2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题24 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用（练）（解析版） 11页

专题24 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用 ‎1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】法一：如图，由已知可设，则，‎ 由椭圆的定义有．在中，‎ 由余弦定理推论得．在中，‎ 由余弦定理得，解得．‎ 所求椭圆方程为，故选B．‎ 法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，‎ ‎，两式消去，得，解得．‎ 所求椭圆方程为，故选B．‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．‎ ‎2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，从而解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为(1，0)，椭圆焦点为(±2，0)，排除A，同样可排除B，C，从而得到选D．‎ ‎3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为 A． B． ‎ C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，‎ 又，为以为直径的圆的半径，‎ ‎∴，，又点在圆上，‎ ‎，即．，故选A．‎ ‎【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．‎ ‎5．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；‎ ‎②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；‎ ‎③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是 A．① B．②‎ C．①② D．①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，，，所以 可取的整数有0，−1，1，从而曲线恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)， (−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.由得，，解得，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②‎ 正确.如图所示，易知，四边形的面积，很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.故选C. ‎ ‎【名师点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识､基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.‎ ‎6．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且(为原点)，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则 有，∴，，，∴.故选D.‎ ‎【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.‎ ‎2.练模拟 ‎1. 【福建省泉州市2019届高三月考】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,‎ 所以，选D.‎ ‎2、【2020届河北省邯郸市高三上学期期末】已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=‎ A． B．3 C． D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，‎ 分别与两条渐近线和联立，求得，所以.‎ ‎3. 【2020届河南省洛阳市高三上学期期末】已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，交准线于点，若，则( )‎ A. B. C. 3 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】得p=2,作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，‎ ‎∴ ‎ ‎，故选B ‎4、已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，由中位线定理可得，设，可得，与方程联立，可解得(舍)，又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.‎ 方法2：(焦半径公式应用)由题意可知，由中位线定理可得，即，从而可求得，所以.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.‎ ‎5、【河南省部分省示范性高中2020届高三联考】已知抛物线C：=2px经过点(1，2)．过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．‎ ‎(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)设O为原点，，，求证：为定值．‎ ‎【答案】(1) 取值范围是(-∞，-3)∪(-3，0)∪(0，1)；(2)证明过程见解析.‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为抛物线y2=2px经过点P(1，2)，所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．‎ 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1(k≠0)．‎ 由得．依题意，‎ 解得k<0或0