假期培优解决方案+寒假专题突破练+高二文科数学（选修1-1必修5）（通用版）专题9+基本不等式x 9页

专题9　基本不等式 ‎　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．‎ ‎2．基本不等式 如果a>0，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时等号成立．‎ ‎3．利用基本不等式求最值 ‎(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，当且仅当a＝b时等号成立．‎ ‎(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立．‎ 例1　下列各函数中，最小值为2的是(　　)‎ A．y＝x＋ B．y＝sin x＋，x∈(0，)‎ C．y＝ D．y＝＋ 变式1　在下列结论中，正确的是(　　)‎ A．若a，b∈R，则＋≤2 ＝2‎ B．若a，b∈R＋，则lg a＋lg b≥2 C．函数y＝x＋(－10，y>0，＋＝2，求xy的最小值．‎ 变式2　若2a＋3b＝6(a>0，b>0)，则＋的最小值为(　　)‎ A. B. C. D．4‎ 例3　求函数y＝x＋，x∈(0，c)的最小值．‎ 变式3　求函数y＝的值域．‎ A级 ‎1．若x，y∈R＋，且x＋y＝1，则＋的取值范围是(　　)‎ A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)‎ C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)‎ ‎2．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于(　　)‎ A．0 B．4 C．－4 D．－2‎ ‎3．若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　)‎ A.≤ B.＋≥1‎ C.≥2 D.≥1‎ ‎4．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)‎ A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 ‎5．设a>2，则a＋的最小值是________．‎ ‎6．已知x>y>0，xy＝1，则的最小值为________．‎ ‎7．已知x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，求＋的最小值．‎ B级 ‎8．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)‎ A．8 B．4 N C．1 D. ‎9．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　)‎ A．0 B. C．2 D. ‎10．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．‎ ‎11．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________ m.‎ ‎12．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．‎ ‎13．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4‎ ‎ 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？‎ ‎(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)‎ 详解答案 典型例题 例1　D　[对于A，当x<0时，函数值为负数；‎ 对于B，sin x＝在(0，)内无解；‎ 对于C，y＝＝＋，不能保证＝在R上有解；‎ 对于D，y＝＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立．]‎ 变式1　D 例2　解　方法一　xy＝＝≥＝10，当且仅当＝即时，等号成立．故xy的最小值为10.‎ 方法二　由＋＝2，得y＝(x>1)，‎ 所以xy＝＝ ‎＝＝[(x－1)＋＋2]≥(2＋2)＝10‎ ‎(当且仅当x＝2，y＝5时取等号)．‎ 变式2　A　[＋＝(＋)＝×(4＋＋＋9)≥(13＋2×6)＝(当且仅当a＝b＝时取等号)．]‎ 例3　解　x>0，x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．‎ 若c>1，则y＝x＋，x∈(0，c)的最小值为2；若01时函数最小值为2；‎ ‎00时，y＝，由x＋≥2(当且仅当x＝，即x＝1时取等号)‎ 得0<≤，即00，y>0，由x＋y＝4，得＝1，‎ ‎∴＋＝(x＋y)(＋)＝(2＋＋)≥(2＋2)＝1.]‎ ‎4．D　[由题意得所以 又log4(3a＋4b)＝log2，‎ 所以log4(3a＋4b)＝log4ab，‎ 所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.‎ 所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，‎ 当且仅当＝时取等号．故选D.]‎ ‎5．4‎ 解析　∵a>2，∴a－2>0.‎ ‎∴a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4.‎ 当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立．‎ ‎6．2 解析　∵xy＝1，x>y>0，∴x－y>0，‎ ‎∴＝＝ ‎＝(x－y)＋ ‎≥2 ＝2.‎ 当且仅当，‎ 即时取等号，‎ ‎∴的最小值为2.‎ ‎7．解　方法一　由已知条件x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，可得xy＝10.‎ 则＋＝≥＝2.‎ 所以min＝2，当且仅当，即时等号成立．‎ 方法二　由已知条件x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，可得xy＝10.‎ ＋≥2 ＝2 ＝2(当且仅当，即时等号成立．)‎ ‎8．B　[因为3a·3b＝3，‎ 所以a＋b＝1，‎ ＋＝(a＋b)(＋)＝2＋＋ ‎≥2＋2 ＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，“＝”成立，故选B.]‎ ‎9．C　[由题意知：z＝x2－3xy＋4y2，‎ 则＝＝＋－3≥1，当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝xy＝2y2.‎ 所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2(y－1)2＋2≤2.]‎ ‎10．6　4‎ 解析　设两数为x，y，即4x＋9y＝60，‎ 又＋＝(＋)×＝(13＋＋)≥×(13＋12)＝，当且仅当＝，且4x＋9y＝60，即x＝6，y＝4时，等号成立．‎ ‎11．20‎ 解析　如图所示，△ADE∽△ABC，设矩形的面积为S，另一边长为y，‎ 则＝2＝2.‎ 所以y＝40－x，则S＝x(40－x)＝－(x－20)2＋202，所以当x＝20时，S最大．‎ ‎12．9‎ 解析　∵x>－1，∴x＋1>0，‎ 设x＋1＝t>0，则x＝t－1，‎ 于是有y＝＝ ‎＝t＋＋5≥2 ＋5＝9，‎ 当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.‎ ‎∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9.‎ ‎13．解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得 f(x)＝Q(x)＋ ‎＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N)，‎ f(x)＝50x＋＋3 000‎ ‎≥2 ＋3 000‎ ‎＝5 000(元)．‎ 当且仅当50x＝，即x＝20时上式取“＝”．因此，当x＝20时，f(x)取得最小值5 000(元)．‎ 所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元． ‎