2019-2020学年新疆昌吉市教育共同体高二上学期期中考试数学试题（解析版） 16页

‎2019-2020学年新疆昌吉市教育共同体高二上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．把二进制数化为十进制数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用二进制数的定义将二进制数可化为十进制数.‎ ‎【详解】‎ 由二进制数的定义可得，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二进制数化十进制数，充分利用二进制数的定义进行转化，此外在将十进制数化为进制数，要利用除取余法，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据框图模拟程序运算即可.‎ ‎【详解】‎ 第一次执行程序，，，继续循环，‎ 第二次执行程序，，，，继续循环，‎ 第三次执行程序，，，，继续循环，‎ 第四次执行程序，，，，继续循环，‎ 第五次执行程序，，，，跳出循环，输出，结束.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序框图，涉及循环结构，解题关键注意何时跳出循环，属于中档题.‎ ‎3．设x为实数，命题p：，，则命题p的否定是（ ）‎ A．：， B．：，‎ C．：， D．：，‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题直接写出答案.‎ ‎【详解】‎ 解：全称命题的否定是特称命题，‎ 命题p:,,则命题p的否定是:：，.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了含有一个量词的命题的否定,全称命题和特称命题的否定关系,属于基础题.‎ ‎4．为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是、，则下列说法正确的是（ ）‎ A．，乙比甲稳定，应选乙参加比赛 B．，甲比乙稳定，应选甲参加比赛 C．，甲比乙稳定，应选甲参加比赛 D．，乙比甲稳定，应选乙参加比赛 ‎【答案】B ‎【解析】先计算出甲乙两个学生的平均得分，再分析得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ ‎，‎ 所以.‎ 从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定，‎ 所以要派甲参加.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5．如图是根据变量x，y的观测数据(，)(i=1，2，3，...，10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是（ ）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据散点图的整体趋势直接判断即可.‎ ‎【详解】‎ 解:由图③知,变量y随x的增大而减小,各点整体呈下降趋势,x与y有明显的负相关关系;‎ 由图④知,变量y随x的增大而增大,各点整体呈上升趋势,x与y有明显的正相关关系.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了由散点图的识别判断变量的相关关系,明确变量正负相关关系的概念是解题关键,属于基础题.‎ ‎6．某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则 ‎①该抽样可能是系统抽样；‎ ‎②该抽样可能是随机抽样：‎ ‎③该抽样一定不是分层抽样；‎ ‎④本次抽样中每个人被抽到的概率都是．‎ 其中说法正确的为（ ）‎ A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】①该抽样可以是系统抽样；②因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；④分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假.‎ ‎【详解】‎ ‎①总体容量为30，样本容量为5，第一步对30个个体进行编号，如男生1～20，女生21～30；‎ 第二步确定分段间隔；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号；‎ 第四步将编号为依次抽取，即可获得整个样本．故该抽样可以是系统抽样．因此①正确．‎ ‎②因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故②正确；‎ ‎③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，‎ 但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男3女，抽的比例不同，故③正确；‎ ‎④该抽样男生被抽到的概率；女生被抽到的概率，故前者小于后者．因此④不正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了随机抽样及概率，正确理解它们是解决问题的关键．‎ ‎7．已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=1.5，=5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由变量负相关，可排除D；再由回归直线过样本中心，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为变量x与y负相关，所以排除D；‎ 又回归直线过样本中心，‎ A选项，过点，所以A正确；‎ B选项，不过点，所以B不正确；‎ C选项，不过点，所以C不正确；‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归直线，熟记回归直线的意义即可，属于常考题型.‎ ‎8．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用椭圆的简单性质，利用椭圆的焦点坐标得到的值，再根据求得，最后代入离心率公式．‎ ‎【详解】‎ 椭圆的一个焦点为，可得，解得，‎ 所以椭圆的离心率为：．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用的值求解椭圆的离心率，考查简单的运算求解能力．‎ ‎9．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据随机事件的概率计算完成求解.‎ ‎【详解】‎ 可能出现的选择有种，满足条件要求的种数为种，则，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易.古典概型的概率计算公式：（目标事件的数量）（基本事件的总数）.