天津市第九十五中学2019-2020学年高二下学期3月线上测试数学试题 14页

数学 一、选择题（本大题共 8 小题) 1.已知 ， ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据空间向量共线的性质进行求解即可. 【 详 解 】 因 为 ， 所 以 ， 因 此 由 ， 所 以 有 . 故选：D 【点睛】本题考查了空间向量平行求参数问题，考查了数学运算能力. 2.已知数列 满足递推关系 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 两边取倒数，可得新的等差数列，根据等差数列的通项公式，可得结果. 【详解】由 ，所以 则 ，又 ，所以 所以数列 是以 2 为首项，1 为公比的等差数列 (2 ,1,3)a x= (1, ,9)b y= − / /a b  1, 1x y= = 11, 2x y= = 1 , 63x y= = − 1 , 36x y= = − 3 1 09 3 = ≠ 0, 0x y≠ ≠ / /a b  2 1 3 1 , 31 9 6 x x yy = = ⇒ = = −− { }na 1 1 1,1 2 n n n aa aa+ = =+ 2017a = 1 2016 1 2018 1 2017 1 2019 1 1 n n n aa a+ = + 1 11 1 1n n n n a a a a+ += = + 1 1 1 1 n na a+ - = 1 1 2a = 1 1 2a = 1 na       所以 ，则 所以 故选：B 【点睛】本题主要考查由递推公式得到等差数列，难点在于取倒数，学会观察，属基础题. 3.已知命题 ，则 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 根据全称命题的否定的性质进行求解即可. 【详解】因为命题 ，所以 为 . 故选：C 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题. 4.设 ，若 4 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ） A. 1 B. 8 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等比中项的性质，结合已知可以得到一个关于 的等式，最后利用不基本不等式，结合 该等式进行求解即可. 【详解】因为 4 是 与 的等比中项，所以 ，因为 ， 所以有 .（当且仅当 【 1 1 n na = + 1 1na n = + 2017 1 2018a = 2: , 1 0q x R x∀ ∈ + > q¬ 2, 1 0x R x∀ ∈ + ≤ 2, 1 0∃ ∈ + 2: , 1 0q x R x∀ ∈ + > q¬ 2, 1 0x R x∃ ∈ + ≤ 0, 0a b> > 2a 2b 1 1 a b + 1 4 ,a b 2a 2b 2 442 2 2 4a b a b⋅ = = ⇒ + = 0, 0a b> > 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 ( ) ( )( ) (2 ) (2 2 ) 14 4 4 4 b a b aa ba b a b a b a b a b + = × ⋅ + = + + = + + ≥ + ⋅ = 时，取等号，即 时取等号） 故选：A 【点睛】本题考查了等比中项的性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力. 5.若 x2－ax－b<0 的解集是{x|20 的解集为（ ） A. B. （ C. D. 【答案】C 【解析】 由条件知方程 两根为 2,3；则 于是不等式 即为 解得 故选 C 6.若曲线 表示椭圆，则 的取值范围是(　　) A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 根据椭圆标准方程可得 ，解不等式组可得结果. 【详解】 曲线 表示椭圆， ， 解得 ，且 ， 的取值范围是 或 ，故选 D． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练 程度，属于简单题. b a a b = 2a b= = 1 1{ | }2 3x x− ≤ ≤ 1 1{ | }2 3x x− < < 1 1{ | }2 3x x− < < − 1 1{ | }2 3x x− ≤ ≤ − 2 0x ax b− − = 5, 6;a b= = − 2 1 0bx ax− − > 2 26 5 1 0, 6 5 1 0,x x x x− − − > ∴ + + < 1 1.2 3x− < < − 2 2 11 1 x y k k + =− + k 1k > 1k < − 1 1k− < < 1 0k− < < 0 1k< < 1 0 1 0 1 1 k k k k − >  + >  − ≠ +  2 2 11 1 x y k k + =− + 1 0 1 0 1 1 k k k k − > ∴ + >  − ≠ + 1 1k− < < 0k ≠ k 1 0k− < < 0 1k< < 7.