2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§9-3　椭圆（试题部分） 23页

‎§9.3　椭圆 基础篇固本夯基 ‎【基础集训】‎ 考点一　椭圆的定义及标准方程 ‎1.已知椭圆y‎2‎m+x‎2‎‎2‎=1的一个焦点为‎0,‎‎1‎‎2‎,则m=(　　)‎ A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.‎‎9‎‎4‎ 答案　D ‎2.已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为‎3‎‎3‎,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4‎3‎,则C的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎3‎+y‎2‎‎2‎=1　　　　　B.x‎2‎‎3‎+y2=1‎ C.x‎2‎‎12‎+y‎2‎‎8‎=1　　　　　D.x‎2‎‎12‎+y‎2‎‎4‎=1‎ 答案　A ‎3.在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆y‎2‎‎4‎+x‎2‎‎3‎=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为(　　)‎ A.5　　　B.4　　　C.3　　　D.2‎ 答案　A ‎4.椭圆x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎25‎=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,当m取最大值时,点P的坐标是　　　　　　　. ‎ 答案　(-3,0)或(3,0)‎ 考点二　椭圆的几何性质 ‎5.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率是(　　)‎ A.‎1‎‎3‎　　　B.‎3‎‎3‎　　　C.‎3‎‎4‎　　　D.‎‎2‎‎2‎‎3‎ 答案　D ‎6.设椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(　　)‎ A.‎3‎‎6‎　　　B.‎1‎‎3‎　　　C.‎1‎‎2‎　　　D.‎‎3‎‎3‎ 答案　D ‎7.设椭圆的方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1b≥‎3‎‎2‎a>0‎,右焦点为F(c,0)(c>0),方程ax2+bx-c=0的两实根分别为x1,x2,则x‎1‎‎2‎+x‎2‎‎2‎的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎3‎‎2‎　　　　　B.‎‎1,‎‎3‎‎2‎ C.‎1,‎‎3‎‎4‎　　　　　D.‎‎1,‎‎7‎‎4‎ 答案　D 考点三　直线与椭圆的位置关系 ‎8.(2019河北衡水中学五调,6)与椭圆x‎2‎‎2‎+y2=1有相同的焦点且与直线l:x-y+3=0相切的椭圆的离心率为(　　)‎ A.‎2‎‎2‎　　　B.‎5‎‎5‎　　　C.‎1‎‎2‎　　　D.‎‎1‎‎5‎ 答案　B ‎9.椭圆x‎2‎‎25‎+y‎2‎‎16‎=1的左,右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的内切圆周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为(　　)‎ A.‎5‎‎3‎　　　　　B.‎‎10‎‎3‎ C.‎10‎‎3‎　　　　D.‎5‎‎3‎　‎ 答案　A ‎10.已知P(1,1)为椭圆x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,且弦与椭圆交于A、B两点,则此弦所在直线的方程为　　　　　　　. ‎ 答案　x+2y-3=0‎ ‎11.设F1,F2分别是椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.‎ ‎(1)若直线MN的斜率为‎3‎‎4‎,求C的离心率;‎ ‎(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.‎ 解析　(1)根据题意知F1(-c,0),Mc,‎b‎2‎a.‎ 由kMN=‎3‎‎4‎得b‎2‎a‎-0‎c-(-c)‎=‎3‎‎4‎,‎ 即2b2=3ac,将b2=a2-c2代入得2(a2-c2)=3ac,2c2-2a2+3ac=0,‎ ‎2e2+3e-2=0,解得e=‎1‎‎2‎或e=-2(舍),‎ 故C的离心率为‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,设直线MF1与y轴的交点为D,则D(0,2)是线段MF1的中点,故b‎2‎a=4,即b2=4a,①‎ 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.‎ 设N(x1,y1),由题意知y1<0,则 ‎2(-c-x‎1‎)=c,‎‎-2y‎1‎=2,‎即x‎1‎‎=-‎3‎‎2‎c,‎y‎1‎‎=-1.‎ 代入C的方程,得‎9‎c‎2‎‎4‎a‎2‎+‎1‎b‎2‎=1.②‎ 将①及c=a‎2‎‎-‎b‎2‎代入②得‎9(a‎2‎-4a)‎‎4‎a‎2‎+‎1‎‎4a=1.‎ 解得a=7,则b2=4a=28.故b=2‎7‎.‎ 评析　本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.‎ 综合篇知能转换 ‎【综合集训】‎ 考法一　与椭圆定义相关的问题 ‎1.(2018湖北十堰十三中质检,6)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,‎3‎)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎8‎+y‎2‎‎6‎=1　　　　　B.x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎6‎=1‎ C.x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎=1　　　　　D.x‎2‎‎8‎+y‎2‎‎4‎=1‎ 答案　A ‎2.(2019豫东豫北十校4月联考,8)椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为2‎3‎,则△PF1F2的周长是(　　)‎ A.2(‎2‎+‎3‎)　　　 B.4+2‎3‎　　‎ C.‎2‎+‎3‎　　　　　D.‎2‎+2‎‎3‎ 答案　A ‎3.(2018湖北重点中学4月联考,7)已知椭圆x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为(　　)‎ A.‎4‎‎3‎　　　B.1　　　C.‎4‎‎5‎　　　D.‎‎3‎‎4‎ 答案　D 考法二　椭圆离心率问题的求法 ‎4.(2019福建3月质检,9)设椭圆E的两焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与E交于P,Q两点.若△PF1F2为直角三角形,则E的离心率为(　　)‎ A.‎2‎-1　　　 B.‎5‎‎-1‎‎2‎　　‎ C.‎2‎‎2‎　　　　　D.‎2‎+1‎ 答案　A ‎5.