‎ ‎10．一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”，下图是由三个半圆构成的图形最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为，则阴影部分图形的“周积率”为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】设两个小圆的半径分别为，不妨设，则，根据面积比的几何概型，列出方程求得，进而求得阴影部分的周长和面积，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，设两个小圆的半径分别为，不妨设，‎ 因为大圆的半径为，则，‎ 大圆的面积，‎ 阴影部分的面积为，‎ 又由在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为，‎ 可得，整理得，‎ 解得，又由，所以，‎ 所以阴影部分的周长为，‎ 所以，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了新定义的应用，以及面积比几何概型的应用，其中解答中正确理解题意，列出方程求得两小圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎11．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】“，”为真命题可转化为恒成立，可得，根据充分必要条件可选出答案.‎ ‎【详解】‎ 若“，”为真命题，可得恒成立 只需，‎ 所以时，，”为真命题，‎ ‎“，”为真命题时推出，‎ 故是命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，‎ 选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题.‎ ‎12．已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是()‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 ‎【答案】B ‎【解析】结合椭圆第一定义列出|MF1|+|MF2|＝4，联立求解|MF1|和|MF2|，再判断△MF1F2三边关系即可 ‎【详解】‎ 由题可知，解得，又因，，所以△MF1F2为直角三角形 答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的基本性质，结合第一定义解题往往是圆锥曲线解题优先考虑的步骤 二、填空题 ‎13．某班级有名学生，现采取系统抽样的方法在这名学生中抽取名，将这名学生随机編号号，并分组，第一组，第二组，，第十组，若在第三组中抽得的号码为号的学生，在第八组中抽得的号码为_____的学生.‎ ‎【答案】44‎ ‎【解析】利用系统抽样的特点得到第八组中抽取的号码为得解.‎ ‎【详解】‎ 由于系统抽样得到的号码是一个以6为公差的等差数列，‎ 所以第八组中抽取的号码为.‎ 故答案为：44‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查系统抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14．在区间上随机选取一个实数x，则事件“”发生的概率为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由对数不等式的解法得：，由几何概型中的线段型：，得解．‎ ‎【详解】‎ 解：解不等式得：，设事件A为“”，‎ 由几何概型中的线段型可得：，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数不等式的解法及几何概型中的线段型，属基础题．‎ ‎15．若椭圆上的点到两焦点距离之和为，则该椭圆的短轴长为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为2a,可得2a=，即，求出m的值，再根据，即可求出椭圆的短轴长。‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，∴，∴，∴，.故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义及性质，是基础题。‎ ‎16．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．两人能会面的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设甲乙从6时起分别经过 分钟和分钟到达会面地点，列出不等式组，若两人能够会面，则需，画出可行域，利用面积比的几何概型，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 设甲乙从6时起分别经过 分钟和分钟到达会面地点，‎ 则，若两人能够会面，则需，‎ 作出约束条件表示的可行域，如图所示，可得的所有可能的结果是边长为的正方形区域，而事件A“两人能够会面的可能”结果，由图中的阴影部分表示，‎ 由几何概型的概率公式，可得,‎ 所以，两人能会面的概率是。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．某大学高等数学这学期分别用两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为人，入学数学平均分和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）.现随机抽取甲、乙两班各名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：‎ ‎ ‎ ‎（1）学校规定：成绩不得低于85分的为优秀，请填写下面的列联表，并判断“能否在犯错误率的概率不超过0.025的前提下认为成绩优异与教学方式有关？”‎ 下面临界值表仅供参考：‎ ‎（参考方式：，其中）‎ ‎（2）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：根据茎叶图所提供的数据，填写 列联表，根据独立性检验方法先计算随机变量观测值，计算要准确，保留3位小数，根据临界值表发现，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为成绩优秀与数学方式有关；甲班不低于80分有6人，随机抽取两人，用列举法列出15种情况，至少有1名86分的情况有9种，求出概率值.‎ 试题解析：（1）‎ 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计 ‎，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为成绩优秀与数学方式有关.