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- 2021-06-30 发布
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高三(上)理科数学期中考试题
总分:150分 时间:120分钟
一、选择题(本大题共12小题,共60分)
1. 设集合A={x|x(x+1)≤0},集合B={x|2x>1},则集合A∪B等于( )
A. {x|x≥0}
B. {x|x≥-1}
C. {x|x>0}
D. {x|x>-1}
2. 已知复数z=(其中i为虚数单位)的虚部与实部相等,则实数a的值为( )
A. 1
B.
C. -1
D.
3. 角α的终边经过点(2,-1),则sinα+cosα的值为( )
A. -
B.
C. -
D.
4. 设,是向量,则“||=||”是“|+|=|-|”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 已知数列{an}为等差数列,且a2016+a2018=dx,则a2017的值为( )
A.
B. 2π
C. π2
D. π
6. 函数y=的部分图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
1. 设函数f(x)=,则f(27)+f(-log43)的值为( )
A. 6
B. 9
C. 10
D. 12
2. 在△ABC中,若acosC+ccosA=bsinB,则此三角形为( )
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
3. 要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点( )
A. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
4. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若任意的x≥0,都有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则f(-2017)+f(2018)=( )
A. 1
B. -1
C. 0
D. 2
5. 已知,则的值等于( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x),
当x≠0时,xf′(x)-f(x)<0,若,,,则a,b,c的大小关系正确的是( )
A. a<b<c
B. b<c<a
C. a<c<b
D. c<a<b
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
1. 向量,若与共线(其中m,n∈R且n≠0),则等于 ______ .
2. 设Sn为等差数列{an}的前n项和,且a3=5,S6=42,则S9= ______ .
3. 在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知,则角A= ______ (用弧度制表示).
4. 已知函数f(x)=,若函数g(x)=f(x)-ax-1有4个零点,则实数a的取值范围为 ______ .
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
5. (本小题10分)已知.
(I)求sinβ的值;
(II)求的值.
(本小题12分)已知向量,,
函数.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,其中A为锐角,,c=1,且f(A)=1,求△ABC的面积S.
(本小题12分)已知数列{an}的前n项和为,且,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若,设数列{bn}的前n项和为,证明.
近年来,雾霾日趋严重,我们的工作、生活受到了严重的影响,如何改善空气质量已成为当今的热点问题.某空气净化器制造厂,决定投入生产某型号的空气净化器,根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产该型号空气净化器x(百台),其总成本为P(x)(万元),其中固定成本为12万元,并且每生产1百台的生产成本为10万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入Q(x)(万元)满足Q(x)=,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据以述统计规律,请完成下列问题:
(1)求利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本);
(2)工厂生产多少百台产品时,可使利润最多?
已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+1.
(1)求证:数列{an+1}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设,求数列{cn}的前n项和Tn的取值范围.
已知函数,a∈R.
(Ⅰ)当a=0时,求函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax+1,求函数g(x)的极值;
(Ⅲ)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:.
高三理科数学期中考试题答案和解析
【答案】
1. B 2. C 3. D 4. D 5. A 6. C 7. A 8. C 9. B 10. A 11. B 12. D
13. 14. 117 15. 16. (0,1)
17. 解(I)∵,, 0<α+β<π,
cosα=, ∴sinα=, sin(α+β)=,
那么:sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=;
(II)由(I)sinα=,cosα=, 那么sin2α=2sinαcosα=,
cos2α=, cos2α=1-2sin2α=,
∴=.
18. 解:(1)==
=
==sin(2x-),
由(k∈z),
函数f(x)的单调递增区间为(k∈z).
(2),
因为,,所以.,,
又a2=b2+c2-2bccosA,则b=2, 从而.
19. 解:(1)当n=1时,得a1=1,
当n≥2时,得an=3an-1,
所以,
(2)由(1)得:,
又①
得②
两式相减得:,
故, 所以Tn=-.
20. 解:(1)由题意得P(x)=12+10x,
则f(x)=Q(x)-P(x)=
即为f(x)=
(2)当x>16时,函数f(x)递减,即有f(x)<f(16)=212-160=52万元
当0≤x≤16时,函数f(x)=-0.5x2+12x-12
=-0.5(x-12)2+60,
当x=12时,f(x)有最大值60万元.
所以当工厂生产12百台时,可使利润最大为60万元.
21. (1)证明:∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),
∴数列{an+1}是等比数列.
(2)解:由(1)及已知{an+1}是等比数列,公比q=2,首项为a1+1=2,
∴an+1=2•2n-1=2n,
∴.
(3)解:=-,
∴=<1,
设f(n)=1-,则f(n)是增函数,
∴当n=1时,f(n)取得最小值f(1)=. ∴Tn的取值范围是[,1).
22. 解:(Ⅰ)当a=0时,f(x)=lnx+x,则f(1)=1,所以切点为(1,1),
又,则切线斜率f'(1)=2,
故切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(Ⅱ)g(x)=f(x)-(ax-1)=,
则=,
当a≤0时,∵x>0,∴g'(x)>0.
