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- 2021-06-30 发布
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章末检测
一、选择题
1.2dx=________.
A. B.
C.0 D.1
答案 A
解析 2dx=dx
=
=-
=-=.
2.求由曲线y=ex与直线x=2,y=1围成的图形的面积时,若选择x为积分变量,则积分区间为( )
A.[0,e2] B.[0,2]
C.[1,2] D.[0,1]
答案 B
解析 分别解方程组
可得所以积分区间为[0,2].
3.若(2x-3x2)dx=0(k>0),则k等于( )
A.2 B.1
C. D.以上都不对
答案 B
解析 由题意可得k2-k3=0,所以k=1或k=0(舍去).
4.由直线x=0,x=2,曲线y=ex及x轴所围成图形的面积是( )
A.e- B.e-1
C.e2-1 D.-e
答案 C
解析 exdx=ex=e2-e0=e2-1.
5.由直线y=x,y=-x+1及x轴围成的平面图形的面积为( )
A.[(1-y)-y]dy B. [(-x+1)-x]dx
C. [(1-y)-y]dy D.[x-(-x+1)]dx
答案 C
解析 如图所示,若以y为积分变量可知积分区间为,S阴影= (1-y)dy-ydy= [(1-y)-y]dy.
6.作变速直线运动的物体的速度为v(t),当t=t1秒时物体的位移为s0,则当t2秒末它的位移为( )
A.v(t)dt B.s0+v(t)dt
C.v(t)dt-s0 D.s0-v(t)dt
答案 B
解析 物体在t1~t2秒间的位移为定积分v(t)dt,在t2秒末它的位移为s0+v(t)dt.
7.(2014·江西)若f(x)=x2+2f(x)dx,则f(x)dx=( )
A.-1 B.-
C. D.1
答案 B
解析 直接求解定积分,再利用方程思想求解.
∵f(x)=x2+2f(x)dx,∴f(x)dx==+2f(x)dx,
∴f(x)dx=-.
8.下列式子中错误的是( )
A.xdx<x2dx B.∫0sin xdx=∫0cos xdx
C. exdx<exdx D.dx>2xdx
答案 D
解析 =ln 2,
=.
因为ln 2<,
所以dx<2xdx.
9.曲线y=x2+2x与直线x=-1,x=1及x轴所围成的图形的面积为( )
A.2 B.
C. D.
答案 A
解析 曲线y=x2+2x与直线x=-1,x=1及x轴所围成的图形如图所示,
S=(x2+2x)dx- (x2+2x)dx=-=+1-+1=2.
10.dθ等于( )
A.1 B.2
C. D.4
答案 B
解析 dθ=dθ=cos θdθ+=(1-0)-(0-1)=2,故选B.
二、填空题
11.汽车以v=(3t+2)m/s作变速直线运动时,在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是________.
答案 m
解析 s=(3t+2)dt==×4+4-=10-=(m).
12.如图中阴影部分的面积用定积分表示为________.
答案 x2dx
13.函数y=sin x在[0,2π]内的图像与x轴所围成的平面图形的面积是________.
答案 4
14.已知函数f(x)=3x2+2x+1,若f(x)dx=2f(a)成立,则a=________.
答案 -1或
解析 f(x)dx= (3x2+2x+1)dx
==4,
所以f(a)=3a2+2a+1=2,
解得a=-1或a=.
三、解答题
15.利用定积分的几何意义说明下面等式成立.
(-x2+1)dx=2(-x2+1)dx.
解 函数y=-x2+1,x∈[-1,1]是偶函数,故曲线y=-x2+1,x∈[-1,0]与直线x=-1,x=0,y=0围成图形的面积S1等于曲线y=-x2+1,x∈[0,1]与直线x=0,x=1,y=0围成图形的面积S2,于是由定积分的几何意义,有 (-x2+1)dx=S1+S2=2S2=
2(-x2+1)dx.
16.若f(x)=ax+b(a≠0)且f(x)dx=1,求证:
[f(x)]2dx>1.
证明 因为f(x)dx=(ax+b)dx
==a+b,
所以a+b=1.
所以[f(x)]2dx=(ax+b)2dx
=(a2x2+2abx+b2)dx
=
=a2+ab+b2=2+a2
=1+a2>1.
17.利用定积分的几何意义说明下面等式成立.
dx=(b>a).
解 dx表示由曲线y=和直线x=a,x=b(b>a)及x轴围成图形的面积.由y=得y2+2=2(y≥0),所以曲线y=表示以为圆心,以为半径的圆在x轴上及x轴上方的部分.
故dx表示如图所示阴影部分的面积为:
π2×=,所以
dx=(b>a).
18.用定积分的几何意义求f(x)dx+sin xcos xdx,其中f(x)=
解 如图(1) f(x)dx=-S1-S2+S3=-×2-××1+×3=-8-+=-6.
图(1)
∵sin xcos xdx=sin 2xdx.
如图(2),sin 2xdx=0.
图(2)
∴f(x)dx+∫-sin xcos xdx=-6+0=-6.