数学卷·2018届河北省邯郸市广平一中高二上学期第三次月考数学试卷（理科） （解析版） 18页

2016-2017 学年河北省邯郸市广平一中高二（上）第三次月考数学 试卷（理科） 一、选择题（共 12 题，每小题 5 分，共 60 分） 1．“a＜1”是“lna＜0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 2．命题“若α= ，则 tanα=1”的逆否命题是（ ） A．若α≠ ，则 tanα≠1 B．若α= ，则 tanα≠1 C．若 tanα≠1，则α≠ D．若 tanα≠1，则α= 3．设焦点在 x 轴上的椭圆 的离心率为 e，且 ，则实数 k 的取 值范围是（ ） A．（0，3） B． C． D．（0，2） 4．过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于点 A．若|AF|=3，则点 A 的坐标 为（ ） A．（2，2 ） B．（2，﹣2 ） C．（2，±2 ） D．（1，±2） 5．已知双曲线 =1 的右焦点恰好是抛物线 y2=8x 的焦点重合，则 m=（ ） A．3 B．5 C．4 D．1 6．已知 x、y 满足约束条件 ，则 z=x﹣y 的最大值为（ ） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 7．不等式 的解集是（ ） A．{x| ≤x≤2} B．{x| ≤x＜2} C．{x|x＞2 或 x≤ } D．{x|x≥ } 8．直线 y=kx﹣k 与抛物线 y2=4x 交于 A，B 两点，若|AB|=4，则弦 AB 的中点到 y 轴的距离为（ ） A． B．1 C．2 D． 9．椭圆 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2 的大小 （ ） A．60° B．120°C．150°D．30° 10．若关于 x 的不等式 x2﹣3x﹣2﹣a＞0 在 1＜x＜4 内有解，则实数 a 的取值范围 是（ ） A．a＜﹣4 B．a＞﹣4 C．a＞2 D．a＜2 11．设 A、B 是抛物线 y2=2px（p＞0）上的两点，O 是坐标原点，已知 OA⊥OB， OD⊥AB 于 D，点 D 的坐标为（1，3），则 p=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．已知点 F1、F2 是双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O 为坐 标原点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲 线 C 的离心率的取值范围为（ ） A．（1，+∞） B．[ ，+∞） C．（1， ] D．（1， ] 二、填空题（共 4 题，每小题 5 分，共 20 分） 13．双曲线 x2﹣2y2=1 的渐近线方程为 ． 14．若实数列 1，a，b，c，4 是等比数列，则 b 的值为 ． 15．设抛物线 y2=4px（p＞0）上横坐标为 6 的点到焦点的距离为 10，则 p= ． 16．过椭圆 + =1 内一点 M（2，1）引一条弦，使得弦被 M 点平分，则此弦 所在的直线方程为 ． 三、解答题（17 题 10 分，18 至 22 题每题 12 分，共 70 分） 17．已知 a＞0，b＞0，且 ． （1）求 ab 的最小值； （2）求 a+2b 的最小值，并求出 a，b 相应的取值． 18．已知抛物线的标准方程是 y2=6x， （1）求它的焦点坐标和准线方程， （2）直线 L 过已知抛物线的焦点且倾斜角为 45°，且与抛物线的交点为 A、B，求 AB 的长度． 19．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 对边分别为 a，b，c，已知 2asinB= b． （1）求角 A； （2）若 b=1，a= ，求 S△ABC． 20．已知 Sn 是正项数列{an}的前 n 项和，且 Sn= an2+ an﹣ （1）求数列{an}的通项公式； （2）若 an=2nbn，求数列{bn}的前 n 项和． 21．已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）经过点（1， ），且离心率等于 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过点 P（2，0）作直线 PA，PB 交椭圆于 A，B 两点，且满足 PA⊥PB，试判 断直线 AB 是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由． 22．设 A、B 分别为双曲线 的左右顶点，双曲线的实轴长 为 ，焦点到渐近线的距离为 ． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线 与双曲线的右支交于 M、N 两点，且在双曲线的右支上 存在点 D，使 ，求 t 的值及点 D 的坐标． 