【推荐】专题8-2 空间几何体的表面积和体积-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学 17页

真题回放 ‎1.【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如果，画出圆柱的轴截面，‎ ‎，所以，那么圆柱的体积是，故选B.‎ ‎【考点】圆柱体积 ‎【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ ‎2.【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】球与几何体的组合体 ‎【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单. ‎ ‎3.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎4.【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以 ‎【考点】球的表面积 ‎【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ ‎5.【2017江苏，6】 如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】圆柱体积 ‎【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎6.【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为 ‎，故选B.‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 柱、锥、台、球的表面积和体积　‎ A 高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：1、常以三视图为载体，考查组合体的表面积，也可能根据几何体特征直接考查旋转体的表面积，以小题考查居多。2、常以三视图为载体，考查组合体的体积，也可能根据几何体的特征直接考查旋转体的体积，单独考察以小题居多，也可在解答题中某一问中综合考察。3、考察求体积中，其中转化底面与高最为常见，另外求面积时把多边形分割或补形求解等，但考查较少。‎ 知识链接 ‎1．多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．‎ ‎2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l ‎3.柱、锥、台和球的表面积和体积 ‎　　名称 几何体　　‎ 表面积 体积 柱体 ‎(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 ‎(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 ‎(棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2‎ V＝πR3‎ 融会贯通 题型一　求空间几何体的表面积 例1　(1)(2017·淮北月考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　)‎ A．21＋ B．18＋ C．21 D．18‎ ‎(2)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．‎ ‎【答案】　(1)A　(2)12‎ 解题技巧与方法总结 空间几何体表面积的求法 ‎(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．‎ ‎【变式训练】(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．‎ ‎【答案】　26‎ 题型二　求空间几何体的体积 命题点1　求以三视图为背景的几何体的体积 例2　(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A.＋π B.＋π C.＋π D．1＋π ‎【答案】　C ‎【解析】　由三视图知，半球的半径R＝，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，高为1，∴V＝×1×1×1＋×π×3＝＋π，故选C. ‎ 命题点2　求简单几何体的体积 例3　(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.‎ 解题技巧与方法总结 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎【变式训练】(1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．‎ ‎(2)如图，在多面体ABCDEF中，‎ 已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　(1)　(2)A ‎ (2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，‎ CH，容易求得EG＝HF＝，AG ‎＝GD＝BH＝HC＝，‎ ‎∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，‎ ‎∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝.故选A.‎ 题型三　与球有关的切、接问题 例4　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)‎ A. B．2 C. D．3 ‎【答案】　C ‎【解析】　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，‎ 则垂足为BC的中点M.‎ 又AM＝BC＝，‎ OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ ＝.‎ 引申探究 ‎1．已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？‎ ‎【答案】‎ ‎ 2．已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】　正四面体的表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.‎ ‎3．已知侧棱和底面边长都是3的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？‎ ‎【答案】‎ 解题技巧与方法总结 空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎【变式训练】(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)‎ A．4π B. C．6π D. ‎【答案】　B ‎【解析】　由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.‎ 练习检测 ‎1．（湖北省长阳县第一高级中学2017-2018学年高二9月月考）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　　) ‎ A. cm3 B. cm3‎ C. cm3 D. cm3‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎【点睛】对于球的内切球，外接球相关的问题，最重要的是找到球心与半径关系，而过切点和球心作截面是常见处理方式，从而可以用垂径定理。‎ ‎2.（河南省郑州一中下期17届高三百校联盟）在三棱锥中， ， ， ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】三棱锥A-BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体， 它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：1， ， 体对角线的长为球的直径 ∴它的外接球半径是  外接球的表面积是 故选D.‎ 点睛：本题考查球的体积和，球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是基础题，解答的关键是构造球的内接长方体，利用体对角线的长为球的直径解决问题．‎ ‎3．（2017届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三二模）已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎4．（西藏自治区拉萨中学2017届高三第八次月考）如图,三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,BC⊥CA,且PB=BC=2CA=2‎,则三棱锥P-ABC的外接球表面积为 A. ‎3π B. ‎9π C. ‎12π D. ‎‎36π ‎【答案】B ‎【解析】∵PB⊥‎面ABC，AC⊂‎面ABC，∴PB⊥AC，∵BC⊥CA，PA∩BC=B，∴AC⊥‎面PBC，∵PC⊂‎面PBC，∴AC⊥PC，取PA的中点O，则OP=OA=OB=OC，∴O为球心，∵PB=BC=2CA=2‎，∴PA=3‎，∴球半径为r=‎‎3‎‎2‎ ，∴该三棱锥的外接球的表面积为‎4πr‎2‎=9π，故选B.‎ ‎5．（2017届山西省高三3月高考考前适应性测试）如图，在中， ， ，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面，则该球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心 ‎6．（吉林省实验中学2017届高三下学期第八次模拟）已知三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图，由题设可知是边长为3等边三角形，设球心为，点在面内的射影是，则是的中心，则，故，则点到平面的距离是，而，则棱锥的体积为 ‎，应选答案D。‎ ‎7．（山西省三区八校2017届高三第二次模拟）在矩形ABCD中，AC=2‎，现将ΔABC沿对角线AC折起，使点B到达点B'‎的位置，得到三棱锥B'-ACD，则三棱锥B'-ACD的外接球的表面积是（ ）‎ A. π B. ‎2π C. ‎4π D. 与点B'‎的位置有关 ‎【答案】C 点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解． ‎