江西省宜春市上高县第二中学2020届高三上学期11月月考数学（文）试题 20页

‎2020届高三年级第三次月考数学（文科）试题 一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．‎ ‎【详解】A＝{x|log2（x+1）＜2}＝{x|0＜x+1＜4}＝{x|﹣1＜x＜3}，‎ 则∁RA＝{x|x≥3或x≤﹣1}，‎ B＝{y|y}＝{y|0≤y＜4}，‎ 则（∁RA）∩B＝{x|3≤x＜4}＝[3，4），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎2.在△ABC中，， M是AB的中点，N是CM的中点，则( ) ‎ A. , B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的加减法的三角形法则与平行四边形法则将表达出来即可.‎ ‎【详解】,即 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则,主要是用三角形法则与平行四边法则.‎ ‎3.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和关系，求解出扇形的圆心角.‎ ‎【详解】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，‎ 设与所在扇形圆心角分别为，‎ 则，又，解得 ‎【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：，其中是扇形圆心角的弧度数，是扇形的弧长.‎ ‎4.下列四个结论：‎ ‎①命题“”的否定是“”；‎ ‎②若是真命题，则可能是真命题；‎ ‎③“且”是“”的充要条件；‎ ‎④当时，幂函数在区间上单调递减.‎ 其中正确的是（ ）‎ A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对①②③根据全称特称命题否定,真值表与充要条件的方法判断.④根据幂函数的性质判断即可.‎ ‎【详解】对①,命题“”的否定是“”,故①正确.‎ 对②,是真命题则均为真命题,故为假命题,故②错误.‎ 对③,当时满足但不满足且,故③错误.‎ 对④,当时,幂函数在区间上单调递减正确,故④正确.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查命题真假的判断与充分必要条件的性质等,属于基础题型.‎ ‎5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性与函数的正负判断即可.‎ ‎【详解】因为,故为偶函数,排除,D.‎ 又,故恒成立,排除A.‎ 当时取得最大值,‎ 即函数在处有最大值,排除C.‎ 故选：B ‎【点睛】判断函数图像一般用奇偶性与正负排除选项,同时注意函数的取值范围,‎ 属于基本题型.‎ ‎6.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用和差角公式展开,求得后再算即可.‎ ‎【详解】由有,‎ 故,合并同类型有,‎ 显然,所以,故 故选：A ‎【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换,包括和差角公式与二倍角公式等,属于中等题型.‎ ‎7.已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是.（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数的性质，求出x＞0时，函数的解析式，求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程 ‎【详解】设x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）＝lnx+x，‎ ‎∵函数f（x）是奇函数，‎ ‎∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣lnx-x，‎ ‎∴f′（x）1，‎ x＝1，f′（1）＝2，f（1）＝1，‎ ‎∴曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的性质，考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于中档题．‎ ‎8.，，且，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项.‎ ‎【详解】构造形式，则，时导函数，单调递增；时导函数，单调递减．又 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.‎ ‎9.函数的单调递减区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：首先利用差角公式将解析式化简，应用复合函数单调性法则，结合对数式的底数是，从而得到应该求的增区间，并且首先满足真数大于零的条件，从而得到，化简，最后求得其结果为，从而确定选项.‎ 详解：根据题意有，所以要求，结合复合函数单调性法则，实则求的增区间，所以有，解得，所以函数的单调减区间是，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关复合函数的单调区间的问题，在解题的过程中，需要首先化简函数解析式，之后根据复合函数单调性法则同增异减的原则，得到其结果，在解题的过程中，需要时刻注意定义域优先原则，得保证函数有意义，之后列出相应的式子，求得结果.‎ ‎10.如图是函数在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将的图象上的所有的点（ ）‎ A. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变 B. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变 C. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变 D. