高中数学选修2-2教学课件第二章 1 37页

§1 　 变化的快慢与变化率 第二章　变化率与导数 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念 . 2. 会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 函数的平均变化率 对一般的函数 y ＝ f ( x ) 来说，当自变量 x 从 x 1 变为 x 2 时，函数值从 f ( x 1 ) 变为 f ( x 2 ) ，它的平均变化率 为 . 2. 函数的瞬时变化率 对于一般的函数 y ＝ f ( x ) ，在自变量 x 从 x 0 变到 x 1 的过程中，若设 Δ x ＝ x 1 － x 0 ， Δ y ＝ f ( x 1 ) － f ( x 0 ) ，则函数的平均变化率 为 ＝ ＝ ； 当 Δ x 趋于 0 时，平均变化 率 就 趋于函数在 x 0 点的瞬时变化率 . 在一点处变化的快慢 3. 函数的平均变化率与瞬时变化率的特点 平均变化率用来刻画函数值在某个范围内变化的快慢，瞬时变化率刻画的是 函数 . 探要点 · 究 所然 情境导学 某市 2013 年 5 月 30 日最高气温是 33.4 ℃ ，而此前的两天 5 月 29 日和 5 月 28 日最高气温分别是 24.4 ℃ 和 18.6 ℃ ，短短两天时间，气温 “ 陡增 ” 14.8 ℃ ，闷热中的人们无不感叹： “ 天气热得太快了！ ” 但是，如果我们将该市 2013 年 4 月 28 日最高气温 3.5 ℃ 和 5 月 28 日最高气温 18.6 ℃ 进行比较，可以发现 二 者温差为 15.1 ℃ ，甚至超过了 14.8 ℃ ，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得 “ 太快 ” ，而后者变化得 “ 缓慢 ” ，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一　函数的平均变化率 思考 1 　如何用数学反映曲线的 “ 陡峭 ” 程度？ 答　 如图，表示 A 、 B 之间的曲线和 B 、 C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化 . 如用 比值 近似 量化 B 、 C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在 [ x B ， x C ] 上的平均变化率 . 思考 2 　什么是平均变化率，平均变化率有何作用 ？ 答　 如果函数关系用 y ＝ f ( x ) 表示，那么变化率可用 式子 表示 ，我们把这个式子称为函数 y ＝ f ( x ) 从 x 1 到 x 2 的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢 . 例 1 　 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率 . 解　 从出生到第 3 个月，婴儿体重平均变化率为 ＝ 1( 千克 / 月 ). 从第 6 个月到第 12 个月，婴儿体重平均变化率为 反思与感悟　 求平均变化率的主要步骤： (1) 先计算函数值的改变量 Δ y ＝ f ( x 2 ) － f ( x 1 ). (2) 再计算自变量的改变量 Δ x ＝ x 2 － x 1 . 跟踪训练 1 　如图是函数 y ＝ f ( x ) 的图像，则 (1) 函数 f ( x ) 在区间 [ － 1,1] 上的平均变化率为 ； (2) 函数 f ( x ) 在区间 [0,2] 上的平均变化率为 . 解析　 由函数 f ( x ) 的图像知， 所以函数 f ( x ) 在区间 [0,2] 上的平均变化率为 探究点二　求函数的平均变化率 例 2 　 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ，分别计算 f ( x ) 在下列区间上的平均变化率 ： (1) [1,3] ； 解　 函数 f ( x ) 在 [1,3] 上的平均变化率 为 (2) [1,2] ； 解　 函数 f ( x ) 在 [1,2] 上的平均变化率 为 (3) [1,1.1] ； 解　 函数 f ( x ) 在 [1,1.1] 上的平均变化率 为 (4) [1,1.001 ]. 解　 函数 f ( x ) 在 [1,1.001] 上的平均变化率 为 反思与感悟　 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量 Δ x 取值越小，越能准确体现函数的变化情况 . 跟踪训练 2 　分别求函数 f ( x ) ＝ 1 － 3 x 在自变量 x 从 0 变到 1 和从 m 变到 n ( m ≠ n ) 时的平均变化率 . 解　 自变量 x 从 0 变到 1 时， 函数 f ( x ) 的平均变化率 为 自变量 x 从 m 变到 n 时， 函数 f ( x ) 的平均变化率为 思考 　一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ≠ 0) 在区间 [ m ， n ] 上的平均变化率有什么特点？ 答　 根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图像上任意两点连线的斜率是定值 k ，即一次函数的平均变化率是定值 . 探究点三　瞬时变化率 思考 1 　高台跳水运动员相对于水面的高度 h 与起跳时间 t 的函数关系 h ( t ) ＝－ 4.9 t 2 ＋ 6.5 t ＋ 10 ，则运动员 在 时间 内的平均速度为多少？ 思考 2 　物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？ 答　 不能 . 如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为 0 ，而运动员一直处于运动状态 . 思考 3 　如何描述物体在某一时刻的运动状态？ 答　 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态 . 要求物体在 t 0 时刻的瞬时速度，设运动方程为 s ＝ s ( t ) ，可先求物体在 ( t 0 ， t 0 ＋ Δ t ) 内的 平均速度 ， 然后 Δ t 趋于 0 ，得到物体在 t 0 时刻的瞬时速度 . 例 3 　 一辆汽车按规律 s ＝ 3 t 2 ＋ 1 做直线运动，估计汽车在 t ＝ 3 s 时的瞬时速度 .( 时间单位： s ；位移单位： m ) 解　 当时间从 3 变到 3 ＋ Δ t 时 ， ＝ 3Δ t ＋ 18. ∴ 这辆汽车在 t ＝ 3 s 时的瞬时速度为 18 m/s. 反思与感悟　 要求瞬时速度，可先求平均速度， Δ t 趋于 0 ，则平均速度趋于瞬时速度；理解求法中的逼近思想 . 跟踪训练 3 　求函数 f ( x ) ＝－ x 2 ＋ 3 x 在 x ＝ 2 处的瞬时变化率 . 即函数 f ( x ) 在 x ＝ 2 处的瞬时变化率为－ 1. 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 1. 已知函数 y ＝ f ( x ) ＝ 2 x 2 － 1 的图像上一点 (1,1) 及邻近一点 (1 ＋ Δ x, 1 ＋ Δ y ) ， 则 等于 ( 　　 ) A.4 B.4 x C.4 ＋ 2Δ x D.4 ＋ 2(Δ x ) 2 4 1 2 3 解析　 ∵ Δ y ＝ f (1 ＋ Δ x ) － f (1) ＝ 2(1 ＋ Δ x ) 2 － 1 － 1 ＝ 2(Δ x ) 2 ＋ 4Δ x ， 答案　 C 4 2. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系式为 s ＝ t 2 ，则 t ＝ 2 时，此木块在水平方向的瞬时速度为 ( 　　 ) A.2 B.1 C . D . 1 2 3 4 1 2 3 答案　 C 4 1 2 3 3. 质点运动方程为 s ＝ t 2 ＋ 3 ，则在时间 (3,3 ＋ Δ t ) 内，相应的平均速度等于 . 6 ＋ Δ t 4 1 2 3 4 4. 函数 y ＝ f ( x ) ＝ ＋ 2 在 x ＝ 1 处的瞬时变化率为 . － 2 呈 重点、现 规律 1. 平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢 . 2. 可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看