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- 2021-06-30 发布
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§3 计算导数
[学习目标]
1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=,y=的导数.
2.掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应用.
[知识链接]
如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系?
答 导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法.导数公式是用定义求出导数的直接结果,但由于导数是用极限定义的,因此求导数总是归结到求极限,这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数.
[预习导引]
1.导函数的概念:
一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)上每一点x处都有导数,导数值记为f′(x):
f′(x)= ,f′(x)是关于x的函数,称f′(x)为f(x)的导函数,通常也简称为导数.
2.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=c
f′(x)=0
f(x)=xα(α为实数)
f′(x)=αxα-1
f(x)=ax(a>0,a≠1)
f′(x)=axln_a
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=loga x(a>0,a≠1)
f′(x)=
f(x)=ln x
f′(x)=
f(x)=sin x
f′(x)=cos_x
f(x)=cos x
f′(x)=-sin_x
f(x)=tan x
f′(x)=
f(x)=cot x
f′(x)=-
要点一 利用导数定义求函数导数
例1 用导数的定义求函数f(x)=2 013x2的导数.
解 f′(x)=
=
=
= (4 026x+2 013Δx)
=4 026x.
规律方法 解答此类问题,应注意以下几条:
(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤.
(2)当Δx趋于0时,k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N+)等也趋于0.
(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用.
跟踪演练1 求f(x)=+x的导函数f′(x).
解 ∵Δy=f(x+Δx)-f(x)
=+(x+Δx)-
=-+Δx=+Δx
=+Δx,
∴=-+1,∴当Δx→0时,→-+1,
即f′(x)= = =-+1.
要点二 用导数公式求导数
例2 求下列函数的导数:
(1)y=sin ;(2)y=5x;(3)y=;(4)y=;
(5)y=log3x.
解 (1)y′=0;
(2)y′=(5x)′=5xln 5;
(3)y′=(x-3)′=-3x-4;
(4)y′=′===;
(5)y′=(log3x)′=.
规律方法 对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式,要想在解题过程中应用自如,必须做到以下两点:一是正确理解,如sin =是常数,而常数的导数一定为零,就不会出现′=cos 这样的错误结果.二是准确记忆,灵活变形.如根式、分式可转化为指数式,利用公式2求导.
跟踪演练2 求下列函数的导数:
(1)y=x8;(2)y=x;(3)y=x;(4)y=
解 (1)y′=8x7;
(2)y′=xln =-xln 2;
(3)∵y=x=,∴y′=;
(4) y′==-.
要点三 导数几何意义的应用
例3 已知曲线方程y=x2,求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程.
解 设P(x0,y0)为切点,则切线斜率k=f′(x0)=2x0,
故切线方程为
y-y0=2x0(x-x0),
∵P(x0,y0)在曲线上,
∴y0=x,
∴切线方程为:
y-x=2x0(x-x0),
又(3,5)在切线上,将(3,5)代入上式得:
5-x=2x0(3-x0),
解得:x0=1或x0=5,
∴切点坐标为(1,1)或(5,25),
故所求切线方程为
y-1=2×1×(x-1)或y-25=2×5×(x-5),
即:2x-y-1=0或10x-y-25=0.
规律方法 (1)在解答本题过程中易出现将(3,5)点作为切点而考虑不全面的错误,出现这种错误的原因是对曲线的切线理解不透彻.
(2)求曲线切线方程的一般步骤:
跟踪演练3 已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上的两点,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.
解 ∵y′=(x2)′=2x,设切点为M(x0,y0),则y′|x=x0=2x0,
又∵PQ的斜率为k==1,而切线平行于PQ,
∴k=2x0=1,即x0=,
所以切点为M.
∴所求的切线方程为y-=x-,即4x-4y-1=0.
1.给出下列结论中正确的个数为( )
①若y=,则y′=-;
②若y=,则y′=;
③若y=,则y′=-2x-3;
④若f(x)=3x,则f′(1)=3.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 ①y==x-3,则y′=-3x-4=-;
②y==,则y′=·≠;
③y==x-2,则y′=-2x-3;
④由f(x)=3x,知f′(x)=3,
∴f′(1)=3.∴①③④正确.
2.函数f(x)=,则f′(3)等于( )
A. B.0 C. D.
答案 A
解析 ∵f′(x)=()′=,∴f′(3)==.