‎ ‎（2）甲班不低于80分有6人，随机抽取两人，用列举法列出15种情况，至少有1名86分的情况有9种，‎ ‎18．某中学的高二（1）班男同学名，女同学名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组．‎ ‎（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；‎ ‎（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选名同学做实验，求选出的两名同学中恰有名女同学的概率；‎ ‎（3）实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为，第二次做实验的同学得到的实验数据为，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：（I）按照分层抽样的按比例抽取的方法，男女生抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；（II）先算出选出的两名同学的基本事件数，有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种；再算出恰有一名女同学事件数，两者比值即为所求概率；（III）欲问哪位同学的试验更稳定，只要算出他们各自的方差比较大小即可，方差小些的比较稳定 试题解析：（1），故某同学被抽到的概率，课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为 ‎（2）选出的两名同学恰有1名女同学的概率为 ‎（3）‎ ‎，故第二位同学的实验更稳定。‎ ‎【考点】等可能事件的概率；分层抽样方法；极差、方差与标准差 ‎19．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，，分成5组，制成如图所示频率分直方图．‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）求这组数据的平均数和中位数；‎ ‎（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．‎ ‎【答案】（1）0.02（2）平均数77，中位数（3）‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图的性质得出的值；‎ ‎（2）根据平均数和中位数的定义得出；‎ ‎（3）由题意，满意度评分值为的人的频率为0.005，故人数为5，根据男女比例得出男女人数，根据列举的值随机抽取2人共10个基本事件，根据古典概型得出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，解得． ‎ ‎（2）这组数据的平均数为． ‎ 中位数设为，则，解得 ‎ ‎（3）满意度评分值在内有人，‎ 其中男生3人，女生2人．记为 ‎ 记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A 通过列举知总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，‎ 利用古典概型概率公式可知.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关频率分布直方图的问题，涉及到的知识点有直方图的性质，应用直方图求中位数和平均数，古典概型概率公式，属于简单题目.‎ ‎20．已知，设命题：实数满足，命题：实数满足．‎ ‎（1）若，为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）若，分别求出成立的等价条件，利用为真命题，求出的取值范围；‎ ‎（2）利用是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由，得，‎ ‎（1）若，则：，‎ 若为真，则，同时为真，‎ 即，解得，‎ ‎∴实数的取值范围.‎ ‎（2）由，得，解得.‎ 即：.‎ 若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，‎ 则必有，此时：，.‎ 则有，即，‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将是的充分不必要条件，转化为是的充分不必要条件是解决本题的关键.‎ ‎21．求适合下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）长轴长是10，离心率是；‎ ‎（2）在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．‎ ‎【答案】（1）+=1或+=1；（2）+=1‎ ‎【解析】（1）设出椭圆的方程，根据a，c的值求出b的值，求出椭圆的标准方程即可；‎ ‎（2）设椭圆的标准方程为，a＞b＞0，由已知条件推导出c=b=3，由此能求出椭圆的标准方程．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设椭圆的方程为：+=1（a＞b＞0）或+=1（a＞b＞0），‎ 由已知得：2a=10，a=5，e==，故c=4，‎ 故b2=a2-c2=25-16=9，‎ 故椭圆的方程是：+=1或+=1；‎ ‎（2）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，‎ ‎∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，‎ ‎∴△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且OF=c，A1A2=2b，‎ ‎∴c=b=3．∴a2=b2+c2=18．‎ 故所求椭圆的方程为+=1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用,属于基础题．‎ ‎22．点是椭圆一点，为椭圆的一个焦点，的最小值为，最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线被椭圆截得的弦长为，求的值 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用已知条件求出椭圆的，然后求解，即可得到方程；‎ ‎（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式解得的值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由点是椭圆一点，为椭圆的一个焦点，的最小值为，最大值为．‎ 可得，解得，进而，‎ 所以椭圆方程为：.‎ ‎（2）设直线与曲线的交点分别为 联立得,‎ ‎,即 又，‎ ‎，化简，‎ 整理得，∴，符合题意.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，属于中档题.‎