(2018河北衡水金卷二模,7)我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后,在地球轨道上经历3次调相轨道变轨,奔向月球,进入月球轨道,“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球半径为R,卫星近地点,远地点离地面的距离分别是R‎2‎,‎5R‎2‎(如图所示),则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为(　　)‎ A.‎2‎‎5‎　　　B.‎1‎‎5‎　　　C.‎2‎‎3‎　　　D.‎‎1‎‎3‎ 答案　A ‎6.(2019河北武邑中学二模,12)设F,B分别为椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的右焦点和上顶点,O为坐标原点,C是直线y=bax与椭圆在第一象限内的交点,若FO+FC=λ(BO+BC),则椭圆的离心率是(　　)‎ A.‎2‎2‎+1‎‎7‎　　　　　B.‎‎2‎2‎-1‎‎7‎ C.‎2‎2‎-1‎‎3‎　　　　　D.‎2‎-1‎ 答案　A 考法三　直线与椭圆位置关系问题的解法 ‎7.(2019北京清华中学生标准学术能力试卷文,6)已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎‎4‎=1(a>2)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|AF2|+|BF2|的最大值为‎28‎‎3‎,则该椭圆的离心率为(　　)‎ A.‎2‎‎2‎　　　B.‎5‎‎3‎　　　C.‎1‎‎2‎　　　D.‎‎5‎‎9‎ 答案　B ‎8.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为‎3‎‎2‎.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.‎ 解析　本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力.‎ ‎(1)设椭圆C的方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0).‎ 由题意得a=2,‎ca‎=‎3‎‎2‎,‎ 解得c=‎3‎.‎ 所以b2=a2-c2=1.‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)证明:设M(m,n),‎ 则D(m,0),N(m,-n).‎ 由题设知m≠±2,且n≠0.‎ 直线AM的斜率kAM=nm+2‎,‎ 故直线DE的斜率kDE=-m+2‎n.‎ 所以直线DE的方程为y=-m+2‎n(x-m).‎ 直线BN的方程为y=n‎2-m(x-2).‎ 联立y=-m+2‎n(x-m),‎y=n‎2-m(x-2),‎ 解得点E的纵坐标yE=-n(4-m‎2‎)‎‎4-m‎2‎+‎n‎2‎.‎ 由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.‎ 所以yE=-‎4‎‎5‎n.‎ 又S△BDE=‎1‎‎2‎|BD|·|yE|=‎2‎‎5‎|BD|·|n|,‎ S△BDN=‎1‎‎2‎|BD|·|n|,‎ 所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.‎ ‎【五年高考】‎ 考点一　椭圆的定义及标准方程 ‎1.(2019课标Ⅰ,10,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎2‎+y2=1　　　B.x‎2‎‎3‎+y‎2‎‎2‎=1　　　C.x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1　　　D.x‎2‎‎5‎+y‎2‎‎4‎=1‎ 答案　B ‎2.(2019课标Ⅲ,15,5分)设F1,F2为椭圆C:x‎2‎‎36‎+y‎2‎‎20‎=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为　　　　. ‎ 答案　(3,‎15‎)‎ ‎3.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为‎1‎‎2‎c.‎ ‎(1)求椭圆E的离心率;‎ ‎(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=‎5‎‎2‎的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.‎ 解析　(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,‎ 则原点O到该直线的距离d=bcb‎2‎‎+‎c‎2‎=bca,‎ 由d=‎1‎‎2‎c,得a=2b=2a‎2‎‎-‎c‎2‎,可得离心率ca=‎3‎‎2‎.‎ ‎(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①‎ 依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=‎10‎.‎ 易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得 ‎(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=-‎8k(2k+1)‎‎1+4‎k‎2‎,‎ x1x2=‎4(2k+1‎)‎‎2‎-4‎b‎2‎‎1+4‎k‎2‎.‎ 由x1+x2=-4,得-‎8k(2k+1)‎‎1+4‎k‎2‎=-4,‎ 解得k=‎1‎‎2‎.‎ 从而x1x2=8-2b2.‎ 于是|AB|=‎1+‎‎1‎‎2‎‎2‎|x1-x2|‎ ‎=‎‎5‎‎2‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎ ‎=‎10(b‎2‎-2)‎.‎ 由|AB|=‎10‎,得‎10(b‎2‎-2)‎=‎10‎,解得b2=3.‎ 故椭圆E的方程为x‎2‎‎12‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ 解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②‎ 依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=‎10‎.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x‎1‎‎2‎+4y‎1‎‎2‎=4b2,x‎2‎‎2‎+4y‎2‎‎2‎=4b2,‎ 两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得 ‎-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,‎ 易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,‎ 所以AB的斜率kAB=y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=‎1‎‎2‎.‎ 因此直线AB的方程为y=‎1‎‎2‎(x+2)+1,‎ 代入②得x2+4x+8-2b2=0.‎ 所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.‎ 于是|AB|=‎1+‎‎1‎‎2‎‎2‎|x1-x2|‎ ‎=‎‎5‎‎2‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎ ‎=‎10(b‎2‎-2)‎.‎ 由|AB|=‎10‎,得‎10(b‎2‎-2)‎=‎10‎,‎ 解得b2=3.