高中数学选修2-2教学课件4_3_2（函数的极值与导数(2)） 27页

11 二月 2021 4.3.2 函数的极值与导数（二） 一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： 2 . 法则 1 　 法则 2 法则 3 3. 复合函数的导数： 4. 用导数求函数单调区间的步骤： ① 求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ). ② 令 f ′( x ) ＞ 0 解不等式，得 x 的范围就是递增区间 . ③ 令 f ′( x ) ＜ 0 解不等式，得 x 的范围，就是递减区间 . 5. 判别 f ( x 0 ) 是极大、极小值的方法 : 6. 求可导函数 f ( x ) 的极值的步骤 : (1) 确定函数的定义区间，求导数 f ′ ( x ) (2) 求方程 f ′ ( x )=0 的根 (3) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干 小开区间，并列成表格 . 检查 f ′ ( x ) 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么 f ( x ) 在这个根处取得极大值；如果左负右 正，那么 f ( x ) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号， 那么 f ( x ) 在这个根处无极值 . [ 例 1] 　已知 f ( x ) ＝ ax 5 － bx 3 ＋ c 在 x ＝ ±1 处的极大值为 4 ，极小值为 0 ，试确定 a 、 b 、 c 的值． [ 分析 ] 　 本题的关键是理解 “ f ( x ) 在 x ＝ ±1 处的极大值为 4 ，极小值为 0 ” 的含义．即 x ＝ ±1 是方程 f ′ ( x ) ＝ 0 的两个根且在根 x ＝ ±1 处 f ′ ( x ) 取值左右异号． [ 解析 ] 　 f ′ ( x ) ＝ 5 ax 4 － 3 bx 2 ＝ x 2 (5 ax 2 － 3 b ) ． 由题意， f ′ ( x ) ＝ 0 应有根 x ＝ ±1 ，故 5 a ＝ 3 b ， 于是 f ′ ( x ) ＝ 5 ax 2 ( x 2 － 1) (1) 当 a ＞ 0 时， x ( － ∞ ，－ 1) － 1 ( － 1,0) 0 (0,1) 1 (1 ，＋ ∞ ) y ′ ＋ 0 － 0 － 0 ＋ y  极大值  无极值  极小值  [ 点评 ] 　紧扣导数与极值的关系对题目语言进行恰当合理的翻译、转化是解决这类问题的关键． 函数 f ( x ) ＝ x 3 － ax 2 － bx ＋ a 2 ，在 x ＝ 1 时有极值 10 ，则 a 、 b 的值为 ( 　　 ) A ． a ＝ 3 ， b ＝－ 3 ，或 a ＝－ 4 ， b ＝ 11 B ． a ＝－ 4 ， b ＝ 1 ，或 a ＝－ 4 ， b ＝ 11 C ． a ＝－ 1 ， b ＝ 5 D ．以上都不正确 [ 答案 ] 　 D 变式 [ 解析 ] 　 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 2 ax － b ∵ x ＝ 1 是函数 f ( x ) 的极值点，且在 x ＝ 1 处的极值为 10 ， ∴ f ′ (1) ＝ 3 － 2 a － b ＝ 0 ① f (1) ＝ 1 － a － b ＋ a 2 ＝ 10 ② 当 a ＝ 3 ， b ＝－ 3 时 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 6 x ＋ 3 ＝ 3( x － 1) 2 当 x ＜ 1 时， f ′ ( x ) ＞ 0 当 x ＞ 1 时， f ′ ( x ) ＞ 0 ∴ 当 x ＝ 1 时函数不存在极值． 当 a ＝－ 4 ， b ＝ 11 时符合题意，故应选 D. [ 例 2] 　求函数 f ( x ) ＝ x 3 － 3 x 2 － 2 在 ( a － 1 ， a ＋ 1) 内的极值 ( a >0) [ 解析 ] 　 由 f ( x ) ＝ x 3 － 3 x 2 － 2 得 f ′ ( x ) ＝ 3 x ( x － 2) ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 得 x ＝ 0 或 x ＝ 2. 当 x 变化时， f ′ ( x ) 、 f ( x ) 的变化情况如下表： x ( － ∞ ， 0) 0 (0,2) 2 (2 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x )  极大值  极小值  由此可得： 当 0< a <1 时， f ( x ) 在 ( a － 1 ， a ＋ 1) 内有极大值 f (0) ＝－ 2 ，无极小值； 当 a ＝ 1 时， f ( x ) 在 ( a － 1 ， a ＋ 1) 内无极值； 当 1< a <3 时， f ( x ) 在 ( a － 1 ， a ＋ 1) 内有极小值 f (2) ＝－ 6 ，无极大值； 当 a ≥ 3 时， f ( x ) 在 ( a － 1 ， a ＋ 1) 内无极值． 