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  • 2021-06-30 发布

高中数学选修2-2课时练习第二章 3

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‎§3 计算导数 ‎[学习目标]‎ ‎1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=,y=的导数.‎ ‎2.掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应用.‎ ‎[知识链接]‎ 如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系?‎ 答 导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法.导数公式是用定义求出导数的直接结果,但由于导数是用极限定义的,因此求导数总是归结到求极限,这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数.‎ ‎[预习导引]‎ ‎1.导函数的概念:‎ 一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)上每一点x处都有导数,导数值记为f′(x):‎ f′(x)= ,f′(x)是关于x的函数,称f′(x)为f(x)的导函数,通常也简称为导数.‎ ‎2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c f′(x)=0‎ f(x)=xα(α为实数)‎ f′(x)=αxα-1‎ f(x)=ax(a>0,a≠1)‎ f′(x)=axln_a f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=loga x(a>0,a≠1)‎ f′(x)= f(x)=ln x f′(x)= f(x)=sin x f′(x)=cos_x f(x)=cos x f′(x)=-sin_x f(x)=tan x f′(x)= f(x)=cot x f′(x)=- ‎                   ‎ 要点一 利用导数定义求函数导数 例1 用导数的定义求函数f(x)=2 013x2的导数.‎ 解 f′(x)= ‎= ‎= ‎= (4 026x+2 013Δx)‎ ‎=4 026x.‎ 规律方法 解答此类问题,应注意以下几条:‎ ‎(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤.‎ ‎(2)当Δx趋于0时,k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N+)等也趋于0.‎ ‎(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用.‎ 跟踪演练1 求f(x)=+x的导函数f′(x).‎ 解 ∵Δy=f(x+Δx)-f(x)‎ ‎=+(x+Δx)- ‎=-+Δx=+Δx ‎=+Δx,‎ ‎∴=-+1,∴当Δx→0时,→-+1,‎ 即f′(x)= = =-+1.‎ 要点二 用导数公式求导数 例2 求下列函数的导数:‎ ‎(1)y=sin ;(2)y=5x;(3)y=;(4)y=;‎ ‎(5)y=log3x.‎ 解 (1)y′=0;‎ ‎(2)y′=(5x)′=5xln 5;‎ ‎(3)y′=(x-3)′=-3x-4;‎ ‎(4)y′=′===;‎ ‎(5)y′=(log3x)′=.‎ 规律方法 对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式,要想在解题过程中应用自如,必须做到以下两点:一是正确理解,如sin =是常数,而常数的导数一定为零,就不会出现′=cos 这样的错误结果.二是准确记忆,灵活变形.如根式、分式可转化为指数式,利用公式2求导.‎ 跟踪演练2 求下列函数的导数:‎ ‎(1)y=x8;(2)y=x;(3)y=x;(4)y=‎ 解 (1)y′=8x7;‎ ‎(2)y′=xln =-xln 2;‎ ‎(3)∵y=x=,∴y′=;‎ ‎(4) y′==-.‎ 要点三 导数几何意义的应用 例3 已知曲线方程y=x2,求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程.‎ 解 设P(x0,y0)为切点,则切线斜率k=f′(x0)=2x0,‎ 故切线方程为 y-y0=2x0(x-x0),‎ ‎∵P(x0,y0)在曲线上,‎ ‎∴y0=x,‎ ‎∴切线方程为:‎ y-x=2x0(x-x0),‎ 又(3,5)在切线上,将(3,5)代入上式得:‎ ‎5-x=2x0(3-x0),‎ 解得:x0=1或x0=5,‎ ‎∴切点坐标为(1,1)或(5,25),‎ 故所求切线方程为 y-1=2×1×(x-1)或y-25=2×5×(x-5),‎ 即:2x-y-1=0或10x-y-25=0.‎ 规律方法 (1)在解答本题过程中易出现将(3,5)点作为切点而考虑不全面的错误,出现这种错误的原因是对曲线的切线理解不透彻.‎ ‎(2)求曲线切线方程的一般步骤:‎ 跟踪演练3 已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上的两点,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.‎ 解 ∵y′=(x2)′=2x,设切点为M(x0,y0),则y′|x=x0=2x0,‎ 又∵PQ的斜率为k==1,而切线平行于PQ,‎ ‎∴k=2x0=1,即x0=,‎ 所以切点为M.‎ ‎∴所求的切线方程为y-=x-,即4x-4y-1=0.‎ ‎1.给出下列结论中正确的个数为(  )‎ ‎①若y=,则y′=-;‎ ‎②若y=,则y′=;‎ ‎③若y=,则y′=-2x-3;‎ ‎④若f(x)=3x,则f′(1)=3.                   ‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ 答案 C 解析 ①y==x-3,则y′=-3x-4=-;‎ ‎②y==,则y′=·≠;‎ ‎③y==x-2,则y′=-2x-3;‎ ‎④由f(x)=3x,知f′(x)=3,‎ ‎∴f′(1)=3.∴①③④正确.‎ ‎2.函数f(x)=,则f′(3)等于(  )‎ A. B.‎0 C. D. 答案 A 解析 ∵f′(x)=()′=,∴f′(3)==.