‎ 故椭圆E的方程为x‎2‎‎12‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ 解题关键　对于第(2)问,利用弦长及韦达定理或点差法构造关于参数的方程是解题的关键.‎ 考点二　椭圆的几何性质 ‎4.(2017浙江,2,4分)椭圆x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎4‎=1的离心率是(　　)‎ A.‎13‎‎3‎　　　B.‎5‎‎3‎　　　C.‎2‎‎3‎　　　D.‎‎5‎‎9‎ 答案　B ‎5.(2019北京,4,5分)已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率为‎1‎‎2‎,则(　　)‎ A.a2=2b2　　　B.3a2=4b2　　　C.a=2b　　　D.3a=4b 答案　B ‎6.(2018课标Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为‎3‎‎6‎的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为(　　)‎ A.‎2‎‎3‎　　　B.‎1‎‎2‎　　　C.‎1‎‎3‎　　　D.‎‎1‎‎4‎ 答案　D ‎7.(2017课标Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(　　)‎ A.‎6‎‎3‎　　　B.‎3‎‎3‎　　　C.‎2‎‎3‎　　　D.‎‎1‎‎3‎ 答案　A ‎8.(2016课标Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为　(　　)‎ A.‎1‎‎3‎　　　B.‎1‎‎2‎　　　C.‎2‎‎3‎　　　D.‎‎3‎‎4‎ 答案　A ‎9.(2018北京,14,5分)已知椭圆M:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),双曲线N:x‎2‎m‎2‎-y‎2‎n‎2‎=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为　　　　;双曲线N的离心率为　　　　. ‎ 答案　‎3‎-1;2‎ ‎10.(2019江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=‎5‎‎2‎.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)求点E的坐标.‎ 解析　本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.‎ ‎(1)设椭圆C的焦距为2c.‎ 因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.‎ 又因为DF1=‎5‎‎2‎,AF2⊥x轴,所以DF2=DF‎1‎‎2‎-‎F‎1‎F‎2‎‎2‎=‎5‎‎2‎‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎=‎3‎‎2‎.‎ 因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.‎ 由b2=a2-c2,得b2=3.‎ 因此,椭圆C的标准方程为x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)解法一:由(1)知,椭圆C:x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1,a=2.‎ 因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.‎ 将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.‎ 因为点A在x轴上方,所以A(1,4).‎ 又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.‎ 由y=2x+2,‎‎(x-1‎)‎‎2‎+y‎2‎=16,‎得5x2+6x-11=0,‎ 解得x=1或x=-‎11‎‎5‎.‎ 将x=-‎11‎‎5‎代入y=2x+2,得y=-‎12‎‎5‎.‎ 因此B‎-‎11‎‎5‎,-‎‎12‎‎5‎.‎ 又F2(1,0),所以直线BF2:y=‎3‎‎4‎(x-1).‎ 由y=‎3‎‎4‎(x-1),‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=‎13‎‎7‎.‎ 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.‎ 将x=-1代入y=‎3‎‎4‎(x-1),得y=-‎3‎‎2‎.‎ 因此E‎-1,-‎‎3‎‎2‎.‎ 解法二:由(1)知,椭圆C:x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ 如图,连接EF1.‎ 因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,‎ 从而∠BF1E=∠B.‎ 因为F2A=F2B,所以∠A=∠B.‎ 所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.‎ 因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.‎ 因为F1(-1,0),由x=-1,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎解得y=±‎3‎‎2‎.‎ 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-‎3‎‎2‎.‎ 因此E‎-1,-‎‎3‎‎2‎.‎ 考点三　直线与椭圆的位置关系 ‎11.(2019天津,18,13分)设椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为‎5‎‎5‎.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.‎ 解析　本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.‎ ‎(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,ca=‎5‎‎5‎,又a2=b2+c2,可得a=‎5‎,b=2,c=1.‎ 所以,椭圆的方程为x‎2‎‎5‎+y‎2‎‎4‎=1.‎ ‎(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立y=kx+2,‎x‎2‎‎5‎‎+y‎2‎‎4‎=1,‎整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-‎20k‎4+5‎k‎2‎,代入y=kx+2得yP=‎8-10‎k‎2‎‎4+5‎k‎2‎,进而直线OP的斜率yPxP=‎4-5‎k‎2‎‎-10k.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-‎2‎k.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-k‎2‎.由OP⊥MN,得‎4-5‎k‎2‎‎-10k·‎-‎k‎2‎=-1,化简得k2=‎24‎‎5‎,从而k=±‎2‎‎30‎‎5‎.‎ 所以,直线PB的斜率为‎2‎‎30‎‎5‎或-‎2‎‎30‎‎5‎.‎ 思路分析　(1)根据条件求出基本量a,b得到椭圆方程.‎ ‎(2)要利用条件OP⊥MN,必须求P点和M、N点坐标.