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- 2021-06-30 发布
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[基础题组练]
1.(2020·江西宜春一模)在等比数列{an}中,a1a3=a4=4,则a6的所有可能值构成的集合是( )
A.{6} B.{-8,8}
C.{-8} D.{8}
解析:选D.因为a1a3=a=4,a4=4,所以a2=2,所以q2==2,所以a6=a2q4=2×4=8,故a6的所有可能值构成的集合是{8},故选D.
2.在等比数列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=( )
A.135 B.100
C.95 D.80
解析:选A.由等比数列前n项和的性质知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8成等比数列,其首项为40,公比为=,所以a7+a8=40×=135.
3.(2020·山西3月高考考前适应性测试)正项等比数列{an}中,a1a5+2a3a7+a5a9=16,且a5与a9的等差中项为4,则{an}的公比是( )
A.1 B.2
C. D.
解析:选D.设公比为q,由正项等比数列{an}中,a1a5+2a3a7+a5a9=16,可得a+2a3a7+a=(a3+a7)2=16,即a3+a7=4,由a5与a9的等差中项为4,得a5+a9=8,则q2(a3+a7)=4q2=8,则q=(舍负),故选D.
4.(2020·湘赣十四校第二次联考)中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问最后一天走了( )
A.6里 B.12里
C.24里 D.96里
解析:选A.由题意可得,每天行走的路程构成等比数列,记作数列{an},设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则q=,依题意有=378,解得a1=192,则a6=192×()5=6,最后一天走了6里,故选A.
5.一个等比数列的前三项的积为3,最后三项的积为9,且所有项的积为729,
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则该数列的项数是( )
A.13 B.12 C.11 D.10
解析:选B.设该等比数列为{an},其前n项积为Tn,则由已知得a1·a2·a3=3,an-2·an-1·an=9,(a1·an)3=3×9=33,所以a1·an=3,又Tn=a1·a2·…·an-1·an=an·an-1·…·a2·a1,所以T=(a1·an)n,即7292=3n,所以n=12.
6.(2020·黄冈模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1a6=2a3,a4与2a6的等差中项为,则S5=________.
解析:设{an}的公比为q(q>0),因为a1a6=2a3,而a1a6=a3a4,所以a3a4=2a3,所以a4=2.
又a4+2a6=3,所以a6=,所以q=,a1=16,所以S5==31.
答案:31
7.(一题多解)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=________.
解析:法一:设数列{an}的公比为q,则由题意得所以或所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.
法二:由
解得或
所以或所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.
答案:-7
8.(2020·安徽安庆模拟)数列{an}满足:an+1=λan-1(n∈N+,λ∈R且λ≠0),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值为________.
解析:由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=λ.由于数列{an-1}是等比数列,所以=1,得λ=2.
答案:2
9.已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
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(2)若S5=,求λ.
解:(1)证明:由题意得a1=S1=1+λa1,
故λ≠1,a1=,故a1≠0.
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,
即an+1(λ-1)=λan.
由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.
因此{an}是首项为,公比为的等比数列,
于是an=.
(2)由(1)得Sn=1-.由S5=得1-=,即=.解得λ=-1.
10.(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
解:(1)证明:由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn).
又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为的等比数列.
由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.
又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1.
所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-,
bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+.
[综合题组练]
1.已知等比数列{an}中a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是( )
A.(-∞,-1]
B.(-∞,0)∪[1,+∞)
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
解析:选D.设等比数列{an}的公比为q,
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则S3=a1+a2+a3=a2(+1+q)=1+q+.
当公比q>0时,S3=1+q+≥1+2=3,当且仅当q=1时,等号成立;
当公比q<0时,S3=1-(-q-)≤1-2=-1,当且仅当q=-1时,等号成立.
所以S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞).
2.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则q等于( )
A.- B.
C.- D.
解析:选C.{bn}有连续四项在{-53,-23,19,37,82}中且bn=an+1.an=bn-1,则{an}有连续四项在{-54,-24,18,36,81}中.
因为{an}是等比数列,等比数列中有负数项,则q<0,且负数项为相隔两项,所以等比数列各项的绝对值递增或递减.
按绝对值的顺序排列上述数值18,-24,36,-54,81,
相邻两项相除=-,=-,-=-,=-,则可得-24,36,-54,81是{an}中连续的四项.
q=-或q=-(因为|q|>1,所以此种情况应舍),
所以q=-.故选C.
3.在递增的等比数列{an}中,已知a1+an=34,a3·an-2=64,且前n项和Sn=42,则n=________.
解析:因为{an}为等比数列,
所以a3·an-2=a1·an=64.
又a1+an=34,
所以a1,an是方程x2-34x+64=0的两根,
解得或
又因为{an}是递增数列,
所以
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由Sn===42,解得q=4.
由an=a1qn-1=2×4n-1=32,
解得n=3.
答案:3
4.已知数列{an}满足a1=2且对任意的m,n∈N+,都有=an,则数列{an}的前n项和Sn=________.
解析:因为=an,
令m=1,则=an,即=a1=2,
所以{an}是首项a1=2,公比q=2的等比数列,
Sn==2n+1-2.
答案:2n+1-2
5.(2020·湖北武汉4月毕业班调研)已知正项等比数列{an}的前n项和Sn满足S2+4S4=S6,a1=1.
(1)求数列{an}的公比q;
(2)令bn=an-15,求T=|b1|+|b2|+…+|b10|的值.
解:(1)由题意可得q≠1,
由S2+4S4=S6,
可知+4·=,
所以(1-q2)+4(1-q4)=1-q6,而q≠1,q>0,
所以1+4(1+q2)=1+q2+q4,即q4-3q2-4=0,
所以(q2-4)(q2+1)=0,所以q=2.
(2)由(1)知an=2n-1,则{an}的前n项和Sn==2n-1,当n≥5时,bn=2n-1-15>0,n≤4时,bn=2n-1-15<0,
所以T=-(b1+b2+b3+b4)+(b5+b6+…+b10)
=-(a1+a2+a3+a4-15×4)+(a5+a6+…+a10-15×6)
=-S4+S10-S4+60-90
=S10-2S4-30=(210-1)-2(24-1)-30
=210-25-29=1 024-32-29=963.
6.已知数列{an}中,a1=1,an·an+1=,记T2n为{an}的前2n项的和,bn=a2n+a
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2n-1,n∈N+.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并求出bn;
(2)求T2n.
解:(1)因为an·an+1=,
所以an+1·an+2=,
所以=,
即an+2=an.
因为bn=a2n+a2n-1,
所以===,
因为a1=1,a1·a2=,
所以a2=,所以b1=a1+a2=.
所以{bn}是首项为,公比为的等比数列.
所以bn=×=.
(2)由(1)可知,an+2=an,
所以a1,a3,a5,…是以a1=1为首项,以为公比的等比数列;a2,a4,a6,…是以a2=为首项,以为公比的等比数列,
所以T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
=+=3-.
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