江西省南昌市第二中学2020届高三数学（文）下学期校测（一）试题（Word版附答案） 15页

南昌二中 2020 届高三校测(一) 文科数学试卷 命 题：高三数学备课组 第 I 卷 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．已知全集U  R ，集合 }10|{  xRxA ，B={-1,0,1}，则  BACU )( A．{ }1 B．{1} C．{ 1,0} D．{0,1} 2．若复数 2 iz   ，i 为虚数单位，则 (1 )(1 )z z   A． 2 4i B． 2 4i  C． 2 4i  D． 4 3．已知实数 .a b ，则“ 2ab  ”是“ 2 2 4a b  ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若函数    sin 3cos 0xf x x     的图象的一条对称轴为 3x  ,则 的最小值为 A． 3 2 B． 2 C． 5 2 D．3 5．已知数列  na 为等比数列， nS 是它的前 n 项和，若 2 3 12a a a  ，且 4a 与 72a 的等差中项 为 5 4 ，则 5S  A． 35 B．33 C． 31 D． 29 6．已知向量 ( 3,0)a  ， ( , 2)b x  ，且 ( 2 )a a b    ，则 a b    A． 2 3 B． 2 3 C． 3 2  D． 3 2 7．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题 目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和 尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算 法，则输出 n 的值为 A． 20 B． 25 C．30 D．35 8．已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75．现发现在收集 这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60， 另一个错将 70 记录为 90．在对错误的数据进行更正后，重新求得 样本的平均数为 x ，方差为 2s ，则 A． 270, 75x s  B． 270, 75x s  C． 270, 75x s  D． 270, 75x s  9．下列图象可以作为函数   2 xf x x a   的图象的有 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 10．已知 P，A，B，C 是半径为 2 的球面上的点，O 为球心， 2PA PB PC   ， 90ABC   ， 则三棱锥O ABC 体积的最大值是 A． 3 B．1 C． 1 2 D． 3 4 11．已知 1F ， 2F 分别是双曲线 C ： 2 2 14 3 x y  的左，右焦点，动点 A 在双曲线的左支上，点 B 为圆 E ：  22 3 1x y   上一动点，则 2AB AF 的最小值为 A．7 B．8 C． 6 3 D． 2 3 3 12．若函数    1 ,{ 2 1, xx e x af x x x a        有最大值，则实数 a 的取值范围是 A． 2 1 1 ,2 2e     B． 2 1 ,2e     C． 2   D． 2 1 12, 2 2e       第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．函数 xy axe 的图象在 0x  处的切线与直线 y x  互相垂直,则 a _____． 14．如图在平行四边形 ABCD 中，AB=4，AD=3，E 为边 CD 的中点， 1 3DF DA  ，若 4AE BF    则 cos DAB = . 15．如图，在一个底面边长为 4 cm 的正六棱柱容器内有一个半径为 2 3 cm 的 铁球，现向容器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则 水面下降______cm. 16．在数列 na 中， 1 1a  ， 1 2 2 13 3 2 3 2( 2)n n n n na a n        ， nS 是数列 1na n     的前 n 项和，则 nS 为 . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每 道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共 60 分. 17．(12 分)已知 3( ) 3 cos2 2sin( )sin( )2f x x x x     ， xR ， （1）求 ( )f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）已知锐角 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 ( ) 3f A   ， 3a  ， 求 BC 边上的高的最大值． 18．(12 分)为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济 收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的 趋势.