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- 2021-06-30 发布
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第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
[考纲解读] 1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.(重点)
2.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考必考内容.预测2020年的考查,主要命题方向为:在约束条件下求目标函数的最值或根据最值情况求参数,同时能用线性规划解决实际问题.试题以客观题形式呈现,属中档题型.
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
2.线性规划相关概念
3.重要结论
(1)直线定界:不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线;
特殊点定域:若直线不过原点,特殊点常选原点;若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.
(2)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:
对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则有
①当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;
②当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.
(3)最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.最优解有时唯一,有时有多个.
4.利用线性规划求最值,用图解法求解的步骤
(1)作可行域;
(2)将目标函数进行变形;
(3)确定最优解;
(4)求最值.
1.概念辨析
(1)不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.( )
(2)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )
(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )
(4)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.小题热身
(1)不等式组表示的平面区域是( )
答案 B
解析 x-3y+6≥0表示直线x-3y+6=0及其下方部分,x-y+2<0表示直线x-y+2=0上方部分,故不等式表示的平面区域为选项B.故选B.
(2)已知点(-3,-1)和(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则实数a的取值范围为( )
A.(-7,24)
B.(-∞,-7)∪(24,+∞)
C.(-24,7)
D.(-∞,-24)∪(7,+∞)
答案 A
解析 由题意可知(-9+2-a)(12+12-a)<0,所以(a+7)(a-24)<0,所以-70,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=( )
A. B. C.1 D.2
答案 A
解析 作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分(含边界).
当直线z=2x+y过交点A时,z取最小值,
由
得
∴zmin=2-2a=1,解得a=.
角度3 非线性目标函数的最值问题
3.已知求:
(1)z=x2+y2-10y+25的最小值;
(2)z=的范围.
解 作出可行域,如图阴影部分所示.
通过联立方程,解得A(1,3),B(3,1),C(7,9).
(1)z=x2+(y-5)2表示可行域内点(x,y)到点M(0,5)的距离的平方.
过点M作AC的垂线,垂足为点N,
故|MN|==,|MN|2=2=.
故z的最小值为.
(2)z=2·表示可行域内点(x,y)与定点Q连线斜率的2倍.
因为kQA=,kQB=,所以z的范围是.
求线性目标函数最值问题及线性规划应用题的解题策略
(1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以我们可以直接解出可行域的顶点,然后代入目标函数以确定目标函数的最值.
(2)由目标函数的最值求参数的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数.
(3)求非线性目标函数最值问题的解题策略
解决此类问题时需充分把握好目标函数的几何意义,常见代数式的几何意义有:
①对形如z=(x-a)2+(y-b)2型的目标函数均可化为可行域内的点(x,y)与点(a,b)间距离的平方的最值问题.如举例说明3.
②对形如z=(ac≠0)型的目标函数,可先变形为 z=·的形式,将问题化为求可行域内的点(x,y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等.如举例说明3.
③对形如z=|Ax+By+C|型的目标,可先变形为z=·的形式,将问题化为求可行域内的点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离的倍的最值.
1.(2018·北京高考)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是________.
答案 3
解析 x+1≤y≤2x,等价于不等式组画出可行域如图,令z=2y-x,化为斜截式得
y=x+z,直线斜率为,在y轴上的截距为z,直线越往下,z越小,z越小,由
得最优解为(1,2),所以z=2y-x的最小值为3.
2.(2018·安徽皖江最后一卷)已知x,y满足条件则点(0,0)到点(x,y)的距离的最小值是________.
答案
解析 ∵z=,∴如图所示,原点到点P(1,1)的距离最小,且为 =.
3.(2018·福州五校二联)已知实数x,y满足
若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数多个,则z=x+ay的最大值为________.
答案
解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,易得A(3,2),B(1,4),C.
当a>0时,y=-x+z,作直线l0:y=-x,平移l0,易知当直线y=-x+z与4x+y-8=0重合时,z取得最小值的最优解有无数多个,此时a=,当直线过点A时,z取得最大值,且zmax=3+=;当a≤0时,数形结合知,目标函数z=x+ay取得最小值的最优解不可能有无数多个.综上所述zmax=.
题型 线性规划的实际应用
(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.
答案 216000
解析 设生产产品A x件,产品B y件,依题意,
得
设生产产品A,产品B的利润之和为E元,则E=2100x+900y.画出可行域(如图),易知最优解为则Emax=216000.
线性规划解决实际问题的一般步骤
(1)能建立线性规划模型的实际问题
①给定一定量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收益最大;
②给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少.
(2)解决线性规划实际问题的一般步骤
①转化:设元,写出线性约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题;
②求解:解决这个纯数学的线性规划问题;
③作答:根据实际问题,得到实际问题的解,据此作出回答.
某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( )
A.31200元 B.36000元 C.36800元 D.38400元
答案 C
解析 设旅行社租用A型客车x辆,B型客车y辆,租金为z,则线性约束条件为
目标函数为z=1600x+2400y.
画出可行域如图中阴影部分所示,
可知目标函数过点N时,取得最小值,
由
解得故N(5,12),
故zmin=1600×5+2400×12=36800(元).
高频考点 线性规划问题
考点分析 线性规划是高考重点考查的一个知识点.这类问题一般有三类:①目标函数是线性的;②目标函数是非线性的;③已知最优解求参数,处理时要注意搞清是哪种类型,利用数形结合解决问题.
[典例1] (2018·吉林省实验中学模拟)已知x,y满足若z=x+2y有最大值4,则实数m的值为( )
A.-4 B.-2 C.-1 D.1
答案 B
解析 依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x+2y=4,如图所示,
结合图形可知,当且仅当直线2x-y=m过直线x+2y=4与x+y=2的交点(0,2)时,才满足题意,于是有2×0-2=m,即m=-2,选B.
[典例2] (2018·全国卷Ⅲ)若变量x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是________.
答案 3
解析 作出可行域如图阴影部分.
由图可知目标函数在直线x-2y+4=0与x=2的交点(2,3)处取得最大值3.