江西省山江湖协作体2019-2020学年高二上学期第三次月考数学试题 9页

‎“山江湖”协作体高二年级第三次月考 数学试卷（自招班）‎ 一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足f(3x＋1)<‎ f的实数x的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知两条不同直线与三个不同平面，则下列命题正确的个数是（ ）.‎ ‎①若，，，则 ②若，，则 ‎③若，，则 ④若，，则 A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎6.如图，过正方形的顶点在内任意作射线，则该射线与正方形的交点位于边上的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在边长为2的等边三角形中，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ） A． B． C． D．‎ ‎9．公比不为1的等比数列的前项和为，若，，成等差数列，，，成等比数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为(　　)‎ A. B.16π C.9π D.‎ ‎11．已知函数，若有且仅有两个整数、使得，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A． B． C． D．‎ 二、填空题：（本题包括4小题，共20分）‎ ‎13.函数的单调增区间为____________．‎ ‎14.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过13的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是________（用分数表示）‎ ‎15. 若，则_______.（用数字作答）.‎ ‎16.若圆至少有三个点到直线，的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是__________． ‎ 三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知函数的最小正周期为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积，求．‎ ‎18．（12分）已知等比数列的公比是的等差中项，数列的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎19．（12分）已知平面内的动点到两定点,的距离之比为.‎ ‎（1）求点的轨迹方程;‎ ‎（2）过点且斜率为的直线与点的轨迹交于不同两点、,为坐标原点，求的面积.‎ ‎20.（12分）在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.‎ ‎(1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1;‎ ‎(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线 DE∥平面A1MC?请证明你的结论.‎ ‎21.（12分）已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性并指出相应单调区间；‎ ‎（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎22.（12分）某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随机调查了300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所示，其中.‎ ‎（1）求这300名玩家测评分数的平均数；‎ ‎（2）由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中至少有1人认为游戏需要改进的话，公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为，且每款游戏之间改进与否相互独立.‎ ‎（i）对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；‎ ‎（ii）每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人，今年所有游戏的研发总费用为50万元，现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测，假设公司的预算为110万元，判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明.‎ ‎“山江湖”协作体高二年级第三次月考 数学试卷（自招班）‎ CDADA DDBDA AC ‎13. 14. 15., ‎ ‎17. （1） ‎ 故函数的最小正周期 ‎（2）由（1）知，.由，得（）.所以（）.又，所以.‎ 的面积，解得.‎ ‎18. （1）因为等比数列的公比，，是的等差中项，‎ 所以，即，解得，‎ 因此，；‎ ‎（2）因为数列的前项和为，‎ 所以，（）‎ 又当也满足上式，所以，；‎ 由（1），；‎ 所以其前项和①‎ 因此②‎ ‎①式减去②式可得： ，‎ 因此.‎ ‎19. （1）设,则由题设知,即,‎ 化简得,.‎ 故点的轨迹方程为.‎ ‎（2）易知直线方程为，即,‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 则，‎ 又原点到直线的距离为，‎ 所以的面积为.‎ ‎20.(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,‎ 所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.‎ 因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线,‎ 所以AA1⊥平面ABC.‎ 因为直线BC⫋平面ABC,‎ 所以AA1⊥BC.‎ 又由已知,AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线,所以BC⊥平面ACC1A1.‎ ‎(2)取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.‎ 由已知, O为AC1的中点.‎ 连接MD,OE,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线.‎ 所以,MD