下表给出了 2017 年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时 6 组死亡的株数： 温度 x （单位： C ） 21 23 24 27 29 32 死亡数 y（单位：株） 6 11 20 27 57 77 经计算： 6 1 1 266 i i x x    ， 6 1 1 336 i i y y    ， 6 1 ( )( ) 557i i i x x y y     ， 6 2 1 ( ) 84i i x x    ， 6 2 1 ( ) 3930i i y y    ， 6 2 1 ( ) 23 .6ˆ 6 4i i y y    ， 8.065 3167e  ，其中 ix ， iy 分别为试验数据中 的温度和死亡株数， 1,2,3,4,5,6i  . （1）若用线性回归模型，求 y 关于 x 的回归方程 ^ ^ ^ y b x a  （结果精确到 0.1）； （2）若用非线性回归模型求得 y 关于 x 的回归方程 0.23030.06ˆ xy e ，且相关指数为 2 0.9522R  . (i)试与（1）中的回归模型相比，用 2R 说明哪种模型的拟合效果更好； （ii）用拟合效果好的模型预测温度为35 C 时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）. 附：对于一组数据 1 1( , )u v ， 2 2( , )u v ，，( , )n nu v ，其回归直线 ˆˆv u     的斜率和截距 的最小二乘估计分别为： 1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i u u v v u u           ， a v u     ；相关指数为： 2 2 1 2 1 ( ) 1 ( ) n ii i n i i i v v R v v          . 注：相关指数越趋近于 1 拟合效果越好 19．(12 分)已知四棱台 ABCD-A1B1C1D1 的下底面是边长为 4 的正方形，AA1=4，且 AA1⊥面 ABCD，点 P 为 DD1 的中点，点 Q 在 BC 上，BQ=3QC，DD1 与面 ABCD 所成角的正切值为 2. （Ⅰ）证明：PQ//面 A1ABB1； （Ⅱ）求证：AB1⊥面 PBC，并求三棱锥 Q-PBB1 的体积. 20．(12 分)已知曲线C 上的点到点  1,0F 的距离比到直线 : 2 0l x   的距离小1，O 为坐标 原点. （1）过点 F 且倾斜角为 45 的直线与曲线 C 交于 M 、 N 两点，求 MON△ 的面积； （2）设 P 为曲线C 上任意一点，点  2,0N ，是否存在垂直于 x 轴的直线l ，使得l 被以 PN 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由. 21．(12 分)已知函数   2ln 2f x x x x   . （1）讨论函数  f x 的单调性； （2）判断并说明函数     cosg x f x x  的零点个数.若函数  g x 所有零点均在区间  ( )m n m n Z Z， ， 内，求 n m 的最小值. (二)选考题：共 10 分. 22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1 cos: 1 sin x tC y t     （t 为参数），以坐标原点O 为极点，以 x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 cos 3 33       . （1）求曲线 1C 的极坐标方程； （2）已知点  2,0M ，直线l 的极坐标方程为 6   ，它与曲线 1C 的交点为O ， P ，与 曲线 2C 的交点为 Q ，求 MPQ 的面积. 23. 已知   1 1f x x ax    . （1）当 1a  时，求不等式   1f x  的解集； （2）若  0,1x 时不等式  f x x 成立，求 a 的取值范围. 南昌二中 2020 届高三校测(一)文科数学试卷参考答案 第 I 卷 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1．已知全集 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，全集 ，集合 ， 可得 或 ，又由集合 ，所以 .故选：C. 2．若复数 ， 为虚数单位，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ,选 B. 3．已知实数 ，则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】本题考查充分必要条件的判断、不等式等知识． 充分性：由均值不等式 ；必要性：取 ，显然得不到 ．故 “ ”是“ ”的充分不必要条件，选 A． 4．若函数 的图象的一条对称轴为 ，则 的最小值 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ，且函数 的图象的一条 对称轴为 ， ∴当 时， 取最大值或最小值，∴ ， ∴ ，∵ ，∴ 的最小值为 .故选：C. 5．已知数列 为等比数列， 是它的前 项和，若 ，且 与 的等差中项 为 ，则 （ ）． A． B． C． D． 【答案】C 试题分析：由题意得，设等比数列的公比为 ，则 ，所以 ， 又 ，解得 ，所以 ， 故选 C． 6．已知向量 ， ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】向量 ， ,所以 =（ ,4）,因为 ，故 （ ）+0=0 解得 ,则 .