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【详解】根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈R）在区间[，]上的图象，‎ 可得A＝1，，∴ω＝2．‎ 再根据五点法作图，2•（）+φ＝0，求得φ，故函数f（x）＝sin（2x）．‎ 故把的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin（x+）的图象；‎ 再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得f（x）＝sin（2x）的图象，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，还考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．‎ ‎11.设函数，若互不相等的实数满足，‎ 则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出的图像,再表达出分析最值即可.‎ ‎【详解】由题意作图,由有,故.当 时,.所以,又. 所以当时取最大值,当时取最小值2.‎ 所以 故选：C ‎【点睛】本题主要考查函数的零点问题,主要通过画图求得自变量之间的关系.注意在求函数值的取值范围时先求解自变量的取值范围.‎ ‎12.已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由已知是定义在R上的奇函数，所以，又，所以的周期是2，且得是其中一条对称轴，又当时，，，于是图象如图所示，‎ 又函数零点即为图象与的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于对称，所以，所以零点之和为.‎ 故选A．‎ 点睛：本题主要考查函数零点问题，根据条件判断函数的周期性，对称性，以及利用方程和函数之间的关系进行转化是解决本题的关键． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数，若正实数满足，则的最小值为______________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由知为奇函数,求导分析为增函数,故利用 可以算得的关系,再利用基本不等式的方法求的最小值即可.‎ ‎【详解】,故为奇函数,又,所以为增函数.又,‎ 故,所以 ‎,当且仅当时取得最小值1.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的运用以及基本不等式的用法,属于中等题型.‎ ‎14.已知是以点为起点且与平行的单位向量，则向量的终点坐标为 _________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线的充要条件求解即可．‎ ‎【详解】（﹣3，4），5，‎ 由向量的平移可知与（﹣3，4）平行的单位向量为：±（﹣3，4），‎ 设的终点坐标是（x，y），可得（x﹣3，y+1）＝±（﹣3，4），‎ 则的终点坐标是：（，）或（，）‎ 故答案为：或 ‎【点睛】本题考查向量的基本知识的应用，考查向量共线的坐标运算及模长公式,考查计算能力．‎ ‎15.已知且则=_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察到,故算出进而求得 ‎,再根据二倍角公式求得即可.‎ ‎【详解】因为,所以,,‎ 故,故,故 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换,注意观察角度的关系,同时题目给了角度的范围需要用来判断所求三角函数值的正负.‎ ‎16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如： ，，已知函数，则函数的值域是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎.‎ 表示不超过最大整数，所以.‎ 故答案为：.‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17.已知函数， ‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据绝对值内的零点去掉绝对值，将函数写成分段形式，分段解不等式即可；（2）根据题意将问题转化为2≤f（x）min，由绝对值三角不等式得到函数最值，求得参数范围即可。‎ 解析：‎ ‎（1）当a=3时，f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，‎ 即有f（x）=‎ 不等式f（x）≤4即为 或 或.‎ 即有0≤x＜1或3≤x≤4或1≤x＜3，则0≤x≤4，‎ 则解集为[0，4]；‎ ‎（2）依题意知，f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立，‎ ‎∴2≤f（x）min；‎ 由绝对值三角不等式得：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|（x﹣a）+（1﹣x）|=|1﹣a|，‎ 即f（x）min=|1﹣a|，‎ ‎∴|1﹣a|≥2，即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2，‎ 解得a≥3或a≤﹣1．‎ ‎∴实数a的取值范围是[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．‎ ‎18.已知函数（其中）的最小正周期为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将函数图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求函数在上零点.‎ ‎【答案】（1）（2）和.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)首先利用两角差的正弦函数与倍角公式化简函数的解析式，然后根据周期求得的值；(Ⅱ)首先根据三角函数图象的平移伸缩变换法则求得的解析式，然后利用正弦函数的图象与性质求得函数的零点.‎ 试题解析：(Ⅰ)‎ ‎.