“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出当不等式 成立时所满足的条件，再结合充分性和必要性的定义进行求解 即可. 【详解】若 成立时，则有 ， 显然由 能推出 ，但是由 不一定能推出 ，因此 “ ”是“ ” 充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了一元二次不等式的解法，考查了推理论 证能力. 8.已知双曲线的一个焦点与抛物线 的焦点重合,且其渐近线的方程为 ,则 该双曲线的标准方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线方程，算出其焦点为 ．由此设双曲线的方程为 ，根据基本量的 平方关系与渐近线方程的公式，建立关于 、 的方程组解出 、 的值，即可得到该双曲线 的标准方程． 1x > 2 2 1 0x x− + > 2 2 1 0x x− + > 2 2 1 0x x− + > 1x ≠ 1x > 2 2 1 0x x− + > 2 2 1 0x x− + > 1x > 1x > 2 2 1 0x x− + > 2 20x y= 3 4 0x y± = 2 2 116 9 y x− = 2 2 116 9 x y− = 2 2 19 16 y x− = 2 2 19 16 x y− = (0,5)F 2 2 2 2 1y x a b − = a b a b 【详解】解： 抛物线 中， ， ， 抛物线的焦点为 ， 设双曲线的方程为 ， 双曲线的一个焦点为 ，且渐近线的方程为 即 ， ， 解得 （舍负）， 可得该双曲线的标准方程为 ． 故选： ． 【点睛】本题给出双曲线与已知抛物线有一个焦点重合，在已知渐近线的情况下求双曲线 的方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题． 二、填空题（本大题共 6 小题） 9.设 是等差数列，若 ，则 . 【答案】63 【解析】 【分析】 由已知求出 ,再利用等差数列的性质求 . 【详解】由 得 ，所以 . 故答案为 63 【点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问 题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需 要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减 少运算量”的方法.  2 20x y= 2 20p = 52 p = ∴ (0,5)F 2 2 2 2 1( 0, 0)y x a ba b − = > >  (0,5)F 3 4 0± =x y 3 4y x= ∴ 2 2 5 3 4 a b c a b  + = = = 3 4 a b =  = 2 2 19 16 y x− = C { }na 4 5 6 21a a a+ + = 9S = 5 7a = 9S 4 5 6 21a a a+ + = 5 7a = ( )1 9 9 5 9 9 632 a aS a += = = 10.若等比数列 的前 项和为 ,且 ， ，则 ____． 【答案】511 【解析】 由等比数列的性质可得： ， 即： ，解得： . 11.“ ”是“ ”的______条件. 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】 解方程 ，即可判断出“ ”是“ ”的充分不必要条件关系. 【详解】解方程 ，得 或 ， 因此，“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故答案为充分不必要. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般转化为集合的包含关系来判断，考查推理能 力，属于基础题. 12.如图，在正方体 中，上底面中心为 ，则异面直线 与 所成角 的余弦值为______ 【答案】 【解析】 【分析】 { }na n nS 3 7S = 6 63S = 9S = ( ) ( )2 6 3 3 9 6S S S S S− = − ( ) ( )2 6 97 7 63S S− = × − 9 511S = 1x = 2 3 2 0x x− + = 2 3 2 0x x− + = 1x = 2 3 2 0x x− + = 2 3 2 0x x− + = 1x = 2x = 1x = 2 3 2 0x x− + = 1 1 1 1ABCD A B C D− O AO 1DC 3 2 由题意，连接 和 ，结合正方体的结构特征，得到异面直线 与 所成角即为直 线 与 所成角，设 ，在直角 中，即可求解，得到答案. 