故答案为 D. 7．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧， 大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问 题的一个求解算法，则输出 的值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】输出 ； ； ； ； ； ， 退出循环，输出 ，故选 B. 8．已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75．现发现在收集这些数据时，其中的两 个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90．在对错误的数据进行更 正后，重新求得样本的平均数为 ，方差为 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，根据平均数的计算公式，可得 ， 设收集的 48 个准确数据分别记为 ， 则 ， ， 故 ．选 A． 9．下列图象可以作为函数 的图象的有 （ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【解析】当 a<0 时,如取 a=−4,则 其定义域为：{x|x≠±2}，它是奇函数，图象是 ③，所以③选项是正确的； 当 a>0 时，如取 a=1，其定义域为 R，它是奇函数，图象是②。所以②选项是正确的； 当 a=0 时,则 ,其定义域为：{x|x≠0}，它是奇函数，图象是④，所以④选项是正确的。 本题选择 C 选项. 10．已知 P，A，B，C 是半径为 2 的球面上的点，O 为球心， ， ， 则三棱锥 体积的最大值是( ) A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】如图,设 交平面 于 .因为 ,由球的对称性有 底面 . 又 , .故 . , 因为 ,所以 . 又 .故 . 故 .当且仅当 时取等号. 故选：B 11．已知 ， 分别是双曲线 ： 的左，右焦点，动点 在双曲线的左支上，点 为圆 ： 上一动点，则 的最小值为（ ） A．7 B．8 C． D． 【答案】A 【解析】双曲线 中 ， ， ， ， 圆 半径为 ， ， ， （当且仅当 ， ， 共线且 在 ， 之间时取等号.） 当且仅当 是线段 与双曲线的交点时取等号． 的最小值是 7.故选：A. 12．若函数 有最大值，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ， ，可得 在 上递增，在 递减，当 时，函数 在 上递增，在 递减， 有最大值 ，可排除选项 D； 时， ，而 ， ，即 无最大值， 可排除选项 C；当 时， 在 上递增，在 上递减，在 递减，且有 ， 有最大值 ，可排除选项 B,故选 A. 第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．函数 的图象在 处的切线与直线 互相垂直,则 _____． 【答案】1. 【解析】 函数 的图象在 处的切线与直线 垂直, 函数 的图象在 的切线斜率 本题正确结果： 14．如图在平行四边形 ABCD 中，AB=4，AD=3，E 为边 CD 的中点， ，若 则 =---------. 【答案】 【解析】因为平行四边形 中， ， ， 是边 的中点， ， ∴ ， ， ∴ = = = ∴ . 15．如图，在一个底面边长为 cm 的正六棱柱容器内有一个半径为 cm 的铁球，现向容 器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降______cm. 【答案】 【解析】解：假设铁球刚好完全浸入水中，球的体积 ，水面高 度为 ， 此时正六棱柱容器中水的体积为 ， 若将铁球从容器中取出，则水面高度 ， 则水面下降 .故答案为: . 16．在数列 中， ， ， 是数列 的 前 项和，则 为 . 【答案】 【解析】：由 得 ，即 ，所以数列 是以 为首项、 为公比的等比数列，所以 ，由 ， . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每道 试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共 60 分. 17．已知 ， ， （1）求 的最小正周期及单调递增区间； （2）已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 求 边上的高的最大值． 17. 【解析】（1） 的最小正周期为： ； 当 时，即当 时，函数 单调递增， 所以函数 单调递增区间为： ； （2）因为 ，所以 设 边上的高为 ，所以有 ， 由余弦定理可知： （当 用仅当 时，取等号），所以 ，因此 边上的高的最大值 . 18．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入. 紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势. 