∴g(x)在(0,+∞)上是递增函数,函数g(x)无极值点,
当a>0时,=,
令g'(x)=0得,∴当时,g'(x)>0;当时,g'(x)<0.
因此g(x)在上是增函数,在上是减函数.
∴时,g(x)有极大值.
综上,当a≤0时,函数g(x)无极值;当a>0时,函数g(x)有极大值;
(Ⅲ)证明:当a=-2时,f(x)=lnx+x2+x,x>0,
由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,
即,
从而=x1x2-ln(x1x2),
令t=x1x2,则φ(t)=t-lnt,得φ′(t)=,
可知φ(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,
∴φ(t)≥φ(1)=1,∴,
因为x1>0,x2>0∴.
【解析】
1. 解:A={x|x(x+1)≤0}=[-1,0], B={x|2x>1}=(0,+∞),
∴A∪B=[-1,+∞) 故选:B.
2. 解:z==, 则,即a=-1.
故选:C.
3. 解:∵已知角α的终边经过点(2,-1),则x=2,y=-1,r=,
∴sinα=-,cosα=, ∴sinα+cosα=-, 故选D.
4. 解:若“||=||”,则以,为邻边的平行四边形是菱形;
若“|+|=|-|”,则以,为邻边的平行四边形是矩形;
故“||=||”是“|+|=|-|”的既不充分也不必要条件; 故选:D.
根据向量模相等的几何意义,结合充要条件的定义,可得答案.
本题考查的知识点是充要条件,向量的模,分析出“||=||”与“|+|=|-|”表示的几何意义,是解答的关键.
5. 解:dx表示以原点为圆心,以2为半径的圆的面积的四分之一,
则a2016+a2018=dx=π,
∵数列{an}为等差数列, ∴a2017=(a2016+a2018)=, 故选:A
根据定积分的几何意义求出a2016+a2018=dx=π,再根据等差中项的性质即可求出.
6. 解:函数y==,
可知函数是奇函数,排除选项B,
当x=时,f()==,排除A,
x=π时,f(π)=0,排除D. 故选:C.
7. 解:f(27)=log927==, f(-log43)=+=3+,
则f(27)+f(-log43)=+3+=6, 故选:A
8. 解:在△ABC中,由acosC+ccosA=bsinB以及正弦定理可知,
sinAcosC+sinCcosA=sin2B, 即sin(A+C)=sinB=sin2B.
∵0<B<π,sinB≠0, ∴sinB=1,B=. 故选:C.
9. 解:要得到函数=cos(x-)的图象,只需将函数的图象上所有的点的横坐标变为原来的 2倍,
再再向右平行移动个单位长度,即可, 故选:B.
10. 解:任意的x≥0,都有f(x+2)=-f(x),可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),函数的周期为4,
函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,
则f(-2017)+f(2018)=f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=f(1)-f(0)=2-1+1-1=1.
故选:A.
11. 解:∵, ∴cos[π-(+2θ)]=-cos(+2θ)=-cos2(+θ)=-[1-2sin2(+θ)]=-,解得:sin2(+θ)=, ∴=±.
故选:B.
12. 解:构造函数g(x)=, ∴g′(x)=,
∵xf′(x)-f(x)<0, ∴g′(x)<0,
∴函数g(x)在(-∞,0)和(0,+∞)单调递减.
∵函数f(x)为奇函数, ∴g(x)=是偶函数,
∴c==g(-3)=g(3),
∵a==g(e),b==g(ln2), ∴g(3)<g(e)<g(ln2),
∴c<a<b, 故选:D.
13. 解:∵=(1,2),=(-2,3),
∴m-n=(m,2m)-(-2n,3n)=(m+2n,2m-3n),
=(1,2)+2(-2,3)=(-3,8)
∵向量m-n与向量共线 ∴8×(m+2n)=(2m-3n)×(-3)
∴14m=-7n ∴= 故答案为:
14. 解:设等差数列{an}的公差为d,∵a3=5,S6=42,
∴a1+2d=5,6a1+d=42, 联立解得a1=-3,d=4.
则S9=-3×9+=117. 故答案为:117.
15. 解:∵, ∴×bcsinA=2bccosA,
∴sinA=cosA,可得:tanA=,
∵A∈(0,π), ∴A=. 故答案为:.
16. 解:由题意,a>0,a+1>1,h(x)=ax+1与y=f
(x)有两个不同的交点,
x≤0,f(x)=ex与h(x)=ax+1有1个交点(0,1),
∵函数g(x)=f(x)-ax-1有4个零点,
∴只需要x≤0,f(x)=ex与h(x)=ax+1有另1个交点
x≤0,f′(x)=ex,f′(0)=1, ∴a<1,
综上所述,0<a<1, 故答案为(0,1).
由题意,a>0,a+1>1,h(x)=ax+1与y=f(x)有两个不同的交点,x≤0,f(x)=ex与h(x)=ax+1有1个交点(0,1),函数g(x)=f(x)-ax-1有4个零点,只需要x≤0,f(x)=ex与h(x)=ax+1有另1个交点,求出函数在(0,1)处切线的斜率,即可得出结论.