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- 2021-06-30 发布
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新课标人教版课件系列
《
高中数学
》
选修
1-2
第二章 推理与证明复习小结
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
直接证明
数学归纳法
间接证明
比较法
类比推理
归纳推理
分析法
综合法
反证法
知识结构
证
为
数
为
数
证
一
.
综合法
证
为
数
为
数
证
证
证明
:
要证
只需证
只需证
只需证
只需证
因为 成立
.
所以 成立
.
二
.
分析法
三
:
反证法
问题一
:
求证
:
两条相交直线有且只有一个交点
.
注
:
1.
结论中的有且只有
(
有且仅有
)
形式出现
,
是唯一性问题
,
常用反证法
2.
有且只有的反面包含
1)
不存在
;2)
至少两个
.
问题二
:
求证一元二次方程至多
------
有两个不相等的实根
.
注
:
所谓至多有两个
,
就是不可能有三个
,
要证
“
至多有两个不相等的实根
”
只要证明它的反面
“
有三个不相等的实根
”
不成立即可
.
问题
:
如图
;
已知
L
1
、
L
2
是异面直线且
A
、
B
∈
L
1
,C
、
D
∈
L
2
,,
求证
;AC,SD
也是异面直线
.
a
C
D
A
B
L
1
L
2
五
.
归纳、类比、猜想、证明
例
:
平面内有
n
条直线
,
其中任何两条不平行
,
任何三条不过同一点
,
证明交点的个数
f(n)
等于
n(n-1)/2.
证
:(1)
当
n=2
时
,
两条直线
的交点只有
1
个
,
又
f(2)=2
•
(2-1)/2=1,
因此
,
当
n=2
时命题成立
.
(2)
假设当
n=k(k
≥
2)
时命题成立
,
就是说
,
平面内满足 题设的任何
k
条直线
的交点个数
f(k)
等于
k(k-1)/2.
以下来考虑平面内有
k+1
条直线的情况
.
任取其中
的
1
条直线
,
记作
l.
由归纳假设
,
除
l
以外的其他
k
条直线的
交点个数
f(k)
等于
k(k-1)/2.
另外
,
因为已知任何两条直线不平行
,
所以直线
l
必与平面内其他
k
条直线都相交
,
有
k
个交点
.
又因为已知任何三条直线不过同一点
,
所以上面的
k
个交点两两不相同
,
且与平面内其他的
k(k-1)/2
个
交点也两两不相同
.
从而平面内交点的个数是
k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2.
这就是说
,
当
n=k+1
时
,
k+1
条直线的
交点个数为
:
f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.
根据
(1)
、
(2)
可知
,
命题对一切大于
1
的正整数都成立
.
说明
:
用数学归纳法证明几何问题
,
重难点是处理好当
n=k+1
时利用假设结合几何知识证明命题成立
.
注
:
在上例的题设条件下还可以有如下二个结论
:
(1)
设这
n
条直线互相分割成
f(n)
条线段或射线
,
---
则
: f(n)=n
2
.
(2)
这
n
条直线把平面分成
(n
2
+n+2)/2
个区域
.
练习
1:
凸
n
边形有
f(n)
条对角线
,
则凸
n+1
边形的对角线
------
的条数
f(n+1)=f(n)+_________.
n-1
练习
2:
设有通过一点的
k
个平面
,
其中任何三个平面或
三个以上的平面不共有一条直线
,
这
k
个平面将
空间分成
f(k)
个区域
,
则
k+1
个平面将空间分成
f(k+1)=f(k)+__________
个区域
.
2k
1
:
平面内有
n
条直线
,
其中任何两条不平行
,
任何三条不过同一点
,
证明
这
n
条直线把平面分成
f(n)
=
(n
2
+n+2)/2
个区域
.
作业:
再见