高中数学选修2-2教学课件第五章 1_1~1_2 46页

第五章　数系的扩充与复数的引入 § 1 　 数系的扩充与复数的引入 1.1 　数的概念的扩展 1.2 　复数的有关概念 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 了解引入虚数单位 i 的必要性，了解数集的扩充过程 . 2. 理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念 . 3. 掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件 . 4. 理解复数的几何表示 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 复数的有关概念 (1) 复数 ① 定义：形如 a ＋ b i 的数叫作复数，其中 a ， b ∈ ， i 叫作 . a 叫作复数 的 ， b 叫作复数 的 . ② 表示方法：复数通常用 字母 表示 ， 即 . 虚数单位 实部 虚部 z z ＝ a ＋ b i ( a ， b ∈ R ) R (2) 复数集 ① 定义：复数的全体组叫作复数集 . ② 表示：通常用 大写字母 表示 . 2. 复数的分类及包含关系 ( 1) 复数 ( a ＋ b i ， a ， b ∈ R ) C (2) 集合表示： 3. 两个复数相等 a ＋ b i ＝ c ＋ d i 当且仅当 . a ＝ c 且 b ＝ d 4. 复数的几何意义 (1) 复数 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 复平面 内的 点 ； (2) 复数 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 平面向量 . 5. 复数的模 复数 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 对应的向量 为 ，则 的 模叫作复数 z 的模或绝对值，记作 | z | ，且 | z | ＝ . Z ( a ， b ) ＝ ( a ， b ) 探要点 · 究 所然 情境导学 为解决方程 x 2 ＝ 2 ，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，例如 x 2 ＝－ 1 这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程 x 2 ＝－ 1 在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题 . 探究点一　复数的概念 思考 1 　为解决方程 x 2 ＝ 2 ，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程 x 2 ＋ 1 ＝ 0 在实数系中无根的问题呢？ 答　 设想引入新数 i ，使 i 是方程 x 2 ＋ 1 ＝ 0 的根，即 i·i ＝－ 1 ，方程 x 2 ＋ 1 ＝ 0 有解，同时得到一些新数 . 思考 2 　如何理解虚数单位 i? 答　 (1)i 2 ＝－ 1. (2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律 . (3) 由于 i 2 ＜ 0 与实数集中 a 2 ≥ 0( a ∈ R ) 矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立 . (4) 若 i 2 ＝－ 1 ，那么 i 4 n ＝ 1 ， i 4 n ＋ 1 ＝ i ， i 4 n ＋ 2 ＝－ 1 ， i 4 n ＋ 3 ＝－ i. 思考 3 　什么叫复数？怎样表示一个复数？什么叫虚数？什么叫纯虚数？ 答　 形如 a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 的数叫作复数，复数通常用字母 z 表示，即 z ＝ a ＋ b i ，这一表示形式叫作复数的代数形式，其中 a 、 b 分别叫作复数 z 的实部与虚部 . 对于复数 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) ，当 b ≠ 0 时叫作虚数；当 a ＝ 0 且 b ≠ 0 时，叫作纯虚数 . 例 1 　 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数 . ① 2 ＋ 3i ； ② － 3 ＋ i ； ③ ＋ i ； ④ π ； ⑤ － i ； ⑥ 0. 解　 ① 的实部为 2 ，虚部为 3 ，是虚数 ； ② 的实部为－ 3 ，虚部 为 ， 是虚数； ③ 的实部 为 ， 虚部为 1 ，是虚数； ④ 的实部为 π ，虚部为 0 ，是实数 ； ⑤ 的实部为 0 ，虚部为 － ， 是纯虚数； ⑥ 的实部为 0 ，虚部为 0 ，是实数 . 反思与感悟　 复数 a ＋ b i 中，实数 a 和 b 分别叫作复数的实部和虚部 . 特别注意， b 为复数的虚部而不是虚部的系数， b 连同它的符号叫作复数的虚部 . 跟踪训练 1 　符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由 . (1) 实部为 － 的 虚数 ； 解　 存在且有无数个，如 － ＋ i 等； (2) 虚部为 － 的 虚数； 解　 存在 且不唯一，如 1 － i 等； (3) 虚部为 － 的 纯虚数 ； 解　 存在 且唯一，即 － i ； (4) 实部为 － 的 纯虚数 . 解　 (4) 不存在，因为纯虚数的实部为 0 . 例 2 　 (1) 求 当实数 m 为何值时， z ＝ ＋ ( m 2 ＋ 5 m ＋ 6)i 是实数； 解　 由已知得复数 z 的实部 为 ， 虚部为 m 2 ＋ 5 m ＋ 6. 复数 z 是实数的充要条件是 ⇔ m ＝－ 2. ∴ 当 m ＝－ 2 时复数 z 是实数 . (2) 求 当实数 m 为何值时， z ＝ ＋ ( m 2 ＋ 5 m ＋ 6)i 是 虚数； 解　 复数 z 是虚数的充要条件是 ∴ 当 m ≠ － 3 且 m ≠ － 2 时复数 z 是虚数 . (3) 求 当实数 m 为何值时， z ＝ ＋ ( m 2 ＋ 5 m ＋ 6)i 是 纯虚数 . 解　 复数 z 是纯虚数的充要条件是 ∴ 当 m ＝ 3 时复数 z 是纯虚数 . 反思与感悟　 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数 . 跟踪训练 2 　 (1) 实数 m 为何值时，复数 z ＝ ＋ ( m 2 ＋ 2 m － 3)i 是实数； 解　 要使 z 是实数， m 需满足 m 2 ＋ 2 m － 3 ＝ 0 ， (2) 实数 m 为何值时，复数 z ＝ ＋ ( m 2 ＋ 2 m － 3)i 是虚数； 解　 要使 z 是虚数， m 需满足 m 2 ＋ 2 m － 3 ≠ 0 ， (3) 实数 m 为何值时，复数 z ＝ ＋ ( m 2 ＋ 2 m － 3)i 是纯虚数 . 