2016-2017 学年河北省邯郸市广平一中高二（上）第三次 月考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 题，每小题 5 分，共 60 分） 1．“a＜1”是“lna＜0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【考点】充要条件． 【分析】当 a=0 时，满足 a＜1，但此时 lna＜0 不成立．若 lna＜0，由对数函数得 性质得 0＜a＜1，满足 a＜1． 【解答】解：a＜1 推不出“lna＜0”，比如 当 a=0 时．若 lna＜0，由对数函数得性 质得 0＜a＜1，满足 a＜1． 故选 B． 2．命题“若α= ，则 tanα=1”的逆否命题是（ ） A．若α≠ ，则 tanα≠1 B．若α= ，则 tanα≠1 C．若 tanα≠1，则α≠ D．若 tanα≠1，则α= 【考点】四种命题间的逆否关系． 【分析】原命题为：若 a，则 b．逆否命题为：若非 b，则非 a． 【解答】解：命题：“若α= ，则 tanα=1”的逆否命题为：若 tanα≠1，则α≠ ． 故选 C． 3．设焦点在 x 轴上的椭圆 的离心率为 e，且 ，则实数 k 的取 值范围是（ ） A．（0，3） B． C． D．（0，2） 【考点】椭圆的简单性质． 【 分 析 】 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 中 a2=4 ， b2=k ， 4 ＞ k ＞ 0 ， e2= ⇒ k 的范围， 【解答】解：焦点在 x 轴上的椭圆 中 a2=4，b2=k，4＞k＞0， e2= ⇒ 0＜k＜3 则实数 k 的取值范围（0，3）， 故选：A． 4．过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于点 A．若|AF|=3，则点 A 的坐标 为（ ） A．（2，2 ） B．（2，﹣2 ） C．（2，±2 ） D．（1，±2） 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】确定抛物线 y2=4x 的准线方程，利用抛物线的定义，可求 A 点的横坐标， 即可得出 A 的坐标． 【解答】解：抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=﹣1，F（1，0）． 设 A（x，y）， ∵|AF|=3， ∴根据抛物线的定义可得|AF|=3=x+1， ∴x=2， ∴y= ， ∴A 的坐标为（2， ）． 故选：C， 5．已知双曲线 =1 的右焦点恰好是抛物线 y2=8x 的焦点重合，则 m=（ ） A．3 B．5 C．4 D．1 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】求得抛物线的焦点，可得双曲线的右焦点，由双曲线 =1 的右焦点 恰好是抛物线 y2=8x 的焦点重合，求 m． 【解答】解：抛物线 y2=8x 的焦点为（2，0）， 即有双曲线 =1 的右焦点为（2，0）， 则 c=2，解得 m=22﹣1=3， 故选：A． 6．已知 x、y 满足约束条件 ，则 z=x﹣y 的最大值为（ ） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【考点】简单线性规划． 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣y 表示直线 在 y 轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可． 【解答】解：画出可行域（如下图），由 z=x﹣y 可得 y=x﹣z 则﹣z 为直线 y=x﹣z 在 y 轴上的截距，截距越小，z 越大 由图可知，当直线 l 经过点 C（2，0）时， z 最大，且最大值为 zmax=2 故选 C 7．不等式 的解集是（ ） A．{x| ≤x≤2} B．{x| ≤x＜2} C．{x|x＞2 或 x≤ } D．{x|x≥ } 【考点】一元二次不等式的应用． 【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为两个一元一次 不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集． 【解答】解：不等式 ， 移项得： ，即 ≤0， 可化为： 或 解得： ≤x＜2， 则原不等式的解集为： ≤x＜2 故选 B． 8．直线 y=kx﹣k 与抛物线 y2=4x 交于 A，B 两点，若|AB|=4，则弦 AB 的中点到 y 轴的距离为（ ） A． B．1 C．2 D． 【考点】直线与抛物线的位置关系． 【分析】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义及弦长，可得弦 AB 的中点到 准线的距离，进而可求弦 AB 的中点到 y 轴的距离． 【解答】解：由题意，直线 y=kx﹣k 恒过（1，0）， 抛物线 y2=4x 的焦点坐标为（1，0），准线方程为 x=﹣1， 根据抛物线的定义，∵|AB|=4，∴A、B 到准线的距离和为 4， ∴弦 AB 的中点到准线的距离为 2 ∴弦 AB 的中点到 y 轴的距离为 2﹣1=1 故选：B． 