2018届二轮复习复数学案（理）（全国通用） 15页

专题42 复数 ‎2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍 ‎1.理解复数的基本概念 ‎2.理解复数相等的充要条件 ‎3.了解复数的代数表示法及其几何意义 ‎4.会进行复数代数形式的四则运算 ‎5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义 热点题型一 复数的有关概念 例1、【2017山东，理2】已知,i是虚数单位，若，则a=‎ ‎（A）1或-1 （B） （C）- （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，所以，故选A.‎ ‎【变式探究】 (1)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)‎ A．2＋i　　　　　　B．2－i C．5＋i D．5－i ‎(2)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)‎ A．－3 B．－1‎ C．1 D．3‎ 解析：(1)由(z－3)(2－i)＝5，‎ 得z＝＋3＝＋3＝＋3＝5＋i，‎ ‎∴＝5－i.故选D。‎ ‎(2)复数a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，‎ ‎∴a－3＝0，∴a＝3。故选D。学+科网 答案：（1）D （2）D ‎【提分秘籍】‎ 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝‎0”‎是“复数a＋为纯虚数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：ab＝0⇒a＝0或b＝0，这时a＋＝a－bi不一定为纯虚数，但如果a＋＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0，由此知选B。‎ 答案：B 热点题型二 复数的几何意义 例2、(1)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎(2)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)‎ A．25 B. C．5 D. ‎【提分秘籍】 ‎ ‎(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔。‎ ‎(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观。‎ 提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2‎ 的两点之间的距离。‎ ‎【举一反三】 ‎ 如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)‎ A．A B．B C．C D．D 解析：设z＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则z的共轭复数＝－a－bi，它的对应点为(－a，－b)，是第三象限的点，故选B。‎ 答案：B 热点题型三 复数的运算 例3．【2017课标1，理3】设有下面四个命题 ‎：若复数满足，则；：若复数满足，则；‎ ‎：若复数满足，则；：若复数，则.‎ 其中的真命题为 A. B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，则由得，所以，故正确；‎ 当时，因为，而知，故不正确；‎ 当时，满足，但，故不正确；‎ 对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.‎ ‎【变式探究】(1)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝__________。‎ ‎(2)＝__________。‎ ‎(3)已知复数z满足＝2－i，则z＝__________。‎ ‎【提分秘籍】‎ 利用复数的四则运算求复数的一般思路 ‎(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则，利用此法则后将实部与虚部分别写出即可。‎ ‎(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简。‎ ‎(3)利用复数的相关概念解题时，通常是设出复数或利用已知联立方程求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设z＝1＋i，则＋z2等于(　　)‎ A．1＋i B．－1＋i C．－i D．1－i 解析：＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i＝＋2i＝1－i＋2i＝1＋i。‎ 答案：A ‎ ‎ ‎1.【2017课标1，理3】设有下面四个命题 ‎：若复数满足，则；：若复数满足，则；‎ ‎：若复数满足，则；：若复数，则.‎ 其中的真命题为 A. B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，则由得，所以，故正确；‎ 当时，因为，而知，故不正确；‎ 当时，满足，但，故不正确；‎ 对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.‎ ‎【考点】复数的运算与性质 ‎2.【2017课标II，理1】（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由复数除法的运算法则有：，故选D。‎ ‎【考点】复数的除法 ‎3.【2017山东，理2】已知,i是虚数单位，若，则a=‎ ‎（A）1或-1 （B） （C）- （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，所以，故选A.‎ ‎4.【2017课标3，理2】设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得： ，由复数求模的法则： 可得： .‎ ‎5.【2017北京，理2】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 ‎（A）（–∞，1） （B）（–∞，–1）‎ ‎（C）（1，+∞） （D）（–1，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得： ，故选B.