综上得：当 0< a <1 时， f ( x ) 有极大值－ 2 ，无极小值； 当 1< a <3 时， f ( x ) 有极小值－ 6 ，无极大值； 当 a ＝ 1 或 a ≥ 3 时， f ( x ) 无极值． [ 点评 ] 　判断函数极值点的注意事项 (1) 函数的极值点一定出现在区间的内部， 区间的端点不能成为极值点． (2) 若 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内有极值，那么 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内绝不是单调函数，即 在区间 ( a ， b ) 上的单调函数没有极值． (3) 导数不存在的点也有可能是极值点 ，如 f ( x ) ＝ | x | 在 x ＝ 0 处不可导，但由图象结合极小值定义知 f ( x ) ＝ | x | 在 x ＝ 0 处取极小值． (4) 在函数的定义区间内可能有多个极大值点或极小值点，且 极大值不一定比极小值大． (5) 在讨论可导函数 f ( x ) 在定义域内的极值时，若方程 f ′ ( x ) ＝ 0 的实数根较多时，应注意使用表格，使极值点的确定一目了然． (6) 极值情况较复杂时，注意 分类讨论 ． 变式 1.(2009 · 陕西文， 20) 已知函数 f ( x ) ＝ x 3 － 3 ax － 1 ， a ≠ 0 (1) 求 f ( x ) 的单调区间； (2) 若 f ( x ) 在 x ＝－ 1 处取得极大值，直线 y ＝ m 与 y ＝ f ( x ) 的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围． 变式 1 [ 解析 ] 　 (1) f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 3 a ＝ 3( x 2 － a ) ， 当 a <0 时，对 x ∈ R ，有 f ′ ( x )>0 ， ∴ 当 a <0 时， f ( x ) 的单调增区间为 ( － ∞ ，＋ ∞ ) ． ∴ f ( x ) ＝ x 3 － 3 x － 1 ， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 3 ， 由 f ′ ( x ) ＝ 0 解得 x 1 ＝－ 1 ， x 2 ＝ 1. 由 (1) 中 f ( x ) 的单调性可知， f ( x ) 在 x ＝－ 1 处取得极大值 f ( － 1) ＝ 1 ， 在 x ＝ 1 处取得极小值 f (1) ＝－ 3. ∵ 直线 y ＝ m 与函数 y ＝ f ( x ) 的图象有三个不同的交点，又 f ( － 3) ＝－ 19< － 3 ， f (3) ＝ 17>1 ， 结合 f ( x ) 的单调性可知， m 的取值范围是 ( － 3,1) ． 变式训练 2 　已知 a 为实数，函数 f ( x ) ＝－ x 3 ＋ 3 x ＋ a . (1) 求函数 f ( x ) 的极值，并画出其图象 ( 草图 ) ； (2) 当 a 为何值时，方程 f ( x ) ＝ 0 恰好有两个实数根？ 解： (1) 由 f ( x ) ＝－ x 3 ＋ 3 x ＋ a ，得 f ′ ( x ) ＝－ 3 x 2 ＋ 3 ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝－ 1 或 x ＝ 1. 当 x ∈ ( － ∞ ，－ 1) 时， f ′ ( x )<0 ； 当 x ∈ ( － 1,1) 时， f ′ ( x )>0 ； 当 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， f ′ ( x )<0. 所以函数 f ( x ) 的极小值为 f ( － 1) ＝ a － 2 ；极大值为 f (1) ＝ a ＋ 2. 由单调性、极值可画出函数 f ( x ) 的大致图象，如图所示． (2) 结合图象，当极大值 a ＋ 2 ＝ 0 时，有极小值小于 0 ，此时曲线 f ( x ) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f ( x ) ＝ 0 恰有两个实数根，所以 a ＝－ 2 满足条件； 当极小值 a － 2 ＝ 0 时，有极大值大于 0 ，此时曲线 f ( x ) 与 x 轴恰有两个交点， 即方程 f ( x ) ＝ 0 恰好有两个实数根，所以 a ＝ 2 满足条件． 综上，当 a ＝ ±2 时，方程恰有两个实数根． 2 ．若 x ＝ 2 是函数 f ( x ) ＝ x ( x － m ) 2 的极大值点，则函数 f ( x ) 的极大值为 ________ ． [ 答案 ] 　 32 [ 解析 ] 　 f ′ ( x ) ＝ ( x － m ) 2 ＋ 2 x ( x － m ) ＝ 3 x 2 － 4 mx ＋ m 2 ＝ ( x － m )(3 x － m ) 四、小结 ： 这节课主要复习巩固了求可导函数的极值的方法，以及有 关极值问题的题目，注意极大、极小值与最大、最小值的区别。 极值点的充分条件、必要条件。 本讲到此结束，请同学们课后再做好复习 . 谢谢！ 《 完全解读 》 ， 《 同步导学 》 再见！ 作业