【 详 解 】 由 题 意 ， 连 接 和 ， 设 正 方 体 的 棱 长 为 ， 则 ， 在正方体 中，可得 ， 所以异面直线 与 所成角即为直线 与 所成角，设 ， 在直角 中，可得 在直角 中，可得 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中结合正方体的结构特征，得到 异面直线 与 所成角即为直线 与 所成角是解答的关键，着重考查了推理与计 算能力，属于基础题. 13.已知 ,则函数 的最小值为__________. 【答案】 【解析】 ,则函数 ，当且仅当 时，函数取得最小值，最小值为 ，故答案为 . 【易错点晴】利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解 和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次 要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成 立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成 1AB 1OB AO 1DC AO 1AB 1OAB θ∠ = 1AOB∆ 1AB 1OB 1 1 1 1ABCD A B C D− a 1 2AB a= 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1/ /AB DC AO 1DC AO 1AB 1OAB θ∠ = 1AAO∆ 2 2 2 2 1 1 2 6( )2 2 a aAO AA AO a= + = + = 1AOB∆ 1 1 6 32cos 22 a AO AB a θ = = = 3 2 AO 1DC AO 1AB 1x > 2 1 1 x xy x + += − 3 2 3+ 1x > ( )2 1 3 31 3 3 2 1 3 2 31 1 1 x xy x xx x x + +  = = − + + ≥ + − = + − − −  1 3x = + 3 2 3+ 3 2 3+ ≥ ≤ 立）. 14.已知点 为抛物线 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点 到其准线的距离为 5， 则直线 的斜率为 . 【答案】 【解析】 试题分析：由抛物线定义得： 又点 位于第一象限，因此 从而 考点：抛物线定义 三、解答题（本大题共 6 小题） 15.（1）若抛物线的焦点是椭圆 左顶点，求此抛物线的标准方程； （2）某双曲线与椭圆 共焦点，且以 为渐近线，求此双曲线 标准方程. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 试题分析（1）求出椭圆的左顶点，设抛物线的方程为 ，可得焦点坐标，即 可求解抛物线的方程； （2）求得椭圆 焦点，可设双曲线的方程为 ，根据渐近线的方程，得 出关于 的方程组，解得 的值，进而得到双曲线的方程. 试题解析： （1）椭圆 左顶点为 ， 设抛物线 方程为 ， 可得 ， 计算得出 ， 的 的 的 F 2 4y x= A AF 4 3 1 5, 4,A Ax x+ = = A 4,Ay = 4 0 4.4 1 3AFk −= =− 2 2 164 16 x y+ = 2 2 164 16 x y+ = 3y x= ± 2 32y x= − 2 2 112 36 x y− = 2 2 ( 0)y px p= − > ( )2 2 2 2 1 , 0x y a ba b − = > ,a b ,a b 2 2 164 16 x y+ = ( )8,0− 2 2 ( 0)y px p= − > 82 p− = − 16p = 则抛物线的标准方程为 ； （2）椭圆 的焦点为 ， 可设双曲线的方程为 ， 则 ， 由渐近线方程 ， 可得 ， 计算得出 ， 则双曲线的方程为 . 16.已知数列 中， ， 的前 n 项和 满足： ． 求数列 的通项公式； 设数列 满足： ，求 的前 n 项和 ． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 由 ， 得 ， 然 后 推 出 数 列 的 通 项 公 式 为 ． 化简通项公式，利用拆项法求解数列的和即可． 【详解】 由 ，得 则 得 当 时满足上式， 所以数列 的通项公式为 ． 