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  • 2021-06-30 发布

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破:第六章 第3讲 等比数列及其前n项和

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‎ [基础题组练]‎ ‎1.(2020·江西宜春一模)在等比数列{an}中,a1a3=a4=4,则a6的所有可能值构成的集合是(  )‎ A.{6}   B.{-8,8}   ‎ C.{-8}   D.{8}‎ 解析:选D.因为a1a3=a=4,a4=4,所以a2=2,所以q2==2,所以a6=a2q4=2×4=8,故a6的所有可能值构成的集合是{8},故选D.‎ ‎2.在等比数列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=(  )‎ A.135 B.100 ‎ C.95 D.80‎ 解析:选A.由等比数列前n项和的性质知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8成等比数列,其首项为40,公比为=,所以a7+a8=40×=135.‎ ‎3.(2020·山西3月高考考前适应性测试)正项等比数列{an}中,a1a5+2a3a7+a5a9=16,且a5与a9的等差中项为4,则{an}的公比是(  )‎ A.1 B.2 ‎ C. D. 解析:选D.设公比为q,由正项等比数列{an}中,a1a5+2a3a7+a5a9=16,可得a+2a3a7+a=(a3+a7)2=16,即a3+a7=4,由a5与a9的等差中项为4,得a5+a9=8,则q2(a3+a7)=4q2=8,则q=(舍负),故选D.‎ ‎4.(2020·湘赣十四校第二次联考)中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问最后一天走了(  )‎ A.6里 B.12里 ‎ C.24里 D.96里 解析:选A.由题意可得,每天行走的路程构成等比数列,记作数列{an},设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则q=,依题意有=378,解得a1=192,则a6=192×()5=6,最后一天走了6里,故选A.‎ ‎5.一个等比数列的前三项的积为3,最后三项的积为9,且所有项的积为729,‎ 高考资源网版权所有,侵权必究!‎ 则该数列的项数是(  )‎ A.13 B.12 C.11 D.10‎ 解析:选B.设该等比数列为{an},其前n项积为Tn,则由已知得a1·a2·a3=3,an-2·an-1·an=9,(a1·an)3=3×9=33,所以a1·an=3,又Tn=a1·a2·…·an-1·an=an·an-1·…·a2·a1,所以T=(a1·an)n,即7292=3n,所以n=12.‎ ‎6.(2020·黄冈模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1a6=2a3,a4与2a6的等差中项为,则S5=________.‎ 解析:设{an}的公比为q(q>0),因为a1a6=2a3,而a1a6=a3a4,所以a3a4=2a3,所以a4=2.‎ 又a4+2a6=3,所以a6=,所以q=,a1=16,所以S5==31.‎ 答案:31‎ ‎7.(一题多解)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=________.‎ 解析:法一:设数列{an}的公比为q,则由题意得所以或所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.‎ 法二:由 解得或 所以或所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.‎ 答案:-7‎ ‎8.(2020·安徽安庆模拟)数列{an}满足:an+1=λan-1(n∈N+,λ∈R且λ≠0),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值为________.‎ 解析:由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=λ.由于数列{an-1}是等比数列,所以=1,得λ=2.‎ 答案:2‎ ‎9.已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;‎ 高考资源网版权所有,侵权必究!‎ ‎(2)若S5=,求λ.‎ 解:(1)证明:由题意得a1=S1=1+λa1,‎ 故λ≠1,a1=,故a1≠0.‎ 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,‎ 即an+1(λ-1)=λan.‎ 由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.‎ 因此{an}是首项为,公比为的等比数列,‎ 于是an=.‎ ‎(2)由(1)得Sn=1-.由S5=得1-=,即=.解得λ=-1.‎ ‎10.(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.‎ ‎(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;‎ ‎(2)求{an}和{bn}的通项公式.