【推荐】专题08+解密含参不等式的解法-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练（必修5）x 20页

一、选择题 ‎1．【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学2018届高三上学期第一次联考】不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）‎ A. 或 B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎ ‎ ‎2．【河北省冀州中学2017-2018学年高一上学期第一次月考】若实数，且满足，，则代数式的值为（ ）‎ A. -20 B. 2 C. 2或-20 D. 2或20‎ ‎【答案】A ‎【解析】满足，可看着方程的两根，， ，故选A.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查韦达定理的应用以及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划 归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题表面是求出的值，再代入求值，其实需要转化为利用韦达定理整体代入求解.‎ 二、填空题 ‎3．【2016-2017盐城市第一中学高二期末】已知关于x的不等式的解集为，则实数=___________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】因为不等式的解集为 所以1，m是的两个实数根，‎ 所以，即 故答案为：3‎ ‎4．【2017江苏省镇江市10月高三数学月考】若关于的不等式的解集为，则的值为__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎ ‎ ‎5．【2017年春学期金坛四中高一年级第二次质量检测】若，则不等式的解集是______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】因为，变形为.‎ 解得或.‎ 所以解集为或.‎ ‎6．【福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2016-2017学年高一下学期期末联考】若不等式： 的解集为空集，则实数的取值范围是______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当， ， ，符合要求；当时，因为关于的不等式的解集为空集，即所对应图象均在轴上方，故须，综上满足要求的实数的取值范围是，故答案为.‎ 点睛：本题是对二次函数的图象所在位置的考查．其中涉及到对二次项系数的讨论，在作题过程中，只要二次项系数含参数，就要分情况讨论，这也是本题的一个易错点；先对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在不为0时，把解集为空集转化为所对应图象均在轴上方，列出满足的条件即可求实数的取值范围.‎ 三、解答题 ‎7．【广东省揭阳市普宁华美实验学校2017-2018学年高二上学期第一次月考】解下列关于x的不等式．‎ ‎ （1）≥3， （2）x2﹣ax﹣2a2≤0（a∈R ‎【答案】(1) （2，]；(2) [2a，﹣a].‎ ‎【解析】试题分析：（1）主要考查了分式不等式的解法，需通过移项将3移到不等式的左边，整理后不等式转化为化为，由一元二次不等式的解法可得出不等式的解集.（2）主要考查了二次不等式的解法，可将x2﹣ax﹣2a2≤0转化为，再由数轴穿根法即可求出解集，但要注意对a进行分类讨论.‎ ‎ ‎ ‎8．【河北省鸡泽县第一中学2017-2018学年高二第一次月考】已知常数，解关于的不等式 ‎【答案】当，原不等式为；‎ 当时，原不等式的解集为或．；‎ 当时， 时，原不等式的解集为．‎ 当时，原不等式的解集为．‎ ‎【解析】试题分析：讨论是否为0．当，再讨论的正负，同时讨论其判别式．当判别式大于0时注意两根的大小，画抛物线结合图像可解不等式．‎ ‎（3）若．‎ ‎①当，即，原不等式的解集为或．‎ ‎②当时， 时，原不等式化为，‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ ‎③当，即时，原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式的解集为；‎ 当原不等式的解集为；‎ 当，原不等式为；‎ 当时，原不等式的解集为或．；‎ 当时， 时，原不等式的解集为．‎ 当时，原不等式的解集为．‎ 考点：一元二次不等式．‎ ‎9．【江苏省东台市创新学校2017-2018学年高二9月月考】关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）‎ ‎（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；‎ ‎（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．‎ ‎【答案】（1） （2）当a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，当a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，当﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，当a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，当a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}． ‎ ‎【解析】试题分析：（1）且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∴a＞0；又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2，从而可求出的值；（2）分四种情况讨论的取值，分别根据一元二次不等式的解法求出对应不等式的解集即可.