下表给出了 2017 年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时 6 组死亡的株数： 温度 （单位： ） 21 23 24 27 29 32 死亡数 （单位：株） 6 11 20 27 57 77 经计算： ， ， ， ， ， ， ，其中 ， 分别为试验数据中 的温度和死亡株数， . （1）若用线性回归模型，求 关于 的回归方程 （结果精确到 0.1）； （2）若用非线性回归模型求得 关于 的回归方程 ，且相关指数为 . (i)试与（1）中的回归模型相比，用 说明哪种模型的拟合效果更好； （ii）用拟合效果好的模型预测温度为 时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）. 附：对于一组数据 ， ， ， ，其回归直线 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为： ， ；相关指数为： . 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)详见解析． 试题解析：(Ⅰ)由题意得， ∴ 33−6.63´26=−139.4， ∴ 关于 的线性回归方程为： =6.6x−139.4． （注：若用 计算出 ，则酌情扣 1 分） (Ⅱ) （i）线性回归方程 =6.6x−138.6 对应的相关指数为： ，因为 0.9398＜0.9522， 所以回归方程 比线性回归方程 =6.6x−1 38.6 拟合效果更好． （ii）由（i）知，当温度 时， ， 即当温度为 35°C 时该批紫甘薯死亡株数为 190. 19．已知四棱台 的下底面是边长为 4 的正方形， ，且 面 ，点 为 的中点，点 在 上， ， 与面 所成角的正切 值为 2. （Ⅰ）证明： 面 ； （Ⅱ）求证： 面 ，并求三棱锥 的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）6. 试题解析：（Ⅰ）证明：取 中点为 ，连接 、 ，过 作 于 . ∵ 面 ， ，∴ 面 .∴ 为 与面 所成 角. ∴ ，又 ，∴ .∴ .而 ， ， ∴ ，又 ，∴ ，∴四边形 为平行四边形， 又 面 ， 面 ，∴ 面 . （Ⅱ）由 面 ，∴面 面 且交于 .又 ，∴ 面 ， ∴ .在梯形 中，可证 ，∴ 面 . . 20．已知曲线 上的点到点 的距离比到直线 的距离小 ， 为坐标原点. （1）过点 且倾斜角为 的直线与曲线 交于 、 两点，求 的面积； （2）设 为曲线 上任意一点，点 ，是否存在垂直于 轴的直线 ，使得 被以 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 的方程和定值；若不存在，说明理由. 20．（1） ；（2）直线 存在，其方程为 ，定值为 . 【解析】（1）依题意得，曲线 上的点到点 的距离与到直线 的距离相等， 所以曲线 的方程为： . 过点 且倾斜角为 的直线方程为 ， 设 ， ，联立 ，得 ， 则 ， ，则 ； （2）假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，设点 ， 则以 为直径的圆的方程为 ， 将直线 代入，得 ， 则 ， 设直线 与以 为直径的圆的交点为 、 ， 则 ， ， 于是有 ， 当 ，即 时， 为定值. 故满足条件的直线 存在，其方程为 . 21．已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； （2）判断并说明函数 的零点个数.若函数 所有零点均在区间 内，求 的最小值. 21．（1）函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 （2） 存 在两个零点，详见解析； 的最小值为 3 解：（1） 的定义域为 ， ， 令 ，得 ， （舍）. 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 因此，函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 . （2） ，当 时， ， 因为 单调递减，所以 ， 在 上单调递 增， 又 ， ，所以存在唯一 ，使得 . 当 ， ， ， 所以 单调递减，又 ，所以 ， 在 上 单调递增. 因为 ，所以 ，故不存在零点. 当 时， ， ， 所以 单调递减，又 ， ， 所以存在 ，使得 .当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减. 又 ， ， ，所以存在唯一 ，使得 . 当 时， ，故不存在零点. 综上， 存在两个零点 ， ，且 ， ， 因此 的最小值为 3. 22. 在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数），以坐标原点 为极点，以 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的极坐标方程； （2）已知点 ，直线 的极坐标方程为 ，它与曲线 的交点为 ， ，与曲线 的交点为 ，求 的面积. 22. 【解析】（1） ，其普通方程为 ，化为极坐标方程为 （2）联立 与 的极坐标方程： ，解得 点极坐标为 联立 与 的极坐标方程： ，解得 点极坐标为 ， 所以 ，又点 到直线 的距离 ， 故 的面积 . 23. 已知 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 时不等式 成立，求 的取值范围. 23. 【解析】（1）当 时， ，即 故不等式 的解集为 ． （2）当 时 成立等价于当 时 成立． 若 ，则当 时 ； 若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ． 综上， 的取值范围为 ．