‎ ‎3.设正弦曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是(  )‎ A.∪ B.[0,π)‎ C. D.∪ 答案 A 解析 ∵(sin x)′=cos x,‎ ‎∵kl=cos x,∴-1≤kl≤1,‎ ‎∴αl∈∪.‎ ‎4.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.‎ 答案 e2‎ 解析 ∵y′=(ex)′=ex,∴k=e2,‎ ‎∴曲线在点(2,e2)处的切线方程为y-e2=e2(x-2),‎ 即y=e2x-e2.‎ 当x=0时,y=-e2,当y=0时,x=1.‎ ‎∴S△=×1×=e2.‎ ‎1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归.‎ ‎2.有些函数可先化简再应用公式求导.‎ 如求y=1-2sin2的导数.因为y=1-2sin2=cos x,‎ 所以y′=(cos x)′=-sin x.‎ ‎3.对于正、余弦函数的导数,一是注意函数的变化,二是注意符号的变化.‎ ‎                   ‎ 一、基础达标 ‎1.下列结论中正确的个数为(  )‎ ‎①y=ln 2,则y′=;②y=,则y′|x=3=-;‎ ‎③y=2x,则y′=2xln 2;④y=log2x,则y′=.‎ A.0 B.‎1 C.2 D.3‎ 答案 D 解析 ①y=ln 2为常数,所以y′=0.①错.②③④正确.‎ ‎2.过曲线y=上一点P的切线的斜率为-4,则点P的坐标为(  )‎ A. B.或 C. D. 答案 B 解析 y′=′=-=-4,x=±,故选B.‎ ‎3.已知f(x)=xa,若f′(-1)=-4,则a的值等于(  )‎ A.4 B.-‎4 C.5 D.-5‎ 答案 A 解析 f′(x)=axa-1,f′(-1)=a(-1)a-1=-4,a=4.‎ ‎4.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有(  )‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定 答案 B 解析 ∵f′(x)=3x2,设切点为(x0,y0),则3x=1,‎ 得x0=±,即在点和点处有斜率为1的切线.‎ ‎5.曲线y=在点M(3,3)处的切线方程是________.‎ 答案 x+y-6=0‎ 解析 ∵y′=-,∴y′|x=3=-1,‎ ‎∴过点(3,3)的斜率为-1的切线方程为:‎ y-3=-(x-3)即x+y-6=0.‎ ‎6.若曲线y=在点 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a=________.‎ 答案 64‎ 解析 ∵y=,∴y′=-,‎ ‎∴曲线在点处的切线斜率k=-,‎ ‎∴切线方程为y-=- (x-a).‎ 令x=0得y=;令y=0得x=‎3a.‎ ‎∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S=·‎3a· =18,∴a=64.‎ ‎7.求下列函数的导数:‎ ‎(1) y=;(2)y=;(3)y=-2sin ;‎ ‎(4)y=log2x2-log2x.‎ 解 (1)y′=′=′===.‎ ‎(2)y′=′=(x-4)′=-4x-4-1=-4x-5=-.‎ ‎(3)∵y=-2sin ‎=2sin =2sin cos =sin x,‎ ‎∴y′=(sin x)′=cos x.‎ ‎(4)∵y=log2x2-log2x=log2x,‎ ‎∴y′=(log2x)′=.‎ 二、能力提升 ‎8.已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为(  )‎ A. B.- C.-e D.e 答案 D 解析 y′=ex,设切点为(x0,y0),则 ‎∴ex0=ex0·x0,∴x0=1,∴k=e.‎ ‎9.曲线y=ln x在x=a处的切线倾斜角为,则a=________.‎ 答案 1‎ 解析 y′=,∴y′|x=a==1,∴a=1.‎ ‎10.点P是曲线y=ex上任意一点,则点P到直线y=x的最小距离为________.‎ 答案  解析 ‎ 根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点,如图.则在点(x0,y0)处的切线斜率为1,即y′|x=x0=1.‎ ‎∵y′=(ex)′=ex,‎ ‎∴ex0=1,得x0=0,代入y=ex,得y0=1,即P(0,1).利用点到直线的距离公式得距离为.‎ ‎11.已知f(x)=cos x,g(x)=x,求适合f′(x)+g′(x)≤0的x的值.‎ 解 ∵f(x)=cos x,g(x)=x,‎ ‎∴f′(x)=(cos x)′=-sin x,g′(x)=x′=1,‎ 由f′(x)+g′(x)≤0,得-sin x+1≤0,‎ 即sin x≥1,但sin x∈[-1,1],‎ ‎∴sin x=1,∴x=2kπ+,k∈Z.‎ ‎12.已知抛物线y=x2,直线x-y-2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离.‎ 解 根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线,对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短,设切点坐标为(x0,x),则y′|x=x0=2x0=1,‎ 所以x0=,所以切点坐标为,‎ 切点到直线x-y-2=0的距离 d==,‎ 所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为.‎ 三、探究与创新 ‎13.设f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,试求f2 014(x).‎ 解 f1(x)=(sin x)′=cos x,‎ f2(x)=(cos x)′=-sin x,‎ f3(x)=(-sin x)′=-cos x,‎ f4(x)=(-cos x)′=sin x,‎ f5(x)=(sin x)′=f1(x),‎ f6(x)=f2(x),…,‎ fn+4(x)=fn(x),可知周期为4,‎ ‎∴f2 014(x)=f2(x)=-sin x.‎

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