辽宁省辽阳市2020届高三一模考试数学（理）试题 12页

高三考试数学试卷（理科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。‎ ‎2.请将各题答案填写在答题卡上。‎ ‎3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数满足，则的虚部是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.将甲、乙、丙、丁、戊5名护士派往5所医院（含医院），每所医院派1名护士，则甲和乙都不派往医院的总派法数为（ ）‎ A.48 B‎.60 ‎C.72 D.96‎ ‎5.设非零向量，满足，，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.设双曲线，，，的离心率分别为，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.将60个个体按照01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表的第9行第9列开始向右读数（下表为随机数表的第8行和第9行）‎ ‎63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79‎ ‎33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54‎ 则抽取的第11个个体的编号是（ ）‎ A.38 B‎.13 ‎C.42 D.02‎ ‎8.若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.如图，在正四棱柱中，，分别为的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则（ ）‎ A.直线与直线异面，且 B.直线与直线共面，且 C.直线与直线异面，且 D.直线与直线共面，且 ‎11.已知函数，将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象.若的图象关于直线对称，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设定义在上的函数的导函数为，对都有，当且时，，则（ ）‎ A.，且 B.，且 C.，且 D.，且 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.分别为内角的对边.已知，则___________.‎ ‎14.四面体的每个顶点都在球的球面上，两两垂直，且，，则四面体的体积为___________，球的表面积为___________.‎ ‎15.函数的值域为____________.‎ ‎16.设，若直线上存在一点满足，且的内心到轴的距离为，则___________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.如图，四棱锥的底面是正方形，为的中点，，，，.‎ ‎（1）证明：平面.‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎18.某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验.已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元.‎ ‎（1）设1箱零件人工检验总费用为元，求的分布列；‎ ‎（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元.现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由.‎ ‎19.设为数列的前项和，，且.‎ ‎（1）证明:数列为等比数列，并求.‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）讨论在上的单调性；‎ ‎（2）若，求不等式的解集.‎ ‎21.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点.‎ ‎（1）若过点，抛物线在点处的切线与在点处的切线交于点.证明：点在定直线上.‎ ‎（2）若，点在曲线上，的中点均在抛物线上，求面积的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中,已知点，的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设的最小值为，正数满足，证明：.‎ 高三考试数学试卷 参考答案（理科）‎ ‎1.A因为，所以.‎ ‎2.D因为，所以的虚部是.‎ ‎3.B水费开支占总开支的百分比为.‎ ‎4.C因为甲和乙都不去医院，所以去医院的只有丙、丁、戊3名护士，故甲和乙都不派往医院的总派法数为.‎ ‎5.A ，，，‎ ‎.‎ ‎6.D因为双曲线的离心率为，且，所以.‎ ‎7.D随机数表第9行第9列为2，抽取的个体分别为29，56，07，52，42，44，38，15，51，13，02，第11个个体为02.‎ ‎8.C因为，所以，‎ 则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为4.‎ ‎9.D因为，所以，所以.‎ ‎10.B连接，易证，所以直线与直线共面.易证，所以异面直线与所成角为.设，则，则，，，由余弦定理，得.‎ ‎11.D ，因为的图象关于直线对称，所以，即，解得，‎ 故.‎ ‎12.A ，当时，，在上单调递增，‎ ‎，.‎ ‎，的图象关于对称，又，‎ 且，‎ 又在上单调递减，.‎ ‎13. 因为，所以，又，所以.‎ ‎14.； 因为两两垂直，且，‎ 所以四面体的体积，球的表面积为.‎ ‎15. ，，，，.‎ ‎16. 由题意可得点为直线与椭圆的交点.‎ 联立与，消去得，则.‎ 因为的内心到轴的距离为，所以的内切圆的半径.‎ 所以的面积为，‎ 即，解得，又，则.‎ ‎17.（1）证明：因为为的中点，，‎ 所以，‎ 所以，从而.‎ 又，‎ 所以底面，所以.‎ 因为四边形是正方形，所以.‎ 又，所以平面.‎ ‎（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则，，，‎ 所以，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 令，得.‎ ‎，‎ 故与平面所成角的正弦值为.‎ ‎18.解：（1）的可能取值为，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则得分布列为 ‎（2）由（1）知，，‎ 所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为元. ‎ 因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为元，‎ 且，‎ 所以应该选择人工检验.‎ ‎19.（1）证明：，‎ ‎， ‎ 又，故数列是首项为2，公比为2的等比数列， ‎ 则，，‎ 当时，，‎ 故.‎ ‎（2）解：当时，，‎ 则，‎ ‎.‎ 又，‎ ‎.‎ ‎20.解：（1）.‎ 当时，，则在上单调递增.‎ 当时，令，得.‎ ‎（i）当时，，‎ 令，得；令，得.‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（ii）当时，，‎ 令，得；‎ 令，得或.‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.‎ ‎（iii）当时，，‎ 令，得；令，得. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）因为，所以，当时，，所以在上单调递增.‎ 因为，‎ 所以原不等式等价于.‎ 因为，，‎ 所以，‎ 解得，故所求不等式的解集为.‎ ‎21.（1）证明：易知，设，.‎ 由题意可知直线的斜率存在，故设其方程为.‎ 由，得，所以.‎ 由，得，，则，‎ 直线的方程为，即，①‎ 同理可得直线的方程为，②‎ 联立①②，可得.‎ 因为，所以，故点在定直线上.‎ ‎（2）解：设，的中点分别为，.‎ 因为得中点均在抛物线上，所以为方程的解，‎ 即方程的两个不同的实根，‎ 则，，，‎ 即，‎ 所以的中点的横坐标为，则 ‎，‎ ‎，‎ 所以的面积.‎ 由，得，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以面积的取值范围为.‎ ‎22.解：（1）由的参数方程，（为参数），消去参数可得.‎ 由曲线的极坐标方程为，得，‎ 所以的直角坐标方程为，即.‎ ‎（2）因为在曲线上，‎ 故可设曲线的参数方程为（为参数），‎ 代入，化简可得.‎ 设对应的参数分别为，则，，‎ 所以.‎ ‎23.（1）解：，‎ 不等式，即或或，‎ 即或或，‎ 所以所求不等式的解集为.‎ ‎（2）证明：，.‎ 因为，，‎ 所以要证，只需证，‎ 即证，‎ 因为，所以只要证，‎ 即证，‎ 即证，因为，所以只需证，‎ 因为，所以成立，‎ 所以.‎