2021高考数学一轮复习课后限时集训50直线与圆圆与圆的位置关系文北师大版2 6页

课后限时集训50‎ 直线与圆、圆与圆的位置关系 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．(2019·银川模拟)直线kx－2y＋1＝0与圆x2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)‎ A．相交　　B．相切　　C．相离　　D．不确定 A　[直线kx－2y＋1＝0恒过定点，且0＋＜1，‎ 所以点在圆内，故直线和圆恒相交，‎ 故选A.]‎ ‎2．若直线x＝5与圆x2＋y2－6x＋a＝0相切，则a＝(　　)‎ A．13 B．5 ‎ C．－5 D．－13‎ B　[圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9－a.其圆心坐标为(3,0)，半径r＝(a＜9)．由直线x＝5和圆x2＋y2－6x＋a＝0相切，则圆的半径r＝5－3＝2，即＝2.解得a＝5，故选B.]‎ ‎3．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有(　　)‎ A．1条 B．2条 ‎ C．3条 D．4条 A　[两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.]‎ ‎4．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为(　　)‎ A.或 B．－或 C．－或 D. A　[由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d＝＝1.即d＝＝1，所以k＝±，由k＝tan α，得α＝或.故选A.]‎ ‎5．已知直线l：kx－y－3＝0与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，且·＝2，则k＝(　　)‎ A．2 B．± ‎ - 6 -‎ C．±2 D. B　[圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，‎ 设与的夹角为θ，则 ‎2×2×cos θ＝2，‎ 解得cos θ＝，θ＝，‎ ‎∴圆心到直线l的距离为2cos＝，‎ 可得＝，解得k＝±.]‎ 二、填空题 ‎6．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.‎ ‎2　[由题意知圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.]‎ ‎7．过点P(－3,1)，Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为________．‎ ‎－　[因为P(－3,1)关于x轴的对称点的坐标为P′(－3，－1)，‎ 所以直线P′Q的方程为y＝(x－a)，即x－(3＋a)y－a＝0，圆心(0,0)到直线的距离d＝＝1，‎ 所以a＝－.]‎ ‎8．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．‎ ‎4π　[圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，‎ 所以圆心C(0，a)，半径r＝.|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝，由勾股定理得＋＝a2＋2，解得a2＝2，‎ 所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.]‎ 三、解答题 ‎9．(2019·广州模拟)设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P，Q，满足关于直线x＋my＋4＝0对称，且·＝0.‎ ‎(1)求m的值；‎ - 6 -‎ ‎(2)求直线PQ的方程．‎ ‎[解](1)x2＋y2＋2x－6y＋1＝0的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，所以曲线是以(－1,3)为圆心，3为半径的圆．‎ 由已知得直线过圆心，所以－1＋3m＋4＝0，‎ 解得m＝－1.‎ ‎(2)设直线PQ：y＝－x＋b，‎ 联立 得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则有x1＋x2＝b－4，x1x2＝.‎ 又·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，‎ 即2x1x2－b(x1＋x2)＋b2＝0，‎ 将x1＋x2＝b－4，x1x2＝代入上式得b2－2b＋1＝0，所以b＝1，‎ 所以直线PQ的方程为y＝－x＋1.‎ ‎10．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.‎ ‎(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；‎ ‎(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．‎ ‎[解](1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4)，|PC|＝2，‎ 设P(a,2a)，则＝2，解得a＝2或a＝，‎ ‎∴点P的坐标为(2,4)或.‎ ‎(2)设P(b,2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.‎ 由得或 ‎∴该圆必经过定点(0,4)和.‎ ‎1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)‎ A．相切　　　B．相交　　　C．相离　　　D．不确定 - 6 -‎ B　[由题意知a2＋b2＞1，圆心O(0,0)到直线ax＋by－1＝0的距离d＝＜1，因此直线和圆相交，故选B.]‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)‎ A．[2,6] B．[4,8]‎ C．[，3] D．[2，3]‎ A　[由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝2，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝3，最小距离是d－r＝.易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以2≤S△ABP≤6.故选A.]‎ ‎3．(2019·合肥模拟)已知直线l：x－y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋)2＝4交于M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝，则实数a＝________.‎ ‎4或8　[由∠MPN＝可得∠MCN＝2∠MPN＝，‎ 在△MCN中，CM＝CN＝2，∠CMN＝∠CNM＝.‎ 则圆心C(3，－)到直线l的距离d＝2sin＝1，‎ 即＝1，‎ 解得a＝4或a＝8.]‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：‎ ‎(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；‎ ‎(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ ‎[解](1)不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：‎ 设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，‎ 所以x1x2＝－2.‎ 又点C的坐标为(0,1)，‎ 故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，‎ 所以不能出现AC⊥BC的情况．‎ ‎(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.‎ 由(1)可得x1＋x2＝－m，‎ - 6 -‎ 所以AB的中垂线方程为x＝－.‎ 联立 又x＋mx2－2＝0，可得 所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.‎ 故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，‎ 即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ ‎1．过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)‎ A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－ B　[圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.故选B.]‎ ‎2．如图所示，圆C：x2－(1＋a)x＋y2－ay＋a＝0.‎ ‎(1)若圆C与x轴相切，求圆C的方程；‎ ‎(2)已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)．过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝4相交于两点A，B.问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解](1)联立 得x2－(1＋a)x＋a＝0，‎ 由题意得Δ＝(1＋a)2－4a＝(a－1)2＝0，解得a＝1，‎ 故所求圆C的方程为x2－2x＋y2－y＋1＝0.‎ ‎(2)令y＝0，得x2－(1＋a)x＋a＝0，‎ 即(x－1)(x－a)＝0，所以M(1,0)，N(a,0)．‎ - 6 -‎ 假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，‎ 代入x2＋y2＝4，得，(1＋k2)x2－2k2x＋k2－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为∠ANM＝∠BNM，所以＋＝0.‎ 因为＋ ‎＝，‎ 而(x1－1)(x2－a)＋(x2－1)(x1－a)＝2x1x2－(a＋1)·(x2＋x1)＋2a＝2·－(a＋1)·＋2a＝，‎ 所以＝0，解得a＝4.‎ 当直线AB与x轴垂直时，也成立．‎ 故存在实数a＝4，使得∠ANM＝∠BNM.‎ - 6 -‎