9．椭圆 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2 的大小（ ） A．60° B．120°C．150°D．30° 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】根据椭圆的方程算出椭圆的焦点为 F1（﹣ ，0）、F2（ ，0），得 到 |F1F2|=2 ． 由 椭 圆 的 定 义 得 |PF1|+|PF2|=2a=6 ， 从 而 算 出 |PF2|=6 ﹣ |PF1|=2．最后在△F1PF2 中，根据余弦定理列式解出 cos∠F1PF2=﹣ ，即可得到 ∠F1PF2 的大小． 【解答】解：∵椭圆 中，a2=9，b2=2， ∴a=3，b= ，c= = ，可得 F1（﹣ ，0）、F2（ ，0）， 根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=6，结合|PF1|=4，得|PF2|=6﹣|PF1|=2． △F1PF2 中，根据余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2， ∴（2 ）2=42+22﹣2•4•2•cos∠F1PF2，解之得 cos∠F1PF2=﹣ 结合为三角形的内角，可得∠F1PF2=120°． 故选：B 10．若关于 x 的不等式 x2﹣3x﹣2﹣a＞0 在 1＜x＜4 内有解，则实数 a 的取值范围 是（ ） A．a＜﹣4 B．a＞﹣4 C．a＞2 D．a＜2 【考点】一元二次不等式的应用． 【分析】先分离参数，再求出函数 t=x2﹣3x﹣2 的范围，即可求实数 a 的取值范围． 【解答】解：由不等式 x2﹣3x﹣2﹣a＞0 可得不等式 a＜x2﹣3x﹣2 由 t=x2﹣3x﹣2=（x﹣ ）2﹣ ，1＜x＜4，可得﹣ ≤t＜2 ∵关于 x 的不等式 x2﹣3x﹣2﹣a＞0 在 1＜x＜4 内有解， ∴a＜2 即实数 a 的取值范围是 a＜2 故选 D． 11．设 A、B 是抛物线 y2=2px（p＞0）上的两点，O 是坐标原点，已知 OA⊥OB， OD⊥AB 于 D，点 D 的坐标为（1，3），则 p=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】利用 OD⊥AB，可求直线 AB 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理， 结合 OA⊥OB，利用向量的数量积公式，即可求出 p 的值． 【解答】解：∵OD⊥AB，∴kOD•kAB=﹣1． 又 kOD=3，∴kAB=﹣ ， ∴直线 AB 的方程为 y﹣3=﹣ （x﹣1）， 即为 y=﹣ + ， 设 A（x1，x2），B（x2，y2），则 x1x2+y1y2=0， 又 x1x2+y1y2=x1x2+（﹣ x1+ ）（﹣ x2+ ） = x1x2﹣ （x1+x2）+ ， 联立直线方程和抛物线方程，消 y 可得 x2﹣（ +2p）x+ =0① ∴x1+x2=20+18p，x1x2=100， ∴x1x2+y1y2= ×100﹣ ×（20+18p）+ =0， ∴p=5， 当 p=5 时，方程①成为 x2﹣110x+100=0 显然此方程有解． ∴p=5 成立． 故选：D． 12．已知点 F1、F2 是双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O 为坐 标原点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲 线 C 的离心率的取值范围为（ ） A．（1，+∞） B．[ ，+∞） C．（1， ] D．（1， ] 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由直角三角形的判定定理可得△PF1F2 为直角三角形，且 PF1⊥PF2，运用 双曲线的定义，可得|PF1|﹣|PF2|=2a， 又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，再由勾股定理，即可得到 c≤ a，运用离心 率公式，即可得到所求范围． 【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c， 即有△PF1F2 为直角三角形，且 PF1⊥PF2， 可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2， 由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a， 又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a， 即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2， 化为（|PF2|+a）2=2c2﹣a2， 即有 2c2﹣a2≤4a2， 可得 c≤ a， 由 e= 可得 1＜e≤ ， 故选：C． 