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- 2021-06-30 发布
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第7讲 解三角形应用举例
A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2013·沧州模拟)有一长为1的斜坡,它的倾斜角为20°,现高不变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为 ( ).
A.1 B.2sin 10°
C.2cos 10° D.cos 20°
解析 如图,∠ABC=20°,AB=1,∠ADC=10°,∴∠ABD=160°.
在△ABD中,由正弦定理得
=,
∴AD=AB·==2cos 10°.
答案 C
2.某人向正东方向走x km后,向右转150°,然后朝新方向走3 km,结果他离出发点恰好是 km,那么x的值为 ( ).
A. B.2 C.或2 D.3
解析 如图所示,设此人从A出发,则AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30°,由余弦定理得()2=x2+32-2x·3·cos 30°,整理得x2-3x+6=0,解得x=或2.
答案 C
3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A
处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是 ( ).
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
解析 如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=,解得BC=10(海里).
答案 A
4.(2012·吉林部分重点中学质量检测)如图,两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ( ).
A.30° B.45° C.60° D.75°
解析 依题意可得AD=20(m),AC=30(m),又CD=50(m),所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD====,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案 B
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2011·上海)在相距2千米的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为________千米.
解析 由已知条件∠CAB=75°,∠CBA=60°,得∠ACB=45°.结合正弦定理得=,即=,解得AC=(千米).
答案
6.(2013·潍坊模拟)如图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S
在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距8 n mile.此船的航速是________ n mile/h.
解析 设航速为v n mile/h,
在△ABS中,AB=v,BS=8 n mile,
∠BSA=45°,
由正弦定理得:=,∴v=32 n mile/h.
答案 32
三、解答题(共25分)
7.(12分)某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量AD=BD=7米,BC=5米,AC=8米,∠C=∠D.求AB的长度.
解 在△ABC中,由余弦定理得
cos C==,
在△ABD中,由余弦定理得
cos D==.
由∠C=∠D,得cos∠C=cos∠D,
解得AB=7,所以AB长度为7米.
8.(13分)如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,求cos θ的值.
解 如题图所示,在△ABC中,AB=40海里,AC=20海里,∠BAC
=120°,由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800,故BC=20(海里).
由正弦定理得=,
所以sin∠ACB=sin∠BAC=.
由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB=.
易知θ=∠ACB+30°,故cos θ=cos(∠ACB+30°)
=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°
=.
B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是 ( ).
A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m
解析 设水柱高度是h m,水柱底端为C,则在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m.
答案 A
2.(2013·榆林模拟)如图,在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°,测得湖中之影的俯角为45°,则云距湖面的高度为(精确到0.1 m) ( ).
A.2.7 m B.17.3 m
C.37.3 m D.373 m
解析 在△ACE中,
tan 30°==.∴AE=(m).
在△AED中,tan 45°==,
∴AE=(m),∴=,
∴CM==10(2+)≈37.3(m).
答案 C
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式.如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A,B的距离为10米,则旗杆的高度为________米.
解析 由题可知∠BAN=105°,∠BNA=30°,由正弦定理得=,解得AN=20(米),在Rt△AMN中,MN=20 sin 60°=30(米).故旗杆的高度为30米.
答案 30
4.(2013·合肥一检)如图,一船在海上自西向东航行,在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角,前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角,已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续东行,当α与β满足条件________时,该船没有触礁危险.
解析 由题可知,在△ABM中,根据正弦定理得=,解得BM=,要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°-β)=>n,所以当α与β的关系满足mcos αcos β>nsin(α-β
)时,该船没有触礁危险.
答案 mcos αcos β>nsin(α-β)
三、解答题(共25分)
5.(12分)(2012·肇庆二模)如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C;并测量得到数据:∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1百米.
(1)求△CDE的面积;
(2)求A,B之间的距离.
解 (1)在△CDE中,∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,S△CDE=DC·CE·sin 150°=×sin 30°=×=(平方百米).
(2)连接AB,依题意知,在Rt△ACD中,
AC=DC·tan∠ADC=1×tan 60°=(百米),
在△BCE中,∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°,
由正弦定理=,得
BC=·sin∠CEB=×sin 45°=(百米).
∵cos 15°=cos(60°-45°)=cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45°
=×+×=,
在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,
可得AB2=()2+()2-2××=2-,
∴AB=百米.
6.(13分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A
处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇.
解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则
S=
== .
故当t=时,Smin=10(海里),
此时v==30(海里/时).
即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.
(2)设小艇与轮船在B处相遇,则v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°),
故v2=900-+,∵0<v≤30,
∴900-+≤900,即-≤0,解得t≥.
又t=时,v=30海里/时.
故v=30海里/时时,t取得最小值,且最小值等于.
此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20海里,故可设计航行方案如下:
航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇.
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