【数学】2019届一轮复习人教A版理第10章第9节　离散型随机变量的均值与方差教案 10页

第九节　离散型随机变量的均值与方差 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题．‎ ‎(对应学生用书第190页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．‎ ‎(2)方差：称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．‎ ‎2．均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.‎ ‎(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．‎ ‎3．两点分布与二项分布的均值、方差 均值 方差 变量X服从两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p)‎ X～B(n，p)‎ E(X)＝np D(X)＝np(1－p)‎ ‎[知识拓展]　E(X)反映了x取值的平均水平，D(X)反映了X针对E(X)的稳定与波动，集中与离散的程度．‎ 区分、s2、μ、σ2、E(X)、D(X)．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(　　)‎ ‎(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．(　　)‎ ‎(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. (　　)‎ ‎(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知X的分布列为 X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)‎ A．　　　　　　　 B．4‎ C．－1 D．1‎ A　[E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，‎ 则E(Y)＝2E(X)＋3＝3－＝.]‎ ‎3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，则D(ξ)等于(　　)‎ A．8 B．5‎ C．10 D．12‎ A　[∵E(ξ)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，‎ ‎∴D(ξ)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.]‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.‎ ‎1.96　[由题意得X～B(100,0.02)，‎ ‎∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.]‎ ‎5．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.‎ 　[由于X～B(n，p)，且E(X)＝30，D(X)＝20，‎ 所以 解之得p＝.]‎ ‎(对应学生用书第190页)‎ 离散型随机变量的均值、方差 ‎　(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．‎ ‎(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？‎ ‎[解]　(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4，‎ P(X＝500)＝＝0.4.‎ 因此X的分布列为 X ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，因此只需考虑200≤n≤500.‎ 当300≤n≤500时，‎ 若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；‎ 若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.‎ 因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.‎ 当200≤n<300时，‎ 若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，‎ 因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.‎ 所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．‎ ‎[规律方法]　求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值.‎ (2)求X取每个值时的概率.‎ (3)写出X的分布列.‎ (4)由均值的定义求E(X).‎ (5)由方差的定义求D(X).‎ 提醒　注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用.‎ ‎[跟踪训练]　(2017·青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．‎ ‎(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；‎ ‎(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ 的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ). 【导学号：97190381】‎ ‎[解]　(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元．‎ 两人都付0元的概率为P1＝×＝，‎ 两人都付40元的概率为P2＝×＝，‎ 两人都付80元的概率为 P3＝×＝×＝，‎ 则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.‎ ‎(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则：‎ P(ξ＝0)＝×＝；‎ P(ξ＝40)＝×＋×＝；‎ P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝；‎ P(ξ＝120)＝×＋×＝；‎ P(ξ＝160)＝×＝.‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎120‎ ‎160‎ P E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.‎ D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.‎ 与二项分布有关的均值、方差 ‎　 (2017·郑州诊断)空气质量指数(Air Quality Lndex，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士记录2017年某地某月10天的AQI的茎叶图如图1091所示．‎ 图1091‎ ‎(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共30天计算)‎ ‎(2)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列、数学期望和方差．‎ ‎[解]　(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为＝，‎ 从而估计该月空气质量优良的天数为30×＝18.