‎ 由最小正周期，得.6分 ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，将函数的图象向左平移个单位，‎ 得到图象的解析式，‎ 将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到.‎ 由，得，‎ 故当时，函数的零点为和.12分 考点：1、两角差的正弦函数；2、倍角公式；3、三角函数图象的平移伸缩变换；4、正弦函数的图象与性质.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面平面,,,,,点、分别为、的中点.‎ ‎﹙1﹚求证:平面平面；‎ ‎﹙2﹚求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；﹙2﹚.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明平面，平面，再利用面面平行的判定定理，即可证明；‎ ‎（2）利用等体积法，可得，利用，即可求得 ‎【详解】﹙1﹚由题意知: 点是的中点,且,‎ 所以 ,所以四边形是平行四边形,则. ‎ 平面,平面,所以平面. ‎ 又因为、分别为、的中点,所以.‎ 平面,平面,‎ 所以, 平面. ‎ ‎,所以平面平面. ‎ ‎（2）解法一：利用 因为平面平面,‎ 平面平面，平面ABCD,,所以，平面.‎ 所以，的长即是点到平面的距离.‎ 在中，,‎ 所以，, ‎ 所以. ‎ 解法二：利用.‎ ‎. ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查面面平行的证明和等体积法的应用，难点在于利用进行求解体积，属于中档题 ‎20. 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．‎ ‎（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；‎ ‎（下面摘取了第7行到第9行）‎ ‎84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76‎ ‎63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79‎ ‎33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54‎ ‎（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：‎ 成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42．‎ 人数 ‎ 数学 ‎ 优秀 ‎ 良好 ‎ 及格 ‎ ‎ 地理 ‎ 优秀 ‎ ‎7 ‎ ‎20 ‎ ‎5 ‎ 良好 ‎ ‎9 ‎ ‎18 ‎ ‎6 ‎ 及格 ‎ a ‎ ‎4 ‎ b ‎ ‎①若在该样本中，数学成绩优秀率是30％，求a,b的值：‎ ‎②在地理成绩及格的学生中，已知求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．‎ ‎【答案】（1），，；（2）①；②．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）从第8行第7列的数开始向右读，最先检查的编号为：785，916，955，667，199，…去除大于800的编号，可得最先检查的3个人的编号；（2）①根据数学成绩优秀率是，构造关于的方程，解方程可得值，进而根据抽取样本容量为100，可得值；②求出满足，的基本事件总数及满足数学成绩优秀的人数比及格的人数少的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案.‎ 试题解析：（1）785，667，199.‎ ‎（2）①，∴；.‎ ‎②.‎ 因为，，所以的搭配：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，共有14种.‎ 设，时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件，.‎ 事件包括：，，共2个基本事件；‎ ‎，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为.‎ ‎21.在中，分别是角的对边.‎ ‎（1）求角的值； ‎ ‎（2）若，且为锐角三角形，求的范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题结合余弦定理得角的值；（2）由正弦定理可知，，得，利用三角恒等变换得A的函数即可求范围 ‎【详解】（1）由题意知，∴，‎ 由余弦定理可知，，‎ 又∵，∴.‎ ‎（2）由正弦定理可知，，‎ 即，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 又∵为锐角三角形，∴，则即，‎ 所以， 即，‎ 综上的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，注意锐角三角形的应用，准确计算是关键，是中档题 ‎22.已知函数，，m是实数.‎ ‎（1）若在区间(2,+∞)为增函数，求m的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的条件下,函数有三个零点，求m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得在区间恒成立，即恒成立,由,得.‎ ‎（2）先求出，讨论和时的情况，进而求出的范围.‎ ‎【详解】(1)，因为在区间为增函数,‎ 所以在区间恒成立,‎ 所以,即恒成立,由,得.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎(2)，‎ 所以,令,解得或,‎ 时, ,在上是增函数,不合题意,‎ 时,令,解得或,令,解得,‎ 所以在递增,在递减,‎ 所以极大值为,极小值为,‎ 要使有3个零点,需，解得.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数与导数综合应用：（1）导数与函数的单调性关系:求函数的单调增（减区间）,则；已知函数在某个区间上是单调增函数（减函数），则.（2）利用导数求极值，通过函数零点情况确定函数极值的取值进而得到参数的取值范围.‎ ‎ ‎