学！科网 ‎【考点】复数的运算 ‎1.【2016新课标理】设其中,实数,则( )‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为所以故选B.‎ ‎2.【2016高考新课标3理数】若，则（ ）‎ ‎(A)1 (B) -1 (C) (D) ‎ ‎【答案】C[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【解析】，故选C．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎3.【2016高考新课标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得，故选A.‎ ‎4.【2016年高考北京理数】设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_______________.‎ ‎【答案】－1‎ ‎【解析】，故填：－1‎ ‎5.【2016高考山东理数】若复数z满足 其中i为虚数单位，则z=（ ）‎ ‎（A）1+2i （B）12i （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，则，故，则，选B.‎ ‎6.【2016高考天津理数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由，可得，所以，，故答案为2．‎ ‎7.【2016高考江苏卷】复数其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________. ‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】，故z的实部是5‎ ‎1.【2015高考新课标2，理2】若为实数且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知得，所以，解得，故选B．‎ 2. ‎【2015高考四川，理2】设i是虚数单位，则复数( )‎ ‎（A）-i （B）-3i （C）i. （D）3i ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，选C.‎ ‎3.【2015高考广东，理2】若复数 ( 是虚数单位 )，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】因为，所以，故选．‎ ‎4.【2015高考新课标1，理1】设复数z满足=，则|z|=( )‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，==，故|z|=1，故选A.‎ ‎5.【2015高考北京，理1】复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据复数乘法运算计算得：，故选A.‎ ‎6.【2015高考湖北，理1】 为虚数单位，的共轭复数为（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】A[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【解析】,所以的共轭复数为，选A . ‎ ‎7.【2015高考山东，理2】若复数满足，其中为虚数为单位，则=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以， ，所以， 故选：A.‎ ‎8.【2015高考安徽，理1】设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ ‎（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】由题意，其对应的点坐标为 ‎，位于第二象限，故选B.‎ ‎9.【2015高考重庆，理11】设复数a+bi（a，bR）的模为，则（a+bi）（a-bi）=________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由得，即，所以.‎ ‎10.【2015高考天津，理9】是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是纯虚数，所以，即.‎ ‎11.【2015江苏高考，3】设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎12.【2015高考湖南，理1】已知（为虚数单位），则复数=（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】由题意得，，故选D.‎ ‎13.【2015高考上海，理2】若复数满足，其中为虚数单位，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则 ‎【2015高考上海，理15】设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【答案】B ‎（2014·浙江卷）已知i是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝‎1”‎是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A　‎ ‎【解析】由a，b∈R，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i, 得所以或故选A.‎ ‎（2014·全国卷）设z＝，则z的共轭复数为(　　)‎ A．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i ‎【答案】D　‎ ‎【解析】z＝＝＝＝1＋3i，根据共轭复数的定义，其共轭复数是1－3i.‎ ‎（2014·北京卷）复数＝________．‎ ‎【答案】－1　‎ ‎【解析】＝＝＝－1.‎ ‎（2014·福建卷）复数z＝(3－2i)i的共轭复数z等于(　　)‎ A．－2－3i B．－2＋3i ‎ C．2－3i D．2＋3i ‎【答案】C　‎ ‎【解析】由复数z＝(3－2i)i＝2＋3i，得复数z的共轭复数z＝2－3i.‎ ‎（2014·广东卷）已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝(　　)‎ A．－3＋4i B．－3－4i ‎ C．3＋4i D．