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- 2021-06-30 发布
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榆林市第二中学2019--2020学年度第一学期第一次月考高二年级数学试题
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1.已知数列,则5是这个数列的
A. 第12项 B. 第13项 C. 第14项 D. 第25项
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知的数列通项公式,列方程求出项数.
【详解】已知数列的通项公式为,
由,解得,
故选B.
【点睛】本题考查数列通项公式应用,属于基础题.
2.数列,,,,,,的一个通项公式为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先注意到数列的奇数项为负,偶数项为正,其次数列各项绝对值构成一个以1为首项,以2为公差的等差数列,从而易求出其通项公式.
【详解】∵数列{an}各项值为,,,,,,
∴各项绝对值构成一个以1为首项,以2为公差的等差数列,
∴|an|=2n﹣1
又∵数列的奇数项为负,偶数项为正,
∴an=(﹣1)n(2n﹣1).
故选C.
【点睛】本题给出数列的前几项,猜想数列的通项,挖掘其规律是关键.解题时应注意数列的奇数项为负,偶数项为正,否则会错.
3.在△ABC中,,则b=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用三角形内角和定理求得角,然后用正弦定理求得的值.
【详解】由三角形内角和定理得,由正弦定理得,解得.故选B.
【点睛】本小题主要考查三角形内角和定理,考查利用正弦定理解三角形.三角形内角和定理往往是题目的隐藏条件,需要在做题时想到.本题属于基础题.
4.在等差数列中,若,是方程的两根,则的前11项的和为( )
A. 22 B. -33 C. -11 D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】
a5,a7是方程x2-2x-6=0的两根,则a5+a7=2, S11==11 a6进而得到结果.
【详解】等差数列{an}中,若a5,a7是方程x2-2x-6=0的两根,
则a5+a7=2,∴a6=(a5+a7)=1,∴{an}的前11项的和为
S11==11a6=11×1=11.
故选D.
【点睛】
点睛:本题考查等差数列的通项公式,是基础的计算题,对于等差数列的小题,常用到的方法,其一是化为基本量即首项和公差,其二是观察各项间的脚码关系,即利用数列的基本性质.
5.已知等比数列的公比, 则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
把要求的代数式的分母提取,约分后可得答案.
【详解】解:∵等比数列{an}的公比,
∴,
故选D.
【点睛】本题考查了等比数列的性质,是基础的计算题.
6.在中,已知,则的外接圆直径是( )
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用正弦定理.
【详解】解:的外接圆直径(其中R指半径), 故选D.
【点睛】本题考查正弦定理,利用正弦定理求外接圆的直径,属基础题.
7.在等差数列中,,,则的前10项和为( )
A. -80 B. -85 C. -88 D. -90
【答案】A
【解析】
【分析】
用待定系数法可求出通项,于是可求得前10项和.
【详解】设的公差为,则,,所以,,前10项和为.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式,求和公式,比较基础.
8.已知数列是等差数列,,则 ( )
A. 36 B. 30 C. 24 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
通过等差中项的性质即可得到答案.
【详解】由于,故,故选B.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质,难度较小.
9.如果等差数列中,那么 ( )
A. 28 B. 21 C. 35 D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等差中项,进而可得结论.
【详解】解:∵,
∴,
∴,
故选A.
【点睛】本题考查等差中项的性质,注意解题方法的积累,属于中档题.
10.己知数列是等比数列, 是和3的等差中项,则 ( )
A. 16 B. 8 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差中求出,由此利用等比数列通项式能求出的值
【详解】解:∵数列是等比数列,1009是1和3的等差中项,
∴,,
故选D.
【点睛】本题考查等比数列的两项积的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列、等差中项的性质的合理运用.
11.已知等比数列公比为正数,且,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析:因为,等比数列中,若,且,所以有,故选A.
考点:等比数列的性质.
点评:简单题,等比数列中,若.
12.设等差数列的前项和为,若,则 ( )
A. 12 B. 8 C. 20 D. 16
【答案】C
【解析】
分析】
由等差数列的性质得:成等比数列,由此能求出的值.
【详解】解:∵等差数列的前项和为,,
由等差数列的性质得:
成等比数列
又
∴
.
故选C.
