2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第四章　第7讲　解三角形的综合应用 20页

第7讲　解三角形的综合应用 一、知识梳理 ‎1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．‎ ‎2．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．‎ ‎3．方向角 相对于某一正方向的水平角．‎ ‎(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．‎ ‎(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．‎ ‎(3)南偏西等其他方向角类似．‎ ‎4．坡角与坡度 ‎(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．‎ ‎(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．‎ 常用结论 测量中的几种常见问题 求AB 图形 需要测量的元素 解法 求竖直高度 底部可达 ‎∠ACB＝α BC＝a 解直角三角形AB＝atan α 底部不可达 ‎∠ACB＝α ‎∠ADB＝β CD＝a 解两个直角三角形AB＝‎ 求水平距离 山两侧 ‎∠ACB＝α AC＝b BC＝a 用余弦定理AB＝ 河两岸 ‎∠ACB＝α ‎∠ABC＝β CB＝a 用正弦定理 AB＝ 河对岸 ‎∠ADC＝α ‎∠BDC＝β ‎∠BCD＝δ ‎∠ACD＝γ CD＝a 在△ADC中，‎ AC＝ 在△BDC中，‎ BC＝ 在△ABC中，应用余弦定理求AB 二、教材衍化 ‎1．‎ 如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则可以计算出A，B两点的距离为________m.‎ 解析：由正弦定理得＝，又因为∠B＝30°，‎ 所以AB＝＝＝50(m)．‎ 答案：50 ‎2．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝________米．‎ 解析：由题图可得∠PAQ＝α＝30°，‎ ‎∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，‎ 又∠PBC＝γ＝60°，‎ 所以∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，‎ 所以＝，所以PB＝a，‎ 所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β ‎＝a×sin 60°＋asin 15°＝a.‎ 答案：a 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)东北方向就是北偏东45°的方向．(　　)‎ ‎(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)‎ ‎(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)‎ ‎(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)‎ ‎(5)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，)．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√‎ 二、易错纠偏 (1)方向角与方位角概念不清；‎ ‎(2)仰角、俯角概念不清；‎ ‎(3)不能将空间问题转化为解三角形问题．‎ ‎1.‎ 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上，则灯塔A相对于灯塔B的方向为(　　)‎ A．北偏西5° B．北偏西10°‎ C．北偏西15° D．北偏西20°‎ 解析：选B.易知∠B＝∠A＝30°，C在B的北偏西40°的方向上，又40°－30°＝10°，故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10°.‎ ‎2．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC＝________‎ 答案：130°‎ ‎3．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部所连的线成30°角，则两条船相距________m.‎ 解析：由题意画示意图，如图，‎ OM＝AOtan 45°＝30(m)，‎ ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，‎ 在△MON中，由余弦定理得，‎ MN＝＝＝10(m)．‎ 答案：10 ‎　　　　　　求距离、高度问题(师生共研)‎ ‎ (1)(2020·福建宁德5月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“‎ 地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上 已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．‎ ‎(2)(2020·吉林长春质量监测(四))‎ ‎《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为______步．(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)‎ ‎【解析】　(1)由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，‎ 由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．‎ 在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，‎ 所以∠DBC＝30°，‎ 由正弦定理＝，‎ 得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．‎ 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，‎ 解得AB＝80.‎ 故图中海洋蓝洞的口径为80.‎ ‎(2)因为AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，‎ 所以＝.‎ 因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以＝.‎ 又BC＝DE，所以＝，‎ 即＝，所以HB＝30 750步，‎ 又＝，所以AH＝＝1 255(步)．‎ ‎【答案】　(1)80　(2)1 255‎ 求距离、角度问题的注意事项 ‎(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．‎ ‎(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可以用，就选择更便于计算的定理．　 ‎ ‎1.‎ 如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________m.‎ 解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.‎ 又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ.‎ 又PB为公共边，所以△PAB≌△PQB，所以PQ＝PA.‎ 在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，‎ 所以P，Q两点间的距离为900 m.‎ 答案：900‎ ‎2．为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B的同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1 m，则发射塔高AB＝________m.‎ 解析：‎ 如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.‎ 在△BCD中，由正弦定理得，‎ BC＝＝＝20.‎ 所以EF＝20，在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF＝20×＝20，‎ 所以AB＝AF＋BF＝20＋1(m)．‎ 答案：20＋1‎ ‎　　　　　　测量角度问题(师生共研)‎ ‎ 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．‎ ‎【解】　‎ 如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，‎ 则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.‎ 根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，‎ 解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.‎ 根据正弦定理得＝，‎ 解得sin α＝＝.‎ 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.‎ 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．‎ ‎[提醒]　方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．　 ‎ ‎　已知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？‎ 解：如图，设 缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，‎ 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，‎ 所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.‎ 又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，‎ 故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．