数学理卷·2018届广东省汕头市金山中学高三上学期期末考试（2018 11页

汕头市金山中学2018届高三理科数学期末考试试题 命题人：邓建斌 黄旭亮 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，全集，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数,是虚数单位,是的共轭复数,则下列判断正确的是( )‎ A.是纯虚数 B. C. 的虚部为 D. 若则 ‎3.下列叙述中正确的是(　 )‎ A．若a，b，G∈R，则“G是a，b的等比中项”的充要条件是“G2=ab”‎ B．在△ABC中，若则△ABC为钝角三角形 C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”‎ D．若a，b是异面直线，直线c平行于直线a，则c与b不可能是平行直线 ‎4．设,是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则存在实数λ，使得 C．若，则 D．若存在实数λ，使得，则 ‎5.已知向量＝(3，－2)，＝(x，y－1)，且∥，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　)‎ A. B. C．8 D．24‎ ‎6. 已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是(　　)‎ A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称 C．f(x)既是奇函数，又是周期函数 D．f(x)的最大值为 ‎7.如图所示是一个几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，‎ 且斜边BD=2，侧视图是一直角三角形，俯视图是一直角梯形，且AB=BC=1，‎ 则异面直线PB与CD所成角的正切值是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎8.在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2，‎ ‎，数列{bn}的前n项和为Sn，则当＋＋…＋最大时，n的值等于(　　)‎ A.8 B.9 C.8或9 D. 17‎ ‎9. 函数，若存在，使得则k的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知数列各项为正数，，△ABC所在平面上的点均满足△与△的面积比为，若则的值是（ ）‎ A.1023 B.1024 C.2048 D. 2049‎ ‎12. 定义在上的函数满足,，其中是函数的导函数，若对任意正数，都有，则的取值范围是（ ）‎ A．（） B．（）‎ C．（） D．（）‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.‎ ‎14.若两个向量与的夹角为，则称向量“”为“向量积”，其长度.‎ 已知，，则＝________.‎ ‎15.已知点的坐标满足则的取值范围是_______________.‎ ‎16.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n (n>l，n∈N*)个点，相应的图案 中总的点数记为，则=_____________ [来源:Z#xx 三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。第17～21题为必考题，每题12分,第22，23题为选考题，每题10分,考生根据要求作答。‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的值域；‎ ‎（Ⅱ）若的内角、、所对的边分别为、、，且满足,求的值.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图，是圆的直径，是圆上异于的一点，，，，‎ ‎，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知数列前项和为，，且满足（）．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列前项和为.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的右焦点,椭圆的左,右顶点分别为.过点的直线与 椭圆交于两点,且△的面积是△的面积的3倍.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若与轴垂直，是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，‎ 试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数[来源:学#科#网]‎ ‎（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的参数方程和直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点是曲线上一点，求点到直线的最小距离.‎ 23． 选修4-5：不等式选讲 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围．‎ 汕头市金山中学2018届高三理科数学期末考试参考答案 ‎1~12 CDDBC DCCDB AB 13. 14. 15. 16. ‎ ‎17：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）,‎ ‎,即，由正弦定理可得 ‎，又由 可得，由余弦定理可得.‎ 由正弦定理可得,由三角形的内角和可得.‎ ‎18.（1）因为是圆的直径，是圆上异于的一点，∴.‎ 又因为，又，所以平面 又因为，，∴四边形是平行四边形.‎ 所以平面 （2） 由（1）知，又因为，又，所以平面，‎ ‎∴,又因为，，所以,以为原点建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则，，‎ ‎，.‎ 设为平面的法向量，则，令，得.‎ 设为平面的法向量，则，令得.‎ 所以，‎ ‎∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ 19. ‎（Ⅰ），由，得，‎ 两式相减得，………………2分 由得到，‎ 当，‎ 又 所以为以-3为首项以3为公比的等比数列，‎ 故………………6分 ‎（Ⅱ），…………7分 ‎9分 ‎…………11分 ‎………………12分 ‎20： 解法一：（I）因为△的面积是△的面积的3倍，‎ 所以，即 ，所以，所以，‎ 则椭圆的方程为． …………………………4分 ‎（II）当，则，‎ 设直线的斜率为，则直线的斜率为， ‎ 不妨设点在轴上方，，设，，‎ 则的直线方程为，代入中整理得 ‎，‎ ‎； 同理． ……………………8分 所以，， ……………………10分 则，‎ 因此直线的斜率是定值．…………………………12分 解法二：‎ ‎（II）依题意知直线的斜率存在，所以设方程：代入中 整理得，设，，‎ 所以，，……………………6分 当，则，不妨设点在轴上方，，‎ 所以，整理得，……………8分 所以，‎ 整理得，……………………9分 即，所以或．……………………10分 当时，直线过定点，不合题意；当时，‎ ‎，符合题意，‎ 所以直线的斜率是定值．…………………………12分 ‎21.解：（I）因为函数，‎ 所以，，…………………………………………2分 又因为，所以函数在点处的切线方程为． …………3分 ‎（II）因为存在，使得成立，‎ 而当时，，‎ 所以只要即可．……………………………………………4分 由（I），．‎ 得 因为当时，总有所以在上是增函数， ………………………………5分 又，‎ 所以，，的变化情况如下表所示：‎ 减函数 极小值 增函数 所以在上是减函数，在上是增函数，‎ 所以当时，的最小值， ‎ 的最大值为和中的最大值．………………………7分 因为，‎ 令，因为，‎ 所以在上是增函数．‎ 而，故当时，，即；‎ 当时，，即．………………………………………9分 所以，当时，，即，‎ 函数在上是增函数，解得；………………………………10分 当时，，即，‎ 函数在上是减函数，解得．………………………………11分 综上可知，所求的取值范围为．………………………………12分 ‎21.(Ⅰ)由曲线的极坐标方程得：，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为:，曲线的参数方程为,（为参数）；‎ 直线的普通方程为：.‎ ‎ (II)设曲线上任意一点为，则 点到直线的距离为 ‎∴.‎ ‎22.（Ⅰ）当时，，‎ ‎①当时，，由，解得，所以；‎ ‎②当时，恒成立，所以；‎ ‎③当时，，由，解得，所以；‎ 综上所述，不等式的解集为．‎ ‎（II）若对任意的，都有，使得成立，‎ 设，，则，‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以，解得或，‎ 因此，实数的取值范围为．‎