由直线PB的方程与椭圆方程联立得到P点坐标,求出M及N点坐标,利用kOP·kMN=-1求出kPB.‎ ‎12.(2018天津,19,14分)设椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为‎5‎‎3‎,|AB|=‎13‎.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.‎ 解析　本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.‎ ‎(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c‎2‎a‎2‎=‎5‎‎9‎,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=a‎2‎‎+‎b‎2‎=‎13‎,从而a=3,b=2.‎ 所以,椭圆的方程为x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎4‎=1.‎ ‎(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.‎ 易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组‎2x+3y=6,‎y=kx,‎消去y,可得x2=‎6‎‎3k+2‎.由方程组x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎4‎=1,‎y=kx,‎消去y,可得x1=‎6‎‎9k‎2‎+4‎.‎ 由x2=5x1,可得‎9k‎2‎+4‎=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-‎8‎‎9‎或k=-‎1‎‎2‎.‎ 当k=-‎8‎‎9‎时,x2=-9<0,不合题意,舍去;‎ 当k=-‎1‎‎2‎时,x2=12,x1=‎12‎‎5‎,符合题意.‎ 所以,k的值为-‎1‎‎2‎.‎ 解题关键　第(2)问中把两个三角形的面积的关系转化为点P、M的横坐标间的关系,进而得到关于k的方程是求解的难点和关键.‎ ‎13.(2018课标全国Ⅰ,19,12分)设椭圆C:x‎2‎‎2‎+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).‎ ‎(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.‎ 解析　(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,‎ 由已知可得,点A的坐标为‎1,‎‎2‎‎2‎或‎1,-‎‎2‎‎2‎.‎ 所以AM的方程为y=-‎2‎‎2‎x+‎2‎或y=‎2‎‎2‎x-‎2‎.‎ ‎(2)证明:当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,‎ 当l与x轴垂直时,直线OM为AB的垂直平分线,‎ 所以∠OMA=∠OMB.‎ 当l与x轴不重合也不垂直时,‎ 设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1<‎2‎,x2<‎2‎,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y‎1‎x‎1‎‎-2‎+y‎2‎x‎2‎‎-2‎,‎ 由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=‎2kx‎1‎x‎2‎-3k(x‎1‎+x‎2‎)+4k‎(x‎1‎-2)(x‎2‎-2)‎.‎ 将y=k(x-1)代入x‎2‎‎2‎+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,‎ 所以,x1+x2=‎4‎k‎2‎‎2k‎2‎+1‎,x1x2=‎2k‎2‎-2‎‎2k‎2‎+1‎.‎ 则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=‎4k‎3‎-4k-12k‎3‎+8k‎3‎+4k‎2k‎2‎+1‎=0,‎ 从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,‎ 所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.‎ ‎14.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为‎5‎‎10‎.‎ ‎(1)求E的离心率e;‎ ‎(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MN⊥AB.‎ 解析　(1)由题设条件知,点M的坐标为‎2‎‎3‎a,‎1‎‎3‎b,‎ 又kOM=‎5‎‎10‎,从而b‎2a=‎5‎‎10‎.‎ 进而a=‎5‎b,c=a‎2‎‎-‎b‎2‎=2b.故e=ca=‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为a‎2‎‎,-‎b‎2‎,可得NM=a‎6‎‎,‎‎5b‎6‎.‎ 又AB=(-a,b),从而有AB·NM=-‎1‎‎6‎a2+‎5‎‎6‎b2=‎1‎‎6‎(5b2-a2).‎ 由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以AB·NM=0,故MN⊥AB.‎ 评析　本题考查椭圆的简单几何性质及利用向量法证明线线垂直,较难.‎ 教师专用题组 考点一　椭圆的定义及标准方程 ‎1.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+y‎2‎b‎2‎=1(0b>0)过点(0,‎2‎),且离心率e=‎2‎‎2‎.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G‎-‎9‎‎4‎,0‎与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.‎ 解析　(1)由已知得b=‎2‎,‎ca‎=‎2‎‎2‎,‎a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎.‎解得a=2,‎b=‎2‎,‎c=‎2‎.‎ 所以椭圆E的方程为x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎=1.‎ ‎(2)解法一:设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).‎ 由x=my-1,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎得(m2+2)y2-2my-3=0,‎ 所以y1+y2=‎2mm‎2‎‎+2‎,y1y2=-‎3‎m‎2‎‎+2‎,‎ 从而y0=mm‎2‎‎+2‎.‎ 所以|GH|2=x‎0‎‎+‎‎9‎‎4‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=my‎0‎+‎‎5‎‎4‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=(m2+1)y‎0‎‎2‎+‎5‎‎2‎my0+‎25‎‎16‎.