‎ ‎　　　　　　求解几何计算问题(师生共研)‎ ‎ (2020·湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD中，0<∠DAB<，AD＝2‎ ‎，AB＝3，△ABD的面积为，AB⊥BC.‎ ‎(1)求sin∠ABD的值；‎ ‎(2)若∠BCD＝，求BC的长．‎ ‎【解】　(1)因为△ABD的面积S＝AD×ABsin∠DAB＝×2×3sin∠DAB＝，‎ 所以sin∠DAB＝.‎ 又0<∠DAB<，所以∠DAB＝，所以cos∠DAB＝cos＝.‎ 由余弦定理得BD＝＝，‎ 由正弦定理得sin∠ABD＝＝.‎ ‎(2)法一：因为AB⊥BC，所以∠ABC＝，‎ sin∠DBC＝sin＝cos∠ABD＝‎ ＝.‎ 在△BCD中，由正弦定理＝可得CD＝＝.‎ 由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcos∠DCB＝BD2，‎ 可得3BC2＋4BC－5＝0，解得BC＝或BC＝－(舍去)．‎ 故BC的长为.‎ 法二：因为AB⊥BC，所以∠ABC＝，‎ sin∠DBC＝sin＝cos∠ABD＝‎ ＝.‎ cos∠DBC＝cos＝sin∠ABD＝.‎ sin∠BDC＝sin(π－∠BCD－∠DBC)‎ ‎＝sin＝cos∠DBC－sin∠DBC＝.‎ 在△BCD中，由正弦定理＝，‎ 可得BC＝＝＝.‎ 求解该题第(2)问时易出现的问题是不能灵活利用“AB⊥BC”，将已知条件和第(1)问中所求值转化为△BCD内的边角关系．解决平面图形中的计算问题时，学会对条件进行分类与转化是非常重要的，一般来说，尽可能将条件转化到三角形中，这样就可以根据条件类型选用相应的定理求解．如该题中，把条件转化到△BCD中后，利用正弦定理和余弦定理就可以求出BC的长．　 ‎ ‎　如图，‎ 在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2，BD＝3＋，△BCD的面积S＝.‎ ‎(1)求CD；‎ ‎(2)求∠ABC.‎ 解：(1)在△BCD中，S＝BD·BC·sin∠CBD＝，‎ 因为BC＝2，BD＝3＋，‎ 所以sin∠CBD＝.‎ 因为∠ABC为锐角，所以∠CBD＝30°.‎ 在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝(2)2＋(3＋)2－2×2×(3＋)×＝9.所以CD＝3.‎ ‎(2)在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠BDC＝，因为BC＋>π，与三角形内角和定理矛盾，所以∠ACB＝，所以在△ABC中，由余弦定理可得AB＝＝‎ ＝，‎ 所以AB＝AC，所以∠B＝，‎ 所以在△BCD中，由正弦定理可得CD＝＝＝.‎ 答案： ‎9．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.‎ ‎(1)求cos∠ADB；‎ ‎(2)若DC＝2，求BC.‎ 解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝.‎ 由题设知，＝，‎ 所以sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，‎ 所以cos∠ADB＝＝.‎ ‎(2)由题设及(1)知，‎ cos∠BDC＝sin∠ADB＝.‎ 在△BCD中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC ‎＝25＋8－2×5×2×＝25.所以BC＝5.‎ ‎10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)·cos B－bcos C＝0.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)设函数f(x)＝2sin xcos xcos B－cos 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．‎ 解：(1)因为(2a－c)cos B－bcos C＝0，‎ 所以2acos B－ccos B－bcos C＝0，‎ 由正弦定理得2sin Acos B－sin CcosB－cos Csin B＝0，‎ 即2sin Acos B－sin(C＋B)＝0，‎ 又C＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sin A.‎ 所以sin A(2cos B－1)＝0.‎ 在△ABC中，sin A≠0，‎ 所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)因为B＝，‎ 所以f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，‎ 令2x－＝2kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，‎ 即当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值1.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·安徽宣城二模)在△ABC中，角A，B，C成等差数列．且对边分别为a，b，c，若·＝20，b＝7，则△ABC的内切圆的半径为(　　)‎ A.　　　 B．　　　　‎ C．2　　　 D．3‎ 解析：选A.因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以B＝.‎ 因为·＝accos B＝20，所以ac＝40.所以S△ABC＝acsin B＝10.‎ 由余弦定理得cos B＝＝‎ ＝，‎ 所以a＋c＝13，‎ 设△ABC的内切圆的半径为r，则S△ABC＝(a＋b＋c)r＝10r，‎ 所以10＝10r，解得r＝，故选A.‎ ‎2.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD. 已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为(　　) ‎ A．50 米 B．50 米 C．50米 D．50米 解析：选B.‎ 设该扇形的半径为r米，连接CO.‎ 由题意，得CD＝150(米)，OD＝100(米)，∠CDO＝60°，‎ 在△CDO中，CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2，‎ 即1502＋1002－2×150×100×＝r2，‎ 解得r＝50 .‎ ‎3.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________．‎ 解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得＝，即DB＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－1)，又＝，即＝，得到cos θ＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎4.如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°－α，后退l m至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔BC的高为________m；旗杆BA的高为________m．(用含有l和α的式子表示) ‎ 解析：在Rt△BCP1中，∠BP1C＝α，‎ 在Rt△P2BC中，∠P2＝.‎ 因为∠BP1C＝∠P1BP2＋∠P2，所以∠P1BP2＝，即△P1BP2为等腰三角形，BP1＝P1P2＝l，所以BC＝lsin α.‎ 在Rt△ACP1中，＝＝tan(90°－α)，所以AC＝，则BA＝AC－BC＝－lsin α＝＝.‎ 答案：lsin α　 ‎5．已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100 m和BN＝200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．‎ 解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，‎ 所以PM＝100.‎ 连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100，‎ 所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100.‎ 在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.‎ 在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200.‎ 所以BQ＝100，cos θ＝.‎ 在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100)2，所以BA＝100.‎ 即两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.‎ ‎6．(应用型)如图所示，经过村庄A有两条夹角60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)? ‎ 解：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝.‎ 因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ)．‎ 在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．‎ AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝‎ sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝sin2(θ＋60°)－sin(‎ θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4‎ ‎＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4‎ ‎＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋ ‎＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)．‎ 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.所以设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．‎