‎ 解:(1)证明:由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn).‎ 又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为的等比数列.‎ 由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.‎ 又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1.‎ 所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-,‎ bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.已知等比数列{an}中a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-1]‎ B.(-∞,0)∪[1,+∞)‎ C.[3,+∞)‎ D.(-∞,-1]∪[3,+∞)‎ 解析:选D.设等比数列{an}的公比为q,‎ 高考资源网版权所有,侵权必究!‎ 则S3=a1+a2+a3=a2(+1+q)=1+q+.‎ 当公比q>0时,S3=1+q+≥1+2=3,当且仅当q=1时,等号成立;‎ 当公比q<0时,S3=1-(-q-)≤1-2=-1,当且仅当q=-1时,等号成立.‎ 所以S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞).‎ ‎2.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则q等于(  )‎ A.- B. ‎ C.- D. 解析:选C.{bn}有连续四项在{-53,-23,19,37,82}中且bn=an+1.an=bn-1,则{an}有连续四项在{-54,-24,18,36,81}中.‎ 因为{an}是等比数列,等比数列中有负数项,则q<0,且负数项为相隔两项,所以等比数列各项的绝对值递增或递减.‎ 按绝对值的顺序排列上述数值18,-24,36,-54,81,‎ 相邻两项相除=-,=-,-=-,=-,则可得-24,36,-54,81是{an}中连续的四项.‎ q=-或q=-(因为|q|>1,所以此种情况应舍),‎ 所以q=-.故选C.‎ ‎3.在递增的等比数列{an}中,已知a1+an=34,a3·an-2=64,且前n项和Sn=42,则n=________.‎ 解析:因为{an}为等比数列,‎ 所以a3·an-2=a1·an=64.‎ 又a1+an=34,‎ 所以a1,an是方程x2-34x+64=0的两根,‎ 解得或 又因为{an}是递增数列,‎ 所以 高考资源网版权所有,侵权必究!‎ 由Sn===42,解得q=4.‎ 由an=a1qn-1=2×4n-1=32,‎ 解得n=3.‎ 答案:3‎ ‎4.已知数列{an}满足a1=2且对任意的m,n∈N+,都有=an,则数列{an}的前n项和Sn=________.‎ 解析:因为=an,‎ 令m=1,则=an,即=a1=2,‎ 所以{an}是首项a1=2,公比q=2的等比数列,‎ Sn==2n+1-2.‎ 答案:2n+1-2‎ ‎5.(2020·湖北武汉4月毕业班调研)已知正项等比数列{an}的前n项和Sn满足S2+4S4=S6,a1=1.‎ ‎(1)求数列{an}的公比q;‎ ‎(2)令bn=an-15,求T=|b1|+|b2|+…+|b10|的值.‎ 解:(1)由题意可得q≠1,‎ 由S2+4S4=S6,‎ 可知+4·=,‎ 所以(1-q2)+4(1-q4)=1-q6,而q≠1,q>0,‎ 所以1+4(1+q2)=1+q2+q4,即q4-3q2-4=0,‎ 所以(q2-4)(q2+1)=0,所以q=2.‎ ‎(2)由(1)知an=2n-1,则{an}的前n项和Sn==2n-1,当n≥5时,bn=2n-1-15>0,n≤4时,bn=2n-1-15<0,‎ 所以T=-(b1+b2+b3+b4)+(b5+b6+…+b10)‎ ‎=-(a1+a2+a3+a4-15×4)+(a5+a6+…+a10-15×6)‎ ‎=-S4+S10-S4+60-90‎ ‎=S10-2S4-30=(210-1)-2(24-1)-30‎ ‎=210-25-29=1 024-32-29=963.‎ ‎6.已知数列{an}中,a1=1,an·an+1=,记T2n为{an}的前2n项的和,bn=a2n+a 高考资源网版权所有,侵权必究!‎ ‎2n-1,n∈N+.‎ ‎(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并求出bn;‎ ‎(2)求T2n.‎ 解:(1)因为an·an+1=,‎ 所以an+1·an+2=,‎ 所以=,‎ 即an+2=an.‎ 因为bn=a2n+a2n-1,‎ 所以===,‎ 因为a1=1,a1·a2=,‎ 所以a2=,所以b1=a1+a2=.‎ 所以{bn}是首项为,公比为的等比数列.‎ 所以bn=×=.‎ ‎(2)由(1)可知,an+2=an,‎ 所以a1,a3,a5,…是以a1=1为首项,以为公比的等比数列;a2,a4,a6,…是以a2=为首项,以为公比的等比数列,‎ 所以T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)‎ ‎=+=3-.‎ 高考资源网版权所有,侵权必究!‎

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