‎ ‎|AB‎|‎‎2‎‎4‎‎=‎(x‎1‎-x‎2‎‎)‎‎2‎+(y‎1‎-‎y‎2‎‎)‎‎2‎‎4‎=‎‎(1+m‎2‎)(y‎1‎-‎y‎2‎‎)‎‎2‎‎4‎ ‎=‎(1+m‎2‎)[(y‎1‎+y‎2‎‎)‎‎2‎-4y‎1‎y‎2‎]‎‎4‎=(1+m2)(y‎0‎‎2‎-y1y2),‎ 故|GH|2-‎|AB‎|‎‎2‎‎4‎=‎5‎‎2‎my0+(1+m2)y1y2+‎25‎‎16‎=‎5‎m‎2‎‎2(m‎2‎+2)‎-‎3(1+m‎2‎)‎m‎2‎‎+2‎+‎25‎‎16‎=‎17m‎2‎+2‎‎16(m‎2‎+2)‎>0,‎ 所以|GH|>‎|AB|‎‎2‎.‎ 故点G‎-‎9‎‎4‎,0‎在以AB为直径的圆外.‎ 解法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则GA=x‎1‎‎+‎9‎‎4‎,‎y‎1‎,‎ GB‎=x‎2‎‎+‎9‎‎4‎,‎y‎2‎.‎ 由x=my-1,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎得(m2+2)y2-2my-3=0,‎ 所以y1+y2=‎2mm‎2‎‎+2‎,y1y2=-‎3‎m‎2‎‎+2‎,‎ 从而GA·GB=x‎1‎‎+‎‎9‎‎4‎x‎2‎‎+‎‎9‎‎4‎+y1y2‎ ‎=my‎1‎+‎‎5‎‎4‎my‎2‎+‎‎5‎‎4‎+y1y2‎ ‎=(m2+1)y1y2+‎5‎‎4‎m(y1+y2)+‎‎25‎‎16‎ ‎=‎-3(m‎2‎+1)‎m‎2‎‎+2‎+‎5‎‎2‎m‎2‎m‎2‎‎+2‎+‎‎25‎‎16‎ ‎=‎17m‎2‎+2‎‎16(m‎2‎+2)‎>0,‎ 所以cos>0.又GA,GB不共线,所以∠AGB为锐角.‎ 故点G‎-‎9‎‎4‎,0‎在以AB为直径的圆外.‎ 评析　本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.‎ 考点二　椭圆的几何性质 ‎4.(2012课标,4,5分)设F1,F2是椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x=‎3a‎2‎上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎　　　B.‎2‎‎3‎　　　C.‎3‎‎4‎　　　D.‎‎4‎‎5‎ 答案　C ‎5.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆x‎2‎a‎2‎+y2=1(a>1).‎ ‎(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);‎ ‎(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.‎ 解析　(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,‎ 由y=kx+1,‎x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎=1‎得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,‎ 故x1=0,x2=-‎2a‎2‎k‎1+‎a‎2‎k‎2‎.‎ 因此|AP|=‎1+‎k‎2‎|x1-x2|=‎2a‎2‎|k|‎‎1+‎a‎2‎k‎2‎·‎1+‎k‎2‎.‎ ‎(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.‎ 记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.‎ 由(1)知,|AP|=‎2a‎2‎|k‎1‎|‎‎1+‎k‎1‎‎2‎‎1+‎a‎2‎k‎1‎‎2‎,|AQ|=‎2a‎2‎|k‎2‎|‎‎1+‎k‎2‎‎2‎‎1+‎a‎2‎k‎2‎‎2‎,‎ 故‎2a‎2‎|k‎1‎|‎‎1+‎k‎1‎‎2‎‎1+‎a‎2‎k‎1‎‎2‎=‎2a‎2‎|k‎2‎|‎‎1+‎k‎2‎‎2‎‎1+‎a‎2‎k‎2‎‎2‎,‎ 所以(k‎1‎‎2‎-k‎2‎‎2‎)[1+k‎1‎‎2‎+k‎2‎‎2‎+a2(2-a2)k‎1‎‎2‎k‎2‎‎2‎]=0.‎ 由于k1≠k2,k1,k2>0得1+k‎1‎‎2‎+k‎2‎‎2‎+a2(2-a2)k‎1‎‎2‎k‎2‎‎2‎=0,‎ 因此‎1‎k‎1‎‎2‎‎+1‎‎1‎k‎2‎‎2‎‎+1‎=1+a2(a2-2),①‎ 因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>‎2‎.‎ 因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.‎ ‎(1)若点C的坐标为‎4‎‎3‎‎,‎‎1‎‎3‎,且BF2=‎2‎,求椭圆的方程;‎ ‎(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.‎ 解析　设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).‎ ‎(1)因为B(0,b),所以BF2=b‎2‎‎+‎c‎2‎=a.‎ 又BF2=‎2‎,故a=‎2‎.‎ 因为点C‎4‎‎3‎‎,‎‎1‎‎3‎在椭圆上,‎ 所以‎16‎‎9‎a‎2‎+‎1‎‎9‎b‎2‎=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为x‎2‎‎2‎+y2=1.‎ ‎(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,‎ 所以直线AB的方程为xc+yb=1.‎ 解方程组xc‎+yb=1,‎x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1,‎得x‎1‎‎=‎2a‎2‎ca‎2‎‎+‎c‎2‎,‎y‎1‎‎=b(c‎2‎-a‎2‎)‎a‎2‎‎+‎c‎2‎,‎x‎2‎‎=0,‎y‎2‎‎=b.‎ 所以点A的坐标为‎2a‎2‎ca‎2‎‎+‎c‎2‎‎,‎b(c‎2‎-a‎2‎)‎a‎2‎‎+‎c‎2‎.‎ 又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为‎2a‎2‎ca‎2‎‎+‎c‎2‎‎,‎b(a‎2‎-c‎2‎)‎a‎2‎‎+‎c‎2‎.‎ 因为直线F1C的斜率为b(a‎2‎-c‎2‎)‎a‎2‎‎+‎c‎2‎‎-0‎‎2a‎2‎ca‎2‎‎+‎c‎2‎‎-(-c)‎=b(a‎2‎-c‎2‎)‎‎3a‎2‎c+‎c‎3‎,直线AB的斜率为-bc,且F1C⊥AB,所以b(a‎2‎-c‎2‎)‎‎3a‎2‎c+‎c‎3‎·‎-‎bc=-1.结合b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=‎1‎‎5‎.因此e=‎5‎‎5‎.‎ ‎7.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.‎ ‎(1)若|PF1|=2+‎2‎,|PF2|=2-‎2‎,求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.‎ 解析　(1)由椭圆的定义,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+‎2‎)+(2-‎2‎)=4,故a=2.‎ 设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F2|=‎|PF‎1‎‎|‎‎2‎+|PF‎2‎‎|‎‎2‎=‎(2+‎2‎‎)‎‎2‎+(2-‎‎2‎‎)‎‎2‎=2‎3‎,即c=‎3‎,从而b=a‎2‎‎-‎c‎2‎=1.