3－4i ‎【答案】D　‎ ‎【解析】本题考查复数的除法运算，利用分母的共轭复数进行求解．‎ 因为(3＋4i)z＝25，‎ 所以z＝＝＝3－4i.‎ ‎（2014·湖北卷）i为虚数单位，＝(　　)‎ A．－1 B．‎1 C．－i D．i ‎【答案】A　‎ ‎【解析】＝＝－1.故选A.‎ ‎（2014·湖南卷）满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　)‎ A.＋i B.－i C．－＋i D．－－i ‎【答案】B　‎ ‎【解析】因为＝i，则z＋i＝zi，所以z＝＝＝.‎ ‎10．（2014·江西卷）是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(　　)‎ A．1＋i B．－1－i ‎ C．－1＋i D．1－i ‎【答案】D　‎ ‎【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以‎2a＝2，－2b＝2，得a＝1，b＝－1，故z＝1－i.‎ ‎11．（2014·辽宁卷）设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝(　　)‎ A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i ‎【答案】A　‎ ‎【解析】由(z－2i)(2－i)＝5，得z－2i＝，故z＝2＋3i.‎ ‎12．（2014·新课标全国卷Ⅰ] ＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i ‎【答案】D　‎ ‎【解析】＝＝＝－1－i.[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎13．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　)‎ A．－5 B．‎5 C．－4＋i D．－4－i ‎【答案】A　‎ ‎【解析】由题知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.‎ ‎14．（2014·山东卷）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)‎ A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i ‎【答案】D　‎ ‎【解析】因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.‎ ‎15．（2014·四川卷）复数＝________．‎ ‎【答案】－2i　‎ ‎【解析】＝＝－2i.‎ ‎16．（2014·天津卷）i是虚数单位，复数＝(　　)‎ A．1－i B．－1＋i ‎ C.＋i D．－＋i ‎【答案】A　‎ ‎【解析】＝＝＝1－i.‎ ‎1．已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝(　　)‎ A．－3－4i　　B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i 解析：由(3－4i)z＝25⇒z＝＝＝3＋4i，选D。‎ 答案：D ‎2.＝(　　)‎ A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i 解析：＝＝－1＋2i，故选B。‎ 答案：B ‎3．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D. ‎4．设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝(　　)‎ A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i ‎5．i为虚数单位，2＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．i D．－i 解析：2＝＝－1，选B。‎ 答案：B ‎6．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝(　　)‎ A．3－4i B．3＋4i C．4－3i D．4＋3i 解析：由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i。‎ 答案：A ‎7．复数(i为虚数单位)的实部等于__________。‎ 解析：直接运算得，＝－(3＋i)＝－3－i，故实部为－3。‎ 答案：－3‎ ‎8．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝__________。‎ 解析：(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，由复数相等的定义知x＝2。‎ 答案：2‎ ‎9．已知i是虚数单位，计算＝__________。‎ 解析：＝＝＝。‎ 答案： ‎10．要使复数z＝a2－a－6＋i为纯虚数，其中的实数a是否存在？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。学！科网 解析：假设z为纯虚数，‎ 则有 由①得a＝－2或a＝3。‎ 当a＝－2时，②式左端无意义。‎ 当a＝3时，②式不成立。‎ 故不存在实数a，使z为纯虚数。‎ ‎11．复数z＝(a，b∈R)，且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值。‎ 解析：z＝(a＋bi)‎ ‎＝2i·i(a＋bi)‎ ‎＝－‎2a－2bi。‎ 由|z|＝4，得a2＋b2＝4。①‎ ‎∵复数0，z，对应的点构成正三角形，‎ ‎∴|z－|＝|z|。‎ 把z＝－‎2a－2bi代入化简，得a2＝3b2，②‎ 代入①得，|b|＝1。‎ 又∵z对应的点在第一象限，∴a＜0，b＜0。‎ 由①②得 故所求值为a＝－，b＝－1。‎ ‎12．设复数z满足4z＋2＝3＋i，ω＝sinθ－icosθ，求z的值和|z－ω|的取值范围。‎ 解析：设z＝a＋bi，(a，b∈R)，则＝a－bi。‎ 代入4z＋2＝3＋i，得 ‎4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，‎ 即‎6a＋2bi＝3＋i。‎ ‎∴ ‎∴z＝＋i。‎ ‎|z－ω|＝|＋i－(sinθ－icosθ)|‎ ‎＝ ‎＝ 。‎ ‎∵－1≤sin(θ－)≤1，‎ ‎∴0≤2－2sin(θ－)≤4。‎ ‎∴0≤|z－ω|≤2。‎ ‎ ‎ ‎ ‎