3.设正弦曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪ B.[0,π)
C. D.∪
答案 A
解析 ∵(sin x)′=cos x,
∵kl=cos x,∴-1≤kl≤1,
∴αl∈∪.
4.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
答案 e2
解析 ∵y′=(ex)′=ex,∴k=e2,
∴曲线在点(2,e2)处的切线方程为y-e2=e2(x-2),
即y=e2x-e2.
当x=0时,y=-e2,当y=0时,x=1.
∴S△=×1×=e2.
1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归.
2.有些函数可先化简再应用公式求导.
如求y=1-2sin2的导数.因为y=1-2sin2=cos x,
所以y′=(cos x)′=-sin x.
3.对于正、余弦函数的导数,一是注意函数的变化,二是注意符号的变化.
一、基础达标
1.下列结论中正确的个数为( )
①y=ln 2,则y′=;②y=,则y′|x=3=-;
③y=2x,则y′=2xln 2;④y=log2x,则y′=.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D
解析 ①y=ln 2为常数,所以y′=0.①错.②③④正确.
2.过曲线y=上一点P的切线的斜率为-4,则点P的坐标为( )
A. B.或
C. D.
答案 B
解析 y′=′=-=-4,x=±,故选B.
3.已知f(x)=xa,若f′(-1)=-4,则a的值等于( )
A.4 B.-4 C.5 D.-5
答案 A
解析 f′(x)=axa-1,f′(-1)=a(-1)a-1=-4,a=4.
4.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定
答案 B
解析 ∵f′(x)=3x2,设切点为(x0,y0),则3x=1,
得x0=±,即在点和点处有斜率为1的切线.
5.曲线y=在点M(3,3)处的切线方程是________.
答案 x+y-6=0
解析 ∵y′=-,∴y′|x=3=-1,
∴过点(3,3)的斜率为-1的切线方程为:
y-3=-(x-3)即x+y-6=0.
6.若曲线y=在点
处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a=________.
答案 64
解析 ∵y=,∴y′=-,
∴曲线在点处的切线斜率k=-,
∴切线方程为y-=- (x-a).
令x=0得y=;令y=0得x=3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S=·3a· =18,∴a=64.
7.求下列函数的导数:
(1) y=;(2)y=;(3)y=-2sin ;
(4)y=log2x2-log2x.
解 (1)y′=′=′===.
(2)y′=′=(x-4)′=-4x-4-1=-4x-5=-.
(3)∵y=-2sin
=2sin =2sin cos =sin x,
∴y′=(sin x)′=cos x.
(4)∵y=log2x2-log2x=log2x,
∴y′=(log2x)′=.
二、能力提升
8.已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为( )
A. B.- C.-e D.e
答案 D
解析 y′=ex,设切点为(x0,y0),则
∴ex0=ex0·x0,∴x0=1,∴k=e.
9.曲线y=ln x在x=a处的切线倾斜角为,则a=________.
答案 1
解析 y′=,∴y′|x=a==1,∴a=1.
10.点P是曲线y=ex上任意一点,则点P到直线y=x的最小距离为________.
答案
解析
根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点,如图.则在点(x0,y0)处的切线斜率为1,即y′|x=x0=1.
∵y′=(ex)′=ex,
∴ex0=1,得x0=0,代入y=ex,得y0=1,即P(0,1).利用点到直线的距离公式得距离为.
11.已知f(x)=cos x,g(x)=x,求适合f′(x)+g′(x)≤0的x的值.
解 ∵f(x)=cos x,g(x)=x,
∴f′(x)=(cos x)′=-sin x,g′(x)=x′=1,
由f′(x)+g′(x)≤0,得-sin x+1≤0,
即sin x≥1,但sin x∈[-1,1],
∴sin x=1,∴x=2kπ+,k∈Z.
12.已知抛物线y=x2,直线x-y-2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离.
解 根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线,对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短,设切点坐标为(x0,x),则y′|x=x0=2x0=1,
所以x0=,所以切点坐标为,
切点到直线x-y-2=0的距离
d==,
所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为.
三、探究与创新
13.设f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,试求f2 014(x).
解 f1(x)=(sin x)′=cos x,
f2(x)=(cos x)′=-sin x,
f3(x)=(-sin x)′=-cos x,
f4(x)=(-cos x)′=sin x,
f5(x)=(sin x)′=f1(x),
f6(x)=f2(x),…,
fn+4(x)=fn(x),可知周期为4,
∴f2 014(x)=f2(x)=-sin x.