‎ 故所求椭圆的标准方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)解法一:连接F1Q,如图,设P(x0,y0),因为点P在椭圆上,且PF1⊥PF2,‎ 所以x‎0‎‎2‎a‎2‎+y‎0‎‎2‎b‎2‎=1,x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=c2,‎ 求得x0=±aca‎2‎‎-2‎b‎2‎,y0=±b‎2‎c.‎ 由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,‎ 从而|PF1|2=aa‎2‎‎-2‎b‎2‎c‎+c‎2‎+‎b‎4‎c‎2‎ ‎=2(a2-b2)+2aa‎2‎‎-2‎b‎2‎ ‎=(a+a‎2‎‎-2‎b‎2‎)2.‎ 由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=‎2‎|PF1|.‎ 因此(2+‎2‎)|PF1|=4a,‎ 即(2+‎2‎)(a+a‎2‎‎-2‎b‎2‎)=4a,‎ 于是(2+‎2‎)(1+‎2e‎2‎-1‎)=4,‎ 解得e=‎1‎‎2‎‎1+‎‎4‎‎2+‎‎2‎‎-1‎‎2‎=‎6‎-‎3‎.‎ 解法二:连接F1Q,由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.‎ 又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=‎2‎|PF1|,‎ 因此,4a-2|PF1|=‎2‎|PF1|,得|PF1|=2(2-‎2‎)a,‎ 从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-‎2‎)a=2(‎2‎-1)a.‎ 由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,‎ 因此e=ca=‎|PF‎1‎‎|‎‎2‎+|PF‎2‎‎|‎‎2‎‎2a=‎(2-‎2‎‎)‎‎2‎+(‎2‎-1‎‎)‎‎2‎=‎9-6‎‎2‎=‎6‎-‎3‎.‎ 考点三　直线与椭圆的位置关系 ‎8.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).‎ ‎(1)求点P的坐标;‎ ‎(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+‎3‎交于A,B两点.若△PAB的面积为2,求C的标准方程.‎ 解析　(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-x‎0‎y‎0‎,切线方程为y-y0=-x‎0‎y‎0‎(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=‎1‎‎2‎·‎4‎x‎0‎·‎4‎y‎0‎=‎8‎x‎0‎y‎0‎,由x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=‎2‎时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(‎2‎,‎2‎).‎ ‎(2)设C的标准方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知‎2‎a‎2‎+‎2‎b‎2‎=1,并由x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1,‎y=x+‎‎3‎ 得b2x2+4‎3‎x+6-2b2=0,‎ 又x1,x2是方程的根,因此x‎1‎‎+x‎2‎=-‎4‎‎3‎b‎2‎,‎x‎1‎x‎2‎‎=‎6-2‎b‎2‎b‎2‎,‎ 由y1=x1+‎3‎,y2=x2+‎3‎,得|AB|=‎2‎|x1-x2|=‎2‎·‎48-24b‎2‎+8‎b‎4‎b‎2‎.‎ 由点P到直线l的距离为‎3‎‎2‎及S△PAB=‎1‎‎2‎×‎3‎‎2‎|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,‎ 因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,‎ 从而所求C的方程为x‎2‎‎6‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎9.(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎,焦点F1(-‎3‎,0),F2(‎3‎,0),圆O的直径为F1F2.‎ ‎(1)求椭圆C及圆O的方程;‎ ‎(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;‎ ‎②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为‎2‎‎6‎‎7‎,求直线l的方程.‎ 解析　本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.‎ 解法一:(1)因为椭圆C的焦点为F1(-‎3‎,0),F2(‎3‎,0),‎ 所以可设椭圆C的方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0).‎ 又点‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎在椭圆C上,所以‎3‎a‎2‎‎+‎1‎‎4‎b‎2‎=1,‎a‎2‎‎-b‎2‎=3,‎解得a‎2‎‎=4,‎b‎2‎‎=1.‎ 因此,椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ 因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.‎ ‎(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=3.‎ 所以直线l的方程为y=-x‎0‎y‎0‎(x-x0)+y0,即y=-x‎0‎y‎0‎x+‎3‎y‎0‎.‎ 由x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎y=-x‎0‎y‎0‎x+‎‎3‎y‎0‎消去y,得 ‎(4x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)x2-24x0x+36-4y‎0‎‎2‎=0.(*)‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,‎ 所以Δ=(-24x0)2-4(4x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)(36-4y‎0‎‎2‎)=48y‎0‎‎2‎(x‎0‎‎2‎-2)=0.‎ 因为x0,y0>0,所以x0=‎2‎,y0=1.‎ 因此,点P的坐标为(‎2‎,1).‎ ‎②因为三角形OAB的面积为‎2‎‎6‎‎7‎,‎ 所以‎1‎‎2‎AB·OP=‎2‎‎6‎‎7‎,从而AB=‎4‎‎2‎‎7‎.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由(*)得x1,2=‎24x‎0‎±‎‎48y‎0‎‎2‎(x‎0‎‎2‎-2)‎‎2(4x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)‎,‎ 所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2‎ ‎=‎1+‎x‎0‎‎2‎y‎0‎‎2‎·‎48y‎0‎‎2‎(x‎0‎‎2‎-2)‎‎(4x‎0‎‎2‎+‎y‎0‎‎2‎‎)‎‎2‎.