【点睛】本题考查等差数列的四项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知数列的前项和,则数列的通项公式是_________.
【答案】
【解析】
试题分析:(1)当时,,(2)当时,不适合上式,.所以答案应填:.
考点:求数列的通项公式.
【易错点睛】解答本题的关键是,但这里,也就是说取从开始的正整数,学生易忽略使用的条件,直接下结论导致错误,漏掉求时的值,有的在求时的值时不是通过来求,而是把代入求得导致错误.本题主要考查数列递推式的知识,难度不大,属于基础题.
14.在△ABC中 ,则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理可设,利用余弦定理可求的值.
【详解】因为,故设,
所以,填.
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,属于基础题.
15.等比数列的各项为正数,且,则_____.
【答案】10
【解析】
【分析】
由已知得,从而,由此能求出结果.
【详解】解:∵等比数列的各项均为正数,且,
∴,
∴
【点睛】本题考查对数式化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.
16.已知的内角所对的边分别为,若,,则__________.
【答案】
【解析】
试题分析:由得,故答案为.
考点:正弦定理.
三、解答题(本大题共6大题,共70分)
17.记为等差数列的前项和,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)求,并求的最小值.
【答案】(1);(2),.
【解析】
分析】
(1)先求出公差和首项,可得通项公式;
(2)由(1)可得前项和,由二次函数性质可得最小值(只要注意取正整数).
【详解】(1)设的公差为,
由题意得,,
解得,.
所以的通项公式为.
(2)由(1)得
因为
所以当或时,取得最小值,最小值为-30.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式,方法叫基本量法.
18.已知等差数列满足:,.的前n项和为.
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)令(),求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ).
【解析】
试题分析:(1)设等差数列的公差为,由已知可得
解得,则及可求;(2)由(1)可得,裂项求和即可
试题解析:(1)设等差数列的公差为,因为,,所以有,
解得,所以,.
(2)由(1)知,,
所以,
所以,
即数列的前项和.
考点:等差数列的通项公式,前项和公式.裂项求和
19.在中,,,分别是角,,的对边,且,,.求:
()的值.
()的面积.
【答案】();().
【解析】
分析:(1)由A与C度数求出B的度数,再由c及C的度数,利用正弦定理求出b的值即可;(2)由b,c及sinA的值,利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积.
详解:
()∵,,∴,
又,,
∴由正弦定理得:.
(),,,
,
,
,
∴,
,
.
点睛:此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
20.已知数列是公比为2的等比数列,且,,成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)数列是公比为2的等比数列,且,,成等差数列.可得=
,解得,即可得出.
(2),再利用错位相减法即可求得.
【详解】解:(1)数列是公比为2的等比数列,且,,成等差数列.
∴=,
∴,解得.
∴数列的通项公式.
(2)由(1)可得:,
∴
即
在构造
①式-②式得,
得
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、错位相减法求前n项和,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
21.已知数列的前n项和满足,其中.
(Ⅰ)证明:数列为等比数列;
(Ⅱ)设,求数列的前n项和.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
分析:(1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系式,再根据等比数列定义证结论,(2)根据分组求和法(一个等比数列与一个等差数列和)求数列的前项和
详解:解:(Ⅰ),①
∴当时,,解得;
当时,,②
由①-②得,
∴,
∴,
由得,
故是首项为,公比为的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
∴,
则的前项和,
.
点睛:本题采用分组转化法求和,将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型(如 ),符号型(如 ),周期型 (如 )
22.要测量对岸两点A,B之间的距离,选取相距的C、D两点,并测得,求A、B两点之间的距离.
【答案】
【解析】
【分析】
在△ACD中,计算AC,在△BCD中,求BC,在△ABC中,利用勾股定理,即可求得结论.
【详解】在△ACD中,∵∠ACD=30°,∠ADC=105°,
∴∠DAC=180°-30°-105°=45°,
由正弦定理得:,且CD=200,
∴AD=.
同理,在△BCD中,可得∠CBD=45°,
由正弦定理得:,
∴
△ABD中,∠BDA=105°-15°=90°
由勾股定理得:AB=,
即A、B两点间的距离为.
【点睛】本题考查正弦定理的运用,考查勾股定理,考查学生的计算能力,属于中档题.