由 得 ， 2 32y x= − 2 2 164 16 x y+ = ( ) ( )4 3,0 , 4 3,0− ( )2 2 2 2 1 , 0x y a ba b − = > 2 2 48a b+ = by xa = ± 3b a = 2 3, 6a b= = 2 2 112 36 x y− = { }na 1 3a = { }na nS 21n nS a n+ = + ( )1 { }na ( )2 { }nb ( 1) 2 nan nb = − + { }nb nT 2 1na n= + ( 1) 1 8 (4 1)2 3 n n nT − −= + − ( )1 21n nS a n+ = + 2 1 11 ( 1)n nS a n+ ++ = + + { }na 2 1na n= + ( )2 ( )1 21n nS a n ①+ = + 2 1 11 ( 1)n nS a n ②+ ++ = + + −② ① 2 1.na n= + 1 3a = { }na 2 1na n= + ( )2 ( )1 2 1( 1) 2n n nb += − + 所以 ． 【点睛】本题考查数列求和，数列的递推关系式的应用，考查计算能力． 17.设集合 ，集合 . （1）若 ，求 ； （2）设命题 ，命题 ，若 p 是 q 成立的必要不充分条件，求实数 的取值 范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）解一元二次不等式、绝对值不等式化简集合 的表示，再利用集合并集的定义，结合 数轴进行求解即可； （2）根据必要不充分对应的集合间的子集关系，结合数轴进行求解即可. 【详解】（1） . 因为 ，所以 ， 因此 ； （2） ， ， 因为 p 是 q 成立的必要不充分条件，所以集合 是集合 的真子集， 因此有 或 ，解得 . 【点睛】本题考查了集合的并集的运算，考查了由必要不充分条件求参数问题，考查了一元 二次不等式、绝对值不等式的解法，考查了数学运算能力. 18.已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，{bn}是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0， b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nbn}的前 n 项和(n∈N*)． ( ) ( ( )2 3 5 2 1 1 2 [ 1 ( 1) 1) 2 2 2n n n nT b b b += + +…+ = − + − +…+ − + + +…+ ( ) ( ( ) ( ) ( )31 [1 1) 2 1 4 ( 1) 1 8 4 11 1 1 4 2 3 n n n n − × − − × − − −= + = + −− − − { }2| 2 3 0A x x x= + − < { || | 1}B x x a= + < 3a = A B : p x A∈ :q x B∈ a { | 4 1}A B x x= − < < 0 2a≤ ≤ ,A B { } { }2| 2 3 0 | 3 1A x x x x x= + − < = − < < 3a = { || 3| 1} { | 4 2}B x x x x= + < = − < < − { | 4 1}A B x x= − < < { }| 3 1A x x= − < < { || | 1} { | 1 1 }B x x a x a x a= + < = − − < < − B A 1 1 1 3 a a − ≤ − − > − 1 1 1 3 a a − < − − ≥ − 0 2a≤ ≤ 【答案】（1）an＝3n－2，bn＝2n；（2）(3n－4)2n＋2＋16. 【解析】 【分析】 (1)根据题意设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q，代入已知条件计算即可. (2)由数列{an}和{bn}的通项公式写出数列{a2nbn}的前 n 项和，再利用错位相减法计算即可. 【详解】解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q. 由已知 b2＋b3＝12，得 b1(q＋q2)＝12，而 b1＝2 ∴q2＋q－6＝0. 又∵q＞0，解得 q＝2. ∴bn＝2n 由 b3＝a4－2a1，可得 3d－a1＝8① 由 S11＝11b4，可得 a1＋5d＝16② 联立①②，解得 a1＝1，d＝3，由此可得 an＝3n－2. ∴{an}的通项公式为 an＝3n－2，{bn}的通项公式为 bn＝2n. (2)设数列{a2nbn}的前 n 项和为 Tn，由 a2n＝6n－2，有 Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n， 2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1. 上述两式相减，得 .得 Tn＝(3n－4)2n＋2＋16. ∴数列{a2nbn}的前 n 项和为(3n－4)2n＋2＋16. 【点睛】本题主要考查数列 通项公式和数列的求和，考查错位相减法求和，准确进行运算 是解题的关键. 19.已知椭圆 的一个焦点与 的焦点重合，点 在椭 圆 上. （1）求椭圆 的方程； （2）斜率为 的直线 经过椭圆的右焦点 且交椭圆 于 、 两点，求弦 的长. 