且 m 2 ＋ 2 m － 3 ≠ 0 ， 解得 m ＝ 0 或 m ＝－ 2. 探究点二　两个复数相等 思考 1 　两个复数能否比较大小？ 答　 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小 . 思考 2 　两个复数相等的充要条件是什么？ 答　 复数 a ＋ b i 与 c ＋ d i 相等的充要条件是 a ＝ c 且 b ＝ d ( a ， b ， c ， d ∈ R ). 例 3 　 已知 x ， y 均是实数，且满足 (2 x － 1) ＋ i ＝－ y － (3 － y )i ，求 x 与 y . 反思与感悟　 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数 . 跟踪训练 3 　已知 M ＝ {1 ， ( m 2 － 2 m ) ＋ ( m 2 ＋ m － 2)i} ， P ＝ { － 1,1,4i} ，若 M ∪ P ＝ P ，求实数 m 的值 . 解　 ∵ M ∪ P ＝ P ， ∴ M ⊆ P ， ∴ ( m 2 － 2 m ) ＋ ( m 2 ＋ m － 2)i ＝－ 1 或 ( m 2 － 2 m ) ＋ ( m 2 ＋ m － 2)i ＝ 4i. 由 ( m 2 － 2 m ) ＋ ( m 2 ＋ m － 2)i ＝－ 1 得 由 ( m 2 － 2 m ) ＋ ( m 2 ＋ m － 2)i ＝ 4i 得 综上可知 m ＝ 1 或 m ＝ 2. 探究点三　复数的几何意义 思考 1 　实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 答　 任何一个复数 z ＝ a ＋ b i ，都和一个有序实数对 ( a ， b ) 一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应关系 . 小结　 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面， x 轴叫作实轴， y 轴叫作虚轴 . 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 . 思考 2 　下列命题是否正确？ ① 在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ② 在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； ③ 在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④ 在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数 ； 答　 根据实轴的定义， x 轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点 (2,0) 表示实数 2 ，因此 ①③ 是真命题 ； 根据 虚轴的定义， y 轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数 5i 对应点 (0,5) ，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为 (0,0) ，它所确定的复数是 z ＝ 0 ＋ 0i ＝ 0 表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以 ② 是真命题， ④ 是假命题 . 思考 3 　复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？ 答　 当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系 . 思考 4 　怎样定义复数 z 的模？它有什么意义？ 例 4 　 (1) 在 复平面内，若复数 z ＝ ( m 2 － m － 2) ＋ ( m 2 － 3 m ＋ 2)i 对应 点在 虚轴 上，求实 数 m 的取值范围 . 解　 复数 z ＝ ( m 2 － m － 2) ＋ ( m 2 － 3 m ＋ 2)i 的实部为 m 2 － m － 2 ，虚部为 m 2 － 3 m ＋ 2. 由 题意得 m 2 － m － 2 ＝ 0. 解得 m ＝ 2 或 m ＝－ 1 . (2) 在 复平面内，若复数 z ＝ ( m 2 － m － 2) ＋ ( m 2 － 3 m ＋ 2)i 对应 点 在 第二 象限，求实 数 m 的取值范围 . ∴ － 1< m <1. (3) 在 复平面内，若复数 z ＝ ( m 2 － m － 2) ＋ ( m 2 － 3 m ＋ 2)i 对应 点在 直线 y ＝ x 上 ，求实 数 m 的取值范围 . 解　 由已知得 m 2 － m － 2 ＝ m 2 － 3 m ＋ 2 ， 故 m ＝ 2 . 反思与感悟　 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值 . 跟踪训练 4 　已知复数 z 的虚部 为 ， 在复平面内复数 z 对应的向量的模为 2 ，求复数 z . 解得 a ＝ ±1. 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 4 1. 已知复数 z ＝ a 2 － (2 － b )i 的实部和虚部分别是 2 和 3 ，则实数 a ， b 的值分别是 ( 　　 ) C 2. 如果 z ＝ m ( m ＋ 1) ＋ ( m 2 － 1)i 为纯虚数，则实数 m 的值为 ( 　　 ) A.1 B.0 C . － 1 D . － 1 或 1 1 2 3 4 ∴ m ＝ 0. B 1 2 3 3. 在复平面内，复数 z ＝ i ＋ 2i 2 对应的点位于 ( 　　 ) A. 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四 象限 解析　 ∵ z ＝ i ＋ 2i 2 ＝－ 2 ＋ i ， ∴ 实部小于 0 ，虚部大于 0 ， 故复数 z 对应的点位于第二象限 . 4 B 1 2 3 4 4. 已知复数 z ＝ a ＋ i 在复平面内对应的点位于第二象限，且 | z | ＝ 2 ，则复数 z 等于 ( 　　 ) 1 2 3 4 解析　 因为 z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以 a <0 ， 答案　 A 呈 重点、现 规律 1. 对于复数 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) ，可以限制 a ， b 的值得到复数 z 的不同情况； 2. 两个复数相等，要先确定两个复数实虚部，再利用两个复数相等的条件； 3. 复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应； 4. 研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看