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- 2021-06-30 发布
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第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列中,若,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析:由等差数列性质可得
考点:等差数列性质
2.下列说法中,正确的是( )
A.数列 的第项为 B.数列 可记为
C.数列与数列 是相同的数列 D.数列 可表示为
【答案】A
【解析】
试题分析:B中数列记为,C中两数列各项顺序不同,是不同的数列; D中数列表示不能加大括号
考点:数列的表示
3.在 中, ,, , 则 =( )
A. B.或 C. D.或
【答案】B
【解析】
试题分析:由正弦定理得或
考点:正弦定理解三角形
4.在等比数列中,若,,则公比为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析:
考点:等比数列通项公式
5.在中,若,则的形状一定是( )
A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D.等腰三角形
【答案】D
【解析】
试题分析:
三角形为等腰三角形
考点:正余弦定理解三角形
6.已知等差数列的前项和为, ,,若取得最小值,则的值为( )
A. B. C.或 D.
【答案】C
【解析】
考点:等差数列通项及求和
7.等比数列的各项均为正数,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析:
考点:对数运算及等比数列性质
8.已知等差数列的前项和为,若,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:由构成等差数列可得,代入,可得
考点:等差数列性质
9.在 中,,,,那么满足条件的个数有( )
A.不存在 B.不能确定 C.一个 D.两个
【答案】D
【解析】
试题分析:由可知,所以B角有两个
考点:正弦定理解三角形
10.在 中,,,则边上的高为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:由AB=3,,AC=4,根据余弦定理得:
,又A∈(0,π),
所以sinA=,则S△ABC=AB•ACsinA=,设AB边上的高为h,
则S△ABC=AB•h=,解得:h=
考点:解三角形
11.已知等比数列的前项和为,若,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析:,所以中
考点:等比数列通项公式
12.已知函数,则
的值为( )
A.2014 B.2015 C.2016 D.2017
【答案】B
【解析】
试题分析:
考点:函数求值
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.在相距千米的两出测量目标,若,求之间的距离是 千米.
【答案】
【解析】
试题分析:因为∠CAB=75°,∠CBA=60°,所以∠ACB=180°-(∠CAB+∠CBA)=450,
由正弦定理得,,
考点:正弦定理
14.已知数列中,,则的值为 .
【答案】
【解析】
试题分析:为等差数列,公差为2,首项为
考点:数列求通项公式
15.已知的三边长成公比为的等比数列,则其最小角的余弦值为 .
【答案】
【解析】
试题分析:设三边为
考点:余弦定理解三角形
16.顶点在单位圆上的中,角所对的边分别为.若,,则 .
【答案】
【解析】
试题分析:由题意和正弦定理可得a=2rsinA=,(r为△ABC外接圆半径1),
∵sinA=,∴cosA=±,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,
代入数据可得3=4±bc,解得bc=2,
∴S△ABC=bcsinA=
考点:余弦定理;正弦定理
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10分)△中,角所对的边分别为,已知,,.
(1)求的值. (2)求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】
方法2:因为,且是的内角,
所以 ……………………………………………7分
根据正弦定理,,得……10分
考点:正余弦定理解三角形
18.(12分)已知等比数列的前项和为,且,.
(1)若成等比数列,求值; (2)求的值.
【答案】(1)(2)或
【解析】
试题分析:(1)由成等比数列可得,代入可得
值;(2)将已知条件,转化为来表示,解方程组可得到的值
试题解析:(1)因为成等比数列,所以 …………………………………………1分
因为,,所以 …………………………………………………2分
所以 ………………………………………………………………………………4分
(2)设等比数列公比为
①当时,,此时,满足题意; …………………………………6分
②当时,依题意得…………………………………………………………8分
解得,综上可得或……………………………………………………12分
考点:等比数列通项公式及求和
19.(12分)已知分别为内角,,的对边,且.
(1)求的值. (2)若,的面积为,求,的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
试题分析:(1)将已知条件可得到,进而可得到A值;(2)由余弦定理可得到b,c的关系,由面积公式可得到b,c的关系式,解方程组得到,的值
试题解析:(1)因为
所以 …………………………………………………………………2分
又因为,所以 ……………………………………………4分
因为,所以 …………………………………………………6分
(2)因为的面积==,所以=4 ……………………………………8分
由余弦定理 得=8 ……………………………………10分
联立,解得或
因为,所以 ………………………………………………………12分
考点:正余弦定理解三角形
20.(12分)已知四棱锥的底面为平行四边形,,为中点.
(1)求证:. (2)若,求证:.
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【解析】
试题分析:(1)设AC∩BD=H,连接EH,由平行四边形的性质结合题意证出MH为△PAC中位线,从而得到MH∥PA,利用线面平行的判定定理,即可证出PA∥平面MBD.(2)由线面垂直的定义证出PD⊥AD,结合AD⊥PB得到AD⊥平面PDB,得AD⊥BD,再根据PD⊥BD且PD、AD是平面PAD内的相交直线,可得BD⊥平面PAD
试题解析:(1)因为底面是平行四边形,所以点为的中点, ……………………………1分
又为的中点,所以 ………………………………………………………3分
因为,,所以. ………………………5分
(2)因为平面,,所以………………………6分
因为,,,,
所以平面 ………………………………………………………………………8分
因为,所以 ………………………………………………… 9分
因为平面,,所以 …………………… 10分
又因为,,,,
所以平面. ……………………………12分
考点:线面平行垂直的判定与性质
21.(12分)已知函数.数列是公差为的等差数列,且,.
(1)求数列的通项公式.
(2)若为数列的前项和,求证:.
【答案】(1)(2)详见解析
【解析】
试题分析:(1)由已知函数式,代入可得到的值,从而得到通项公式;(2)中首先整理的值,将代入采用裂项相消法求和可证明不等式
试题解析:(1) 由已知可知………………2分
即:,解得 ………………………………4分
所以……………………5分
(2)由(1)知 ……………………6分
则 …………………………………7分
所以
……………………10分
………………………11分
因为,所以.………………………………12分
考点:数列求通项公式求和
22.(12分)已知正项数列的前项和为,数列是首项为,公比为的等比数列.
(1)求证:数列是等差数列.
(2)若的前项和.
(3)在(2)条件下,是否存在常数,使得数列为等比数列?若存在,试求出;若不存在,说明理由.
【答案】(1)详见解析(2)(3)
【解析】
当 ②
①-②得 … ……………………………………………2分
即 …………………………………………………………3分
因为,所以即
所以数列是以为首项为公差的等差数列 ………………………………………4分
(2)依题意
所以 ……………………………………5分
……………………………………6分
①
, ② …………………………7分
①—②得
…………………………9分
(3)因为 ……………………………10分
所以要使数列为等比数列,当且仅当时
故存在,使为等比数列 ………………………………………………12分
考点:数列求通项公式及错位相减法求和