高中数学第二章 2_1 导数的概念 课件 15页

第二章 变化率与导数 2.1 导数的概念 导数的概念 上一节练习题中我们提到了高台跳水这个问题，在高台跳水运动中 , 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度 . 又如何求 瞬时速度呢 ? 如何求（比如， t =2 时的）瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势   ： 当 Δt 趋近于 0 时 , 平均速度有什么变化趋势 ? 瞬时速度 ? 我们用 表示 “ 当 t=2, Δt 趋近于 0 时 , 平均速度趋于确定值 -13.1”. 那么 , 运动员在某一时刻 t 0 的瞬时速度 ? 导数的概念 ： 设函数 y=f(x) ，当自变量 x 从 x 0 变到 x 1 时，函数值从 f(x 0 ) 变到 f(x 1 ), 函数值 y 关于 x 的平均变化率为 当 x 1 趋于 x 0 时，如果平均变化率趋于一个固定 的值，那么这个值就是函数 y=f(x) 在 x 0 点的 瞬时变化率 . 在数学中，称瞬时变化率为函数 y=f(x) 在 x 0 点的导数 . 通常用符号 表示记作 例 1 一条水管中流过的水量 y （单位： m 3 ） 是时间 x （单位： s ）的函数 y= f(x)=3x. 求函 数 y= f(x) 在 x=2 处的导数，并解释它的实际 意义 . 解 当 x 从 2 变到 2+△x 时，函数值从 3×2 变到 3 （ 2+△x ），函数值 y 关于 x 的平均变化率为 当 x 趋于 2 ，即△ x 趋于 0 s 时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度 . 也就是如果水管中的水以 x=2 s 时的瞬时速度流动的话，每经过 1 s ，水管中流过的水量为 3 m 3 练习 : 求函数 y=3x 2 在 x=1 处的导数 . 分析：先求 Δf=Δy=f( １＋ Δx)-f( １ ) =6Δx+(Δx) 2 　　 再求 　 　再求 小结： 由导数的定义可得求导数的一般步骤： （ 1 ）求函数的增量 Δy=f(x 0 +Δt)-f(x 0 ) (2) 求平均变化率 （ 3 ）求极限