‎ ‎(2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为，‎ ξ的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝C＝，‎ P(ξ＝2)＝C＝，P(ξ＝3)＝＝.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 显然ξ～B，E(ξ)＝3×＝1.8，随机变量ξ的方差D(ξ)＝3××＝ ‎.‎ ‎[规律方法]　1.求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.‎ ‎2.有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b).同样还可求出D(aξ＋b).‎ ‎[跟踪训练]　一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1092所示．‎ 图1092‎ 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．‎ ‎(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；‎ ‎(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．‎ ‎[解]　(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，‎ A2表示事件“日销售量低于50个”，‎ B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”，因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，‎ P(A2)＝0.003×50＝0.15，‎ P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.‎ ‎(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为 P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，‎ P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，‎ P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，‎ P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.064‎ ‎0.288‎ ‎0.432‎ ‎0.216‎ 因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.‎ 均值与方差在决策中的应用 ‎　(2018·广州综合测试(二))某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立．根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令ξi(i＝1,2)表示实施方案i的第二个月的销量是促销前销量的倍数．‎ ‎(1)求ξ1，ξ2的分布列；‎ ‎(2)不管实施哪种方案，ξi与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大．‎ 销量倍数 ξi≤1.7‎ ‎1.7<ξi<2.3‎ ξi≥2.3‎ 利润(万元)‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎[解]　(1)由题意，ξ1的所有取值为1.68,1.92,2.1,2.4，‎ 因为P(ξ1＝1.68)＝0.6×0.5＝0.30，‎ P(ξ1＝1.92)＝0.6×0.5＝0.30，‎ P(ξ1＝2.1)＝0.4×0.5＝0.20，‎ P(ξ1＝2.4)＝0.4×0.5＝0.20，‎ 所以ξ1的分布列为 ξ1‎ ‎1.68‎ ‎1.92‎ ‎2.1‎ ‎2.4‎ P1‎ ‎0.30‎ ‎0.30‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ 由题意，ξ2的所有取值为1.68,1.8,2.24,2.4，‎ 因为P(ξ2＝1.68)＝0.7×0.6＝0.42，‎ P(ξ2＝1.8)＝0.3×0.6＝0.18，‎ P(ξ2＝2.24)＝0.7×0.4＝0.28，‎ P(ξ2＝2.4)＝0.3×0.4＝0.12，‎ 所以ξ2的分布列为 ξ2‎ ‎1.68‎ ‎1.8‎ ‎2.24‎ ‎2.4‎ P2‎ ‎0.42‎ ‎0.18‎ ‎0.28‎ ‎0.12‎ ‎(2)令Qi表示实施方案i在第二个月所获得的利润，则 Q1‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ P ‎0.30‎ ‎0.50‎ ‎0.20‎ Q2‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ P ‎0.42‎ ‎0.46‎ ‎0.12‎ 所以E(Q1)＝15×0.30＋20×0.50＋25×0.20＝19.5，‎ E(Q2)＝15×0.42＋20×0.46＋25×0.12＝18.5.‎ 因为E(Q1)>E(Q2)，‎ 所以实施方案1，第二个月的利润更大．‎ ‎[规律方法]　利用均值、方差进行决策的两个方略 (1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断.‎ (2)若两随机变量均值相同或相差不大.则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.‎ ‎[跟踪训练]　(2018·呼和浩特一调)春节前夕我市某公司要将一批新鲜牛羊肉用汽车运往指定城市A，如果能按约定日期送到，则该公司可获得销售收入30万元，每提前一天送到，可获得奖励1万元，每迟到一天送到，销售收入将少获得1万元．为保证按时送达，公司只能在约定日期的前两天出发，若行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费及其他信息如下表所示. ‎ ‎【导学号：97190382】‎ 路线 统计 不堵车的情况下送达到城市A所需的时间(天)‎ 堵车的情况下送达到城市A所需的时间(天)‎ 堵车的概率 运费(万元)‎ 公路1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.1‎ ‎4‎ 公路2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎0.3‎ ‎2‎ ‎(1)记汽车走公路2时公司获得的毛利润(收入－运费)为ξ(万元)，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；‎ ‎(2)假设你是公司的决策者，会选择哪条公路运送，并说明理由．‎ ‎[解]　(1)汽车走公路2时，不堵车时公司获得的毛利润ξ＝30＋1－2＝29(万元)．‎ 堵车时公司获得的毛利润ξ＝30－2－2＝26(万元)．‎ ‎∴汽车走公路2时获得的毛利润ξ的分布列为 ξ ‎29‎ ‎26‎ P ‎0.7‎ ‎0.3‎ ‎∴E(ξ)＝29×0.7＋26×0.3＝28.1(万元)．‎ ‎(2)设汽车走公路1时获得的毛利润为η，‎ 则不堵车时获得的毛利润η＝30－4＝26(万元)，‎ 堵车时获得的毛利润η＝30－1－4＝25(万元)，‎ ‎∴汽车走公路1时获得的毛利润η的分布列为 η ‎26‎ ‎25‎ P ‎0.9‎ ‎0.1‎ ‎∴E(η)＝26×0.9＋25×0.1＝25.9(万元)．‎ ‎∵E(ξ)>E(η)，‎ ‎∴选择公路2可以更多获利．‎