‎ ‎∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}；‎ 当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1）≤0，‎ 不等式对应方程的两个实数根为和﹣1，‎ 在﹣2＜a＜0时，＜﹣1，‎ ‎∴不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}；‎ 在a=﹣2时，=﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；‎ 在a＜﹣2时，＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}． ‎ 综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，‎ a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，‎ ‎﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，‎ a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，‎ a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}‎ ‎【方法点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.‎ ‎10．【重庆市铜梁县第一中学2018届高三上学期第一次联考】已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）解该不等式；‎ ‎（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．‎ ‎【答案】（1）当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a，‎ 当a=1或a=2时，原不等式的解集为∅，‎ 当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．‎ ‎（2）当a=4时，dmax=6.‎ ‎（Ⅰ）原不等式可化为(x-a2-2)（x﹣3a）＜0，‎ 当a2+2＜3a，即1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a；‎ 当a2+2=3a，即a=1或a=2时，原不等式的解集为∅；‎ 当a2+2＞3a，即a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．‎ 综上所述，当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a，‎ 当a=1或a=2时，原不等式的解集为∅，‎ 当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．‎ ‎（Ⅱ）当a=1或a=2时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大．当a≠1且a≠2时，‎ ‎ ，a∈R．设t=a2+2﹣3a，a∈R，则当a=0时，t=2，当 时，‎ ‎ ，当a=4时，t=6，∴当a=4时，dmax=6．‎ 点睛：这道题目注意，解二次不等式要想到因式分解，再就是比较两根大小；找区间长度，即是两根之差的最值；‎ ‎11．【山西省芮城中学2016-2017学年高一下学期期末】设函数，‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎（2）由题意得： 恒成立，‎ ‎ ‎ 恒成立.‎ 易知 ，‎ 的取值范围为： ‎ ‎12．【江苏省淮安市淮海中学2018届高三上学期第一次阶段调研】已知关于的不等式（）.‎ ‎（1）若不等式的解集为或，求， 的值；‎ ‎（2）求不等式（）的解集.‎ ‎【答案】（1） ;(2) ①当时， ，∴或 ‎②当时， ，∴ ③当时， ，∴‎ ‎④当时， ，∴.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由不等式的解集为或，可得a＞0，同时1，b是一元二次方程ax2﹣3x+2＞0的两个实数根，利用韦达定理即可得出；‎ ‎（2）不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax化为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0．对a分类讨论：当a=0时；当a＞0或a＜﹣3时；当﹣3＜a＜0时，解出即可．‎ ‎∴①当时， ，∴或 ‎②当时， ，∴‎ ‎③当时， ，∴‎ ‎④当时， ，∴‎ ‎13．【甘肃省天水一中2017-2018学年高一上学期开学考】(1)若时,求关于的不等式 的解 ‎(2)求解关于的不等式,其中为常数.‎ ‎【答案】(1) 或 ；（2）若时， ，若时， 或，若时， 或 ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1) 当时，不等式为： 则不等式的解集为 或 ；‎ ‎(2)分类讨论可得不等式的解集为：若时， ，若时， 或，若时， 或.‎ 点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据 ‎(1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．‎ ‎(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．‎ ‎(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．‎ ‎14．【江苏省泰州市2016-2017学年度第二学期期末】已知函数．‎ ‎（1）若的解集为，求的值；‎ ‎（2）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，解关于的不等式（结果用表示）．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）根据不等式解集与方程根的关系得的两个根为-1和3，再根据韦达定理可得．（2）一元二次方程恒成立，得，解得实数的取值范围；（3）当时，先因式分解得，再根据a与1的大小分类讨论不等式解集. ‎ ‎（3）当时，即，‎ 所以，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 综上，当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为．‎ ‎15．