,n=2,m+n=3. (2)证明:若|x-a|<1,则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1.即|x|<|a|+1. 20.海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口 此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测. 地区 A B C 数量 50 150 100 (1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相同 地区的概率. 解析 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 6 50+150+100= 1 50,所以样本中包含三 个地区的个体数量分别是 50× 1 50=1,150× 1 5=3,100× 1 50=2. 所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别为 1,3,2. (2)设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2. 则抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为: {A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2}, {B2,B3},{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15 个. 每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D:“抽取的这 2 件商品来自相同地区”, 则事件 D 包含的基本事件有 {B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共 4 个. 所以 P(D)= 4 15,即这 2 件商品来自相同地区的概率为 4 15. 21.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知(a-3b)cosC=c(3cosB-cosA). (1)求 sinB sinA的值; (2)若 c=a,求角 C 的大小. 解:(1)由正弦定理得,(sinA-3sinB)cosC=sinC(3cosB-cosA), ∴sinAcosC+cosAsinC=3sinCcosB+3cosCsinB, 即 sin(A+C)=3sin(C+B),即 sinB=3sinA,∴ sinB sinA=3. - 8 - (2)由(1)知 b=3a,∵c=a, ∴cosC= a2+b2-c2 2ab = a2+9a2-7a2 2×a×3a = 3a2 6a2= 1 2,∵C∈(0,π),∴C= π 3 . 22.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=kax-a-x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集; (2)若 f(1)= 3 2,且 g(x)=a2x+a-2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 解析 ∵f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴f(0)=0,∴k-1=0,∴k=1. (1)∵f(1)>0,∴a- 1 a>0. 又 a>0 且 a≠1,∴a>1. ∵k=1,∴f(x)=ax-a-x. 当 a>1 时,y=ax 和 y=-a-x 在 R 上均为增函数, ∴f(x)在 R 上为增函数. 原不等式可化为 f(x2+2x)>f(4-x),∴x2+2x>4-x,即 x2+3x-4>0. ∴x>1 或 x<-4. ∴不等式的解集为{x|x>1 或 x<-4}. (2)∵f(1)= 3 2,∴a- 1 a= 3 2,即 2a2-3a-2=0. ∴a=2 或 a=- 1 2(舍去). ∴g(x)=22x+2-2x-4(2x-2-x)=(2x-2-x)2-4(2x-2-x)+2. 令 t=h(x)=2x-2-x(x≥1), 则 g(t)=t2-4t+2. ∵t=h(x)在[1,+∞)上为增函数(由(1)可知), ∴h(x)≥h(1)= 3 2,即 t≥ 3 2. ∵g(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2,t∈[ 3 2,+∞), ∴当 t=2 时,g(t)取得最小值-2,即 g(x)取得最小值-2,此时 x=log2(1+). 故当 x=log2(1+)时,g(x)有最小值-2.

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