的 ( )2 3 1 12 1 2 4 2 6 2 6 2 6 2 (6 2) 2 1 2 n n n nT n + × − − = × + × + × + + × − − × = −− 1 24 (6 2) 2 (3 4)2 16n nn n+ +− − × = − − − :C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 4 3y x= 1( 3, )2 C C 1 2 l F C A B AB 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）求出抛物线的焦点坐标，然后把点的坐标代入椭圆方程中，再利用椭圆中 的关系， 这样组成方程组，解方程组即可； （2）求出直线 的方程，将直线与椭圆方程联立，利用根与系数关系，结合弦长公式进行求 解即可. 【详解】（1）因为抛物线 的焦点坐标为 ，所以 ，因为点 在 椭圆 上，所以有 ，因此椭圆的标准方程为： ； （2）由（1）可知： ,因为斜率为 的直线 经过椭圆的右焦点 ，所以直线 的方 程为： ，与椭圆方程联立得： ，设 、 ，因此 ， . 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了求椭圆的弦长，考查了抛物线的焦点的坐标， 考查了数学运算能力. 20.如图：在四棱锥 中，底面 是正方形， ， ，点 在 上，且 . 2 2 14 x y+ = 5 2 , ,a b c l 2 4 3y x= ( 3,0) 3c = 1( 3, )2 C 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 43 1 a b ac bc a b  + =   = = ⇒  = = −  2 2 14 x y+ = ( 3,0)F 1 2 l F l 1 ( 3)2y x= − 2 2 2 1 ( 3)2 2 2 3 1 0 14 y x x x x y  = − ⇒ − − =  + = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 1 2 13, 2x x x x+ = = − 1 1 1 2 2 2 2 2 1 5 51 ( ) ( ) 42 4 2AB x x x x x x= + ⋅ − = ⋅ + − = P ABCD− ABCD 2PA AB= = 2 2PB PD= = E PD 1 3PE PD= （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值； 【答案】（1）证明见解析过程；（2） . 【解析】 【分析】 （1）连接 交于 于点 ，连接 ，利用等腰三角形的性质、正方形的性质，结合线 面垂直的判定定理可以证明出 与平面 垂直，进而得到 ，最后利用勾股定 理的逆定理和线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）连接 交于 于点 ，底面 是正方形，所以 ， 是 的中点，因为 ，所以 ,因为 ， 所以 ， ,因为 ,因此 平面 ， 而 平面 ，所以 ，因为 ， ， ，所以 有 ，因此 ， ， 平面 ，因此 平面 ； （2）由（1）可知： 平面 ，而 是正方形，因此以 所在的直线 为横轴，纵轴和竖轴建立空间直角坐标系，如下图所示： PA ⊥ ABCD E AC D− − 1 3 BD AC O OP BD PAC BD PA⊥ BD AC O ABCD BD AC⊥ O BD 2AB = 2 2 2 2BD AC AB AD= = + = 2 2PB PD= = BD PO⊥ 2 21( ) 62PO PB BD= − = PO AC O= BD ⊥ PAC PA ⊂ PAC BD PA⊥ 6PO = 2PA = 1 22AO AC= = 2 2 2AP AO PO+ = PA AO⊥ BD OA O⊥ = ,BD OA ⊂ ABCD PA ⊥ ABCD PA ⊥ ABCD ABCD , ,AB AD AP ，因为 ，所以可得 ， 由（1）可知： 平面 ，所以平面 的法向量为： ，设平面 的法向量为： ， ，因此有 ， 设二面角 的平面角为 ，所以有; . 【点睛】本题考查了线面垂直判定理的应用，考查了利用空间向量夹角公式求二面角问题， 考查了推理论证能力和数学运算能力. (0,0,0), (2,2,0), (0,0,2). (0,2,0)A C P D 1 3PE PD= 2 4(0, , )3 3E PA ⊥ ABCD ACD (0,0,2)PA = ACE ( , , )m x y z= 2 4(2,2,0), (0, , )3 3AC AE= =  2 2 00 ( 2,2, 1)2 4 00 3 3 x ym AC m AC my zm AE m AE + = ⊥ ⋅ = ⇒ ⇒ ⇒ = − −   + =⊥ ⋅ =         E AC D− − θ 2 2 2 2 1cos 32 2 1 2 m PA m PA θ ⋅= = = ⋅ + + ×    