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  • 2021-06-30 发布

专题12-3导函数解答题突破第三季-2019年领军高考数学(理)压轴题必刷题

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专题 12-3 导函数解答题突破第三季 1.已知函数 . 若 , ,试证明:当 时, ; 若对任意 , 均有两个极值点 , 试求 b 应满足的条件; 当 时,证明: . 【答案】(1)见解析(2) , .见解析 , . 设 ,则 , , , , , 故 在 递减,在 递增, 故 至多有 2 个零点; 当 时, , , ,且 , 又 , 由 可知 , 是 R 上的连续函数, 在 , 上各有 1 个零点 , , 此时, , 为函数 的 2 个不同的极值点, 故 符合题意; 当 时,取 ,则 在 递减,在 递增, 故 , 故 时, , 故函数 递增,没有极值点,不合题意, 综上,当 时,对任意 , 均有 2 个极值点; 由 知, , 为 的两个实数根, , , 在 递减, 下面先证 ,只需证明 , 得 , , 设 , , 则 , 故 在 递减, , , , 又 , 时, , 在 递减, , 问题转化为只需证明 , 即证明 , 设函数 , , 则 , 设 ,则 , 在 递增, ,即 , 在 递增, , 当 时, , 则 , , . 2.已知函数 . (1)当 时,求函数 的极值; (2)讨论函数 的单调性. 【答案】(1)见解析;(2)见解析 (2)由 , 可得: ①当 时, , 在 为减函数; ②当 时, 时, ,故 在 为减函数; 时, ,故 在 为增函数. 3.已知 ,函数 . (1)讨论 的单调性; (2)若 有两个零点,求实数 的取值范围. 【答案】(1)详见解析;(2) . 【解析】 (1) 的定义域为 , . ①当 时, ,令 ,得 ;令 ,得 , 所以 在 上单调递增, 上单调递减. ②当 时, , 当 ,即 时,因为 ,所以在 上单调递增; 当 ,即 时,因为 ,所以 在 上单调递增;在 上单 调递减,在 上单调递增; 当 ,即 时,因为 ,所以 在 上单调递增;在 上单调 递减,在 上单调递增. (2)由(1)知当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减, 要使 有两个零点,只要 ,所以 .(因为当 时, ,当 时, ) 下面我们讨论当 时的情形: 当 ,即 时, 在 上单调递增,不可能有两个零点; 当 ,即 时,因为 , 所以 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增; 因为 , ,所以 , 没有两个零点; 当 时,即 时,因为 , 所以 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增, , , 没有两个零点. 综上所述:当 时, 有两个零点. 4.设函数 . (Ⅰ)当 时,求函数 的单调区间; (Ⅱ)当 时,若函数 与函数 的图像总有两个交点,设两个交点的横坐标分别 为 , . ①求 的取值范围; ②求证: . 【答案】(Ⅰ)当 时,单调递增区间是 ;单调递减区间是 . (Ⅱ)① ,②见解析 【解析】 (Ⅰ)由已知得, , 由 , ,令 得: , 令 得, 所以,当 时,单调递增区间是 ;单调递减区间是 . 解法二: , 由 得, ;由 得, 易知, 为极大值点. 而 在 时取得极小值, 由题意,只需满足 ,解得 . ②由题意知, , 为函数 的两个零点,由①知,不妨 设 ,则 ,且函数 在 上单调递增, 欲证 ,只需证明 ,而 , 所以,只需证明 . 令 ,则 ∴ ∵ ,∴ ,即 所以, ,即 在 上为增函数,所以, , ∴ 成立,所以, . 5.已知函数 ( 为常数). (Ⅰ)讨论函数 的单调性; (Ⅱ)是否存在正实数 ,使得对任意 ,都有 ,若存在,求出实数 的取值范围;若不存在,请说明理由; (2)若函数 有且只有三个不同的零点,分别记为 x1,x2,x3,设 x1<x2<x3,且 的最大值 是 e2,求 x1x3 的最大值. 【答案】(1)当 m≤0 时,函数 在区间(0,+∞)上单调递增;当 m>0 时, 函数 在(0, )上单调递增, 函数 在( ,+∞)上单调递减;(2) . (2)∵ 函数 g(x)=(x-e)( lnx-mx)有且只有三个不同的零点, 显然 x=e 是其零点, ∴ 函数 存在两个零点,即 有两个不等的实数根. 可转化为方程 在区间(0,+∞)上有两个不等的实数根, 即函数 y=m 的图象与函数 的图象有两个交点. ∵ , ∴ 由 >0,解得 ,故 在上单调递增; 由 <0,解得 x>e,故 在(e,+∞)上单调递减; 故函数 y=m 的图象与 的图象的交点分别在(0,e),(e,+∞)上, 即 lnx-mx=0 的两个根分别在区间(0,e),(e,+∞)上, ∴ g(x)的三个不同的零点分别是 x1,e,x3,且 0e. 令 ,则 t∈ . 由 ,解得 故 ,t∈ . 令 ,则 . 令 ,则 . 所以 在区间 上单调递增,即 > . 所以 ,即 在区间 上单调递增, 即 ≤ = , 所以 ,即 x1x3≤ , 所以 x1x3 的最大值为 .