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- 2021-06-30 发布
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专题 12-3 导函数解答题突破第三季
1.已知函数 .
若 , ,试证明:当 时, ;
若对任意 , 均有两个极值点 ,
试求 b 应满足的条件;
当 时,证明: .
【答案】(1)见解析(2) , .见解析
, .
设 ,则 ,
, , , ,
故 在 递减,在 递增,
故 至多有 2 个零点;
当 时, , ,
,且 ,
又 ,
由 可知 ,
是 R 上的连续函数,
在 , 上各有 1 个零点 , ,
此时, , 为函数 的 2 个不同的极值点,
故 符合题意;
当 时,取 ,则 在 递减,在 递增,
故 ,
故 时, ,
故函数 递增,没有极值点,不合题意,
综上,当 时,对任意 , 均有 2 个极值点;
由 知, , 为 的两个实数根,
, , 在 递减,
下面先证 ,只需证明 ,
得 ,
,
设 , ,
则 ,
故 在 递减,
, , ,
又 , 时, ,
在 递减, ,
问题转化为只需证明 ,
即证明 ,
设函数 , ,
则 ,
设 ,则 ,
在 递增,
,即 ,
在 递增, ,
当 时, ,
则 ,
,
.
2.已知函数 .
(1)当 时,求函数 的极值;
(2)讨论函数 的单调性.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
(2)由 ,
可得:
①当 时, , 在 为减函数;
②当 时, 时, ,故 在 为减函数; 时, ,故 在
为增函数.
3.已知 ,函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若 有两个零点,求实数 的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2) .
【解析】
(1) 的定义域为 , .
①当 时, ,令 ,得 ;令 ,得 ,
所以 在 上单调递增, 上单调递减.
②当 时, ,
当 ,即 时,因为 ,所以在 上单调递增;
当 ,即 时,因为 ,所以 在 上单调递增;在 上单
调递减,在 上单调递增;
当 ,即 时,因为 ,所以 在 上单调递增;在 上单调
递减,在 上单调递增.
(2)由(1)知当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,
要使 有两个零点,只要 ,所以 .(因为当 时, ,当 时,
)
下面我们讨论当 时的情形:
当 ,即 时, 在 上单调递增,不可能有两个零点;
当 ,即 时,因为 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增;
因为 , ,所以 , 没有两个零点;
当 时,即 时,因为 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
, , 没有两个零点.
综上所述:当 时, 有两个零点.
4.设函数 .
(Ⅰ)当 时,求函数 的单调区间;
(Ⅱ)当 时,若函数 与函数 的图像总有两个交点,设两个交点的横坐标分别
为 , .
①求 的取值范围;
②求证: .
【答案】(Ⅰ)当 时,单调递增区间是 ;单调递减区间是 .
(Ⅱ)① ,②见解析
【解析】
(Ⅰ)由已知得, ,
由 , ,令 得: ,
令 得,
所以,当 时,单调递增区间是 ;单调递减区间是 .
解法二: ,
由 得, ;由 得, 易知, 为极大值点.
而 在 时取得极小值,
由题意,只需满足 ,解得 .
②由题意知, , 为函数 的两个零点,由①知,不妨
设 ,则 ,且函数 在 上单调递增,
欲证 ,只需证明 ,而 ,
所以,只需证明 .
令 ,则
∴
∵ ,∴ ,即
所以, ,即 在 上为增函数,所以, ,
∴ 成立,所以, .
5.已知函数 ( 为常数).
(Ⅰ)讨论函数 的单调性;
(Ⅱ)是否存在正实数 ,使得对任意 ,都有 ,若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,请说明理由;
(2)若函数 有且只有三个不同的零点,分别记为 x1,x2,x3,设 x1<x2<x3,且 的最大值
是 e2,求 x1x3 的最大值.
【答案】(1)当 m≤0 时,函数 在区间(0,+∞)上单调递增;当 m>0 时, 函数 在(0, )上单调递增,
函数 在( ,+∞)上单调递减;(2) .
(2)∵ 函数 g(x)=(x-e)( lnx-mx)有且只有三个不同的零点,
显然 x=e 是其零点,
∴ 函数 存在两个零点,即 有两个不等的实数根.
可转化为方程 在区间(0,+∞)上有两个不等的实数根,
即函数 y=m 的图象与函数 的图象有两个交点.
∵ ,
∴ 由 >0,解得 ,故 在上单调递增;
由 <0,解得 x>e,故 在(e,+∞)上单调递减;
故函数 y=m 的图象与 的图象的交点分别在(0,e),(e,+∞)上,
即 lnx-mx=0 的两个根分别在区间(0,e),(e,+∞)上,
∴ g(x)的三个不同的零点分别是 x1,e,x3,且 0e.
令 ,则 t∈ .
由 ,解得
故 ,t∈ .
令 ,则 .
令 ,则 .
所以 在区间 上单调递增,即 > .
所以 ,即 在区间 上单调递增,
即 ≤ = ,
所以 ,即 x1x3≤ ,
所以 x1x3 的最大值为 .