‎ 因为x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=3,‎ 所以AB2=‎16(x‎0‎‎2‎-2)‎‎(x‎0‎‎2‎+1‎‎)‎‎2‎=‎32‎‎49‎,即2x‎0‎‎4‎-45x‎0‎‎2‎+100=0.‎ 解得x‎0‎‎2‎=‎5‎‎2‎(x‎0‎‎2‎=20舍去),则y‎0‎‎2‎=‎1‎‎2‎,因此P的坐标为‎10‎‎2‎‎,‎‎2‎‎2‎.‎ 则直线l的方程为y=-‎5‎x+3‎2‎.‎ 解法二:(1)由题意知c=‎3‎,所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎在椭圆上,‎ 所以2a=‎(‎3‎-‎3‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎‎-0‎‎2‎+‎(‎3‎+‎3‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎‎-0‎‎2‎=4,‎ 所以a=2.‎ 因为a2=b2+c2,所以b=1,‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)①由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k<0,‎ 设直线l的方程为y=kx+m(k<0,m>0),‎ 将直线l的方程代入圆O的方程,得x2+(kx+m)2=3,‎ 整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,‎ 因为直线l与圆O相切,所以Δ=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,‎ 将直线l的方程代入椭圆C的方程,得x‎2‎‎4‎+(kx+m)2=1,‎ 整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,‎ 因为直线l与椭圆C相切,‎ 所以Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,‎ 整理得m2=4k2+1,‎ 所以3k2+3=4k2+1,因为k<0,所以k=-‎2‎,则m=3,‎ 将k=-‎2‎,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,‎ 整理得x2-2‎2‎x+2=0,‎ 解得x1=x2=‎2‎,将x=‎2‎代入x2+y2=3,‎ 解得y=1(y=-1舍去),所以点P的坐标为(‎2‎,1).‎ ‎②设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),‎ 由①知m2=3k2+3,且k<0,m>0,‎ 因为直线l和椭圆C相交,所以结合②的过程知m2<4k2+1,解得k<-‎2‎,‎ 将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,‎ 解得x1,2=‎-8km±4‎‎4k‎2‎+1-‎m‎2‎‎2(4k‎2‎+1)‎,‎ 所以|x1-x2|=‎4‎‎4k‎2‎+1-‎m‎2‎‎4k‎2‎+1‎,‎ 因为AB=‎(x‎1‎-x‎2‎‎)‎‎2‎+(kx‎1‎-kx‎2‎‎)‎‎2‎=|x1-x2|k‎2‎‎+1‎=‎4‎‎4k‎2‎+1-‎m‎2‎‎4k‎2‎+1‎·k‎2‎‎+1‎,‎ O到l的距离d=‎|m|‎k‎2‎‎+1‎=‎3‎,‎ 所以S△OAB=‎1‎‎2‎·‎4‎‎4k‎2‎+1-‎m‎2‎‎4k‎2‎+1‎·k‎2‎‎+1‎·‎‎|m|‎k‎2‎‎+1‎ ‎=‎1‎‎2‎·‎4‎k‎2‎‎-2‎‎4k‎2‎+1‎·k‎2‎‎+1‎·‎3‎=‎2‎‎6‎‎7‎,‎ 解得k2=5,因为k<0,所以k=-‎5‎,则m=3‎2‎,‎ 即直线l的方程为y=-‎5‎x+3‎2‎.‎ 解后反思　(1)常用待定系数法求圆锥曲线方程.‎ ‎(2)①直线与圆相切,常见解题方法是设切点求切线方程,由于涉及直线与椭圆相切,因此也可设出直线方程求解.‎ ‎②因为△AOB的面积为‎2‎‎6‎‎7‎,而△AOB的高为‎3‎,所以解题关键是求AB的长,可利用弦长公式AB=‎(x‎1‎-x‎2‎‎)‎‎2‎+(y‎1‎-‎y‎2‎‎)‎‎2‎=‎1+‎k‎2‎·‎(x‎1‎-‎x‎2‎‎)‎‎2‎=‎1+‎k‎2‎·|x1-x2|(x1、x2分别为A、B的横坐标)求解.‎ ‎10.(2017天津,19,14分)设椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为‎1‎‎2‎.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为‎1‎‎2‎.‎ ‎(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;‎ ‎(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为‎6‎‎2‎,求直线AP的方程.‎ 解析　本小题主要考查椭圆、抛物线的标准方程和几何性质,直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.‎ ‎(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,ca=‎1‎‎2‎,p‎2‎=a,a-c=‎1‎‎2‎,解得a=1,c=‎1‎‎2‎,p=2,于是b2=a2-c2=‎3‎‎4‎.‎ 所以,椭圆的方程为x2+‎4‎y‎2‎‎3‎=1,抛物线的方程为y2=4x.‎ ‎(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P‎-1,-‎‎2‎m,故Q‎-1,‎‎2‎m.将x=my+1与x2+‎4‎y‎2‎‎3‎=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=‎-6m‎3m‎2‎+4‎.由点B异于点A,可得点B‎-3m‎2‎+4‎‎3m‎2‎+4‎‎,‎‎-6m‎3m‎2‎+4‎.由Q‎-1,‎‎2‎m,可得直线BQ的方程为‎-6m‎3m‎2‎+4‎‎-‎‎2‎m(x+1)-‎-3m‎2‎+4‎‎3m‎2‎+4‎‎+1‎y-‎‎2‎m=0,令y=0,解得x=‎2-3‎m‎2‎‎3m‎2‎+2‎,故D‎2-3‎m‎2‎‎3m‎2‎+2‎‎,0‎.所以|AD|=1-‎2-3‎m‎2‎‎3m‎2‎+2‎=‎6‎m‎2‎‎3m‎2‎+2‎.又因为△APD的面积为‎6‎‎2‎,故‎1‎‎2‎×‎6‎m‎2‎‎3m‎2‎+2‎×‎2‎‎|m|‎=‎6‎‎2‎,整理得3m2-2‎6‎|m|+2=0,解得|m|=‎6‎‎3‎,所以m=±‎6‎‎3‎.‎ 所以,直线AP的方程为3x+‎6‎y-3=0或3x-‎6‎y-3=0.‎ 方法总结　1.利用待定系数法求圆锥曲线标准方程的三个步骤:(1)作判断:根据焦点位置设方程;(2)找等量关系;(3)解方程得结果.‎ ‎2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的基本策略:(1)巧设直线方程:当已知直线与x轴交点固定时,常设为x=my+b的形式,这样可避免对斜率是否存在的讨论;(2)注意整体代入思想的应用,利用根与系数的关系可以简化运算,提高运算的效率和正确率.‎ ‎11.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:y‎2‎a‎2‎+x‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2‎6‎.‎ ‎(1)求C2的方程;‎ ‎(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且AC与BD同向.