二、填空题（共 4 题，每小题 5 分，共 20 分） 13．双曲线 x2﹣2y2=1 的渐近线方程为 y=± x ． 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得 a，b，由渐近线方程为 y=± x，即 可得到所求方程． 【解答】解：双曲线 x2﹣2y2=1 即为 x2﹣ =1， 可得 a=1，b= ， 渐近线方程为 y=± x， 即为 y=± x． 故答案为：y=± x． 14．若实数列 1，a，b，c，4 是等比数列，则 b 的值为 2 ． 【考点】等比数列的性质． 【分析】先根据数列的第一项和第五项的值，求得公比 q，进而通过等比数列的通 项公式求得第三项 b． 【解答】解：依题意可知 a1=1，a5=4 ∴ =q4=4 ∴q2=2 ∴b=a1q2=2 故答案为 2 15．设抛物线 y2=4px（p＞0）上横坐标为 6 的点到焦点的距离为 10，则 p= 4 ． 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据抛物线的定义可知该点到准线的距离为 10，进而利用抛物线方程求 得其准线方程，利用点到直线的距离求得 p，可得答案． 【解答】解：∵横坐标为 6 的点到焦点的距离是 10， ∴该点到准线的距离为 10， 抛物线 y2=4px 的准线方程为 x=﹣p， ∴6+p=10，求得 p=4， 故答案为：4 16．过椭圆 + =1 内一点 M（2，1）引一条弦，使得弦被 M 点平分，则 此弦所在的直线方程为 x+2y﹣4=0 ． 【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得 ，两 式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程 【解答】解：设直线与椭圆交于点 A，B，设 A（x1，y1），B（x2，y2） 由 题 意 可 得 ， 两 式 相 减 可 得 由中点坐标公式可得， ， = =﹣ ∴所求的直线的方程为 y﹣1=﹣ （x﹣2）即 x+2y﹣4=0 故答案为 x+2y﹣4=0 三、解答题（17 题 10 分，18 至 22 题每题 12 分，共 70 分） 17．已知 a＞0，b＞0，且 ． （1）求 ab 的最小值； （2）求 a+2b 的最小值，并求出 a，b 相应的取值． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式． 【分析】（1）根据题意，由基本不等式的性质可得 2=（ + ）≥2 ，将其化简 变形可得 ab≥1，即可得答案； （2）根据题意，a+2b= （a+2b）（ + ），进而变形可得 （a+2b）（ + ）= （5+ + ），由基本不等式的性质计算可得答案． 【解答】解：（1）由 a＞0，b＞0，且 ． 可得 2=（ + ）≥2 ，变形可得 ab≥1， 当且仅当 b=a=1 时取得等号， 则 ab 的最小值为 1； （2）a+2b= （a+2b）（ + ）= （3+ + ）≥ （3+2 ）= ； 等号成立的充要条件是 a= b， ∴a+2b 的最小值为 ；此时 a= b． 18．已知抛物线的标准方程是 y2=6x， （1）求它的焦点坐标和准线方程， （2）直线 L 过已知抛物线的焦点且倾斜角为 45°，且与抛物线的交点为 A、B，求 AB 的长度． 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）抛物线的标准方程是 y2=6x，焦点在 x 轴上，开口向右，2p=6，即可 求出抛物线的焦点坐标和准线方程， （2）先根据题意给出直线 l 的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然 后利用焦半径公式求解即可． 【解答】解：（1）抛物线的标准方程是 y2=6x，焦点在 x 轴上，开口向右，2p=6， ∴ = ∴焦点为 F（ ，0），准线方程：x=﹣ ， （2）∵直线 L 过已知抛物线的焦点且倾斜角为 45°， ∴直线 L 的方程为 y=x﹣ ， 代入抛物线 y2=6x 化简得 x2﹣9x+ =0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=9， 所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12． 故所求的弦长为 12． 19．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 对边分别为 a，b，c，已知 2asinB= b． （1）求角 A； （2）若 b=1，a= ，求 S△ABC． 【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】（1）根据已知和正弦定理，确定出 sinA 的值，进而确定角 A 的大小． （2）根据正弦定理，可求 sinB，进而确定 B 的大小，再根据三角形面积公式即可 计算得解． 