【贵州省遵义航天高级中学2016-2017学年高一下学期第三次月考】已知函数f(x)= ‎ ‎ 解关于x的不等式f(2x)+(a-1)f(x)>a ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：先代入因式分解得，再根据a 的大小进行讨论：两个讨论点，一个是零，一个是，最后求出解集 试题解析： ‎ 当 时， ；解集为 ‎ 当 时， ；解集为 当 时， ；解集为 当 时， ；解集为 ‎16．【江西赣中南五校2017-2018学年高二第一次联考】解关于的不等式.‎ ‎【答案】当时，原不等式的解集为,当时，原不等式的解集为.‎ ‎【解析】试题分析：分三种情况讨论，当时，直接得；当时，由可得 ‎；当时，由求根公式结合一元二次不等式的基本解法可得结果.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.‎ ‎17．【江西省赣州市2016-2017学年高一期末】已知关于的不等式的解集为．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）解关于的不等式： （为常数）‎ ‎【答案】(1);(2）当时解集为； 当时解集为；‎ 当时解集为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题知为关于的方程的两根，由韦达定理得关于的方程组，解得；（2）不等式等价于，所以当时解集为；当时解集为；当时解集为．‎ 考点：1、二次不等式与二次方程之间的关系；2、二次不等式的解集.‎ ‎18．【福建省三明市2016-2017学年高一期末】已知函数.‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)且.‎ ‎【解析】（1）不等式，可化为，即，‎ 当时，解集为.‎ 当时，解集为，‎ 当时，解集为.‎ ‎（2）不等式，可化为.‎ 设，则图象的对称轴为，‎ 所以在上单调递增，‎ 则，‎ 所以且.‎ ‎19．【四川省内江市2016-2017学年高一下学期期末】（1）比较与的大小；‎ ‎（2）解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1）;（2）当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）分别对和平方，作差比较即可；‎ ‎（2）∵，分 三种情况分类讨论即可得到不等式的解集 ‎ ‎ ‎20．【甘肃省肃南县第一中学2016-2017学年高二下学期期末】解关于的不等式.‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：先将不等式变形为，确定两根，再对实数， ， 进行分类讨论，写出不等式的解集。‎ 试题解析：‎ 原不等式可化为，‎ 点睛：本题是一道含参数一元二次不等式的解法问题，求解时按一般的一元二次不等式的解法进行求解，即先求出一元二次方程的解，确定两根分别为，再对实数， ， 进行分类讨论，写出不等式的解集：‎ ‎21．【山西省怀仁县第八中学2016-2017学年高一期末】解关于x的不等式 ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）讨论的取值，分为，两种情形，求出对应不等式的解集即可.‎ 试题解析：当a=0时，原不等式化为x+10，解得;当时，原不等式化为，解得；综上所述，当a=0时，不等式的解集为 ，当时，不等式的解集为.‎ 点睛：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，元二次不等式的核心还是求一元二次方程的根，然后在结合图象判定其区间解题时应用分类讨论的思想，是中档题目；常见的讨论形式有：1、对二项式系数进行讨论；2、相对应的方程是否有根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论.‎ ‎22．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2016-2017学年高一6月检测】解关于的不等式，（其中为常数且）‎ ‎【答案】当时不等式的解集为 当时不等式的解集为 当时不等式的解集为 ‎【解析】试题分析：‎ 利用题意分类讨论可得：‎ 当时不等式的解集为 当时不等式的解集为 当时不等式的解集为 ‎ ‎ ‎23．【福建省龙海市程溪中学2016-2017学年高一年下学期期中】已知关于x的不等式ax2‎ ‎＋(1－a)x－1>0‎ ‎（1）当a=2时，求不等式的解集。‎ ‎（2）当a>－1时。求不等式的解集 ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，不等式即为，由此可求得不等式的解集；‎ ‎（2）不等式即为，其对应的方程的根为和，利用二次函数的性质分类讨论，即可求解不等式的解集.‎ 试题解析：‎ ‎（1）原不等式的解集为 ‎ ‎（2）二次项系数含有参数，因此对a在0点处分开讨论．若a≠0，则原不等式ax2＋(1－a)x－1>0等价于(x－1)(ax＋1)>0.其对应方程的根为－与1. ‎ ‎ ‎ ‎24．解关于x的不等式 ‎【答案】当a＜0或a＞1时时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当a=0或a=1时，原不等式的解集为φ.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 根据分类讨论思想分为和 三种情况进行讨论 试题解析：解：（1）当a＜0或a＞1时，有a＜a2，此时不等式的解集为 ‎ ‎（2）当时，有a2＜a，此时不等式的解集为 ‎ ‎（3）当a=0或a=1时，原不等式无解． ‎ 综上，当a＜0或a＞1时时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当a=0或a=1时，原不等式的解集为φ.‎ ‎25．【江苏省张家港市沙洲中学2016-2017学年高一期中】已知不等式的解集为，‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)解不等式.‎ ‎【答案】（1）a＝1，b＝2；（2）见解析.‎ ‎(2)所以不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，‎ 即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.‎ 当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|22时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2