【解答】解：（1）由 2asinB= b， 可得 ， ∴sinA= ， ∵A 为锐角， ∴A=60°． （2）∵b=1，a= ，A=60°， ∴由 ，可得： ，解得：sinB= ， ∴在锐角△ABC 中，B=30°，C=180°﹣A﹣B=90°， ∴S△ABC= ab= = ． 20．已知 Sn 是正项数列{an}的前 n 项和，且 Sn= an2+ an﹣ （1）求数列{an}的通项公式； （2）若 an=2nbn，求数列{bn}的前 n 项和． 【考点】数列的求和． 【分析】（1）运用 an= 即可求出 an； （2）运用数列的求和方法：错位相减法，即可求出数列{bn}的前 n 项和． 【解答】解：（1）∵Sn= + an﹣ ， ∴Sn﹣1= + an﹣1﹣ ， ∴an=Sn﹣Sn﹣1= （ ﹣ ）+ （an﹣an﹣1）（n≥2）， ∵正项数列{an}， ∴an﹣an﹣1=2，易得 a1=3， ∴an=2n+1； （2）∵an=2nbn ∴bn= = ∴Tn= + +…+ Tn= + +…+ + 上面两式相减得， Tn= + + +…+ ﹣ = +2• ﹣ ， ∴Tn=5﹣（2n+5） ． 21．已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）经过点（1， ），且离心率等于 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过点 P（2，0）作直线 PA，PB 交椭圆于 A，B 两点，且满足 PA⊥PB，试判 断直线 AB 是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）利用椭圆 C： + =1（a＞b＞0）经过点（1， ），且离心率等 于 ，建立方程，求出 a，b，即可求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设直线 AB 的方程为 y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），把直线的方程与椭 圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用 PA⊥PB，得（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0， 即可得出 m 与 k 的关系，再由直线恒过定点的求法，从而得出答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆 C： + =1（a＞b＞0）经过点（1， ），且离心率 等于 ， ∴ =1， = ， ∴a=2，b= ， ∴椭圆 C 的方程为 =1； （Ⅱ）设直线 AB 的方程为 y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立椭圆方程得（1+2k2）x2+4mkx+2（m2﹣2）=0， ∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ． y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2= ， 由 PA⊥PB，得（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，代入得 4k2+8mkx+3m2=0 ∴m=﹣2k（舍去），m=﹣ k， ∴直线 AB 的方程为 y=k（x﹣ ），所以过定点（ ，0）． 22．设 A、B 分别为双曲线 的左右顶点，双曲线的实轴长 为 ，焦点到渐近线的距离为 ． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线 与双曲线的右支交于 M、N 两点，且在双曲线的右支上 存在点 D，使 ，求 t 的值及点 D 的坐标． 【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程． 【分析】（1）由实轴长可得 a 值，由焦点到渐近线的距离可得 b，c 的方程，再由 a，b，c 间的平方关系即可求得 b； （2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则 x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，则 x1+x2=tx0， y1+y2=ty0，联立直线方程与双曲线方程消掉 y 得 x 的二次方程，由韦达定理可得 x1+x2，进而求得 y1+y2，从而可得 ，再由点 D 在双曲线上得一方程，联立方程组 即可求得 D 点坐标，从而求得 t 值； 【解答】解：（1）由实轴长为 ，得 ， 渐近线方程为 x，即 bx﹣2 y=0， ∵焦点到渐近线的距离为 ， ∴ ，又 c2=b2+a2，∴b2=3， ∴双曲线方程为： ； （2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则 x1+x2=tx0，y1+y2=ty0， 由 ， ∴y1+y2= ﹣4=12， ∴ ，解得 ，∴t=4， ∴ ，t=4．