‎ ‎(i)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;‎ ‎(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.‎ 解析　(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①‎ 又C1与C2的公共弦的长为2‎6‎,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为‎±‎6‎,‎‎3‎‎2‎,所以‎9‎‎4‎a‎2‎+‎6‎b‎2‎=1.②‎ 联立①,②得a2=9,b2=8.故C2的方程为y‎2‎‎9‎+x‎2‎‎8‎=1.‎ ‎(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).‎ ‎(i)因AC与BD同向,且|AC|=|BD|,所以AC=BD,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③‎ 设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.‎ 由y=kx+1,‎x‎2‎‎=4y得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④‎ 由y=kx+1,‎x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎9‎=1‎得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-‎16k‎9+8‎k‎2‎,x3x4=-‎64‎‎9+8‎k‎2‎.⑤‎ 将④,⑤代入③,得16(k2+1)=‎1‎‎6‎‎2‎k‎2‎‎(9+8‎k‎2‎‎)‎‎2‎+‎4×64‎‎9+8‎k‎2‎,‎ 即16(k2+1)=‎1‎6‎‎2‎×9(k‎2‎+1)‎‎(9+8‎k‎2‎‎)‎‎2‎,‎ 所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±‎6‎‎4‎,即直线l的斜率为±‎6‎‎4‎.‎ ‎(ii)证明:由x2=4y得y'=x‎2‎,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=x‎1‎‎2‎(x-x1),即y=x‎1‎x‎2‎-x‎1‎‎2‎‎4‎.‎ 令y=0,得x=x‎1‎‎2‎,即Mx‎1‎‎2‎‎,0‎,所以FM=x‎1‎‎2‎‎,-1‎.而FA=(x1,y1-1),于是FA·FM=x‎1‎‎2‎‎2‎-y1+1=x‎1‎‎2‎‎4‎+1>0,‎ 因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.‎ 故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、单项选择题(每题5分,共40分)‎ ‎1.(2018山东青岛城阳期末,7)若椭圆x‎2‎‎5‎+y‎2‎a=1的焦距为4,则实数a的值为(　　)‎ A.1　　　B.21　　　C.4　　　D.1或9‎ 答案　D ‎2.(2019湖北重点中学第一次调研,11)点P是椭圆x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎5‎=1上的点,F1、F2是椭圆的左、右焦点,则△PF1F2的周长是(　　)‎ A.12　　　B.10　　　C.8　　　D.6‎ 答案　B ‎3.(2019广东深圳二模,10)设点F1、F2分别为椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1的左、右焦点,点A、B分别为椭圆C的右顶点和下顶点,且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2⊥F1F2,则椭圆C的离心率为(　　)‎ A.‎3‎‎-1‎‎2‎　　　B.‎3‎‎-1‎‎3‎　　　C.‎5‎‎-1‎‎2‎　　　D.‎‎2‎‎2‎ 答案　C ‎4.(2020届广东深圳第七高级中学第二次月考,11)F1,F2分别是椭圆x2+2y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,线段PF2与y轴的交点为M,且F‎1‎M=‎1‎‎2‎(F‎1‎F‎2‎+F‎1‎P),则点M到坐标原点O的距离是(　　)‎ A.‎1‎‎4‎　　　B.‎1‎‎2‎　　　C.1　　　D.2‎ 答案　A ‎5.(2019安徽宣城二模,12)已知F1,F2分别为椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是椭圆上位于第二象限内的点,延长PF1交椭圆于点Q,若PF2⊥PQ,且|PF2|=|PQ|,则椭圆的离心率为(　　)‎ A.‎6‎-‎3‎　　　　　B.‎2‎-1 C.‎3‎-‎2‎　　　　　D.2-‎‎2‎ 答案　A ‎6.(2019广东七校4月联考,11)已知点P为椭圆x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎12‎=1上的动点,EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一直径,则PE·PF的最大值和最小值分别是(　　)‎ A.16,12-4‎3‎　　　　　B.17,13-4‎‎3‎ C.19,12-4‎3‎　　　　　D.20,13-4‎‎3‎ 答案　C ‎7.(2020届湖北洪湖第二中学月考,12)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交C于A,B两点.若AF‎1‎=‎4‎‎7‎AB,|AF2|=|F1F2|,则椭圆C的离心率为(　　)‎ A.‎2‎‎7‎　　　B.‎3‎‎7‎　　　C.‎4‎‎7‎　　　D.‎‎5‎‎7‎ 答案　D ‎8.(2019江西五校协作体4月联考,11)已知点F1,F2是椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上的动点,动点Q满足F‎1‎P·PQ=|F‎1‎P||PQ|且|PQ|=|PF‎2‎|,其中F‎1‎P≠0,PQ≠0,若|PQ|的最小值为1,最大值为9,则椭圆的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎25‎+y‎2‎‎9‎=1　　　　　B.x‎2‎‎9‎+y2=1‎ C.x‎2‎‎25‎+y‎2‎‎16‎=1　　　　　D.x‎2‎‎81‎+y2=1‎ 答案　A 二、多项选择题(每题5分,共10分)‎ ‎9.(2020届山东菏泽期中,8)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F、A、B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c,则(　　)‎ A.a-c=m+R　　　　 B.a+c=n+R　‎ C.2a=m+n　　　　　D.b=‎‎(m+R)(n+R)‎ 答案　ABD ‎10.(改编题)已知点P在以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,离心率为‎1‎‎2‎的椭圆上.若过点P作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点F1,与椭圆的另一个交点为A.若△PF2A的面积为12(F2为椭圆的另一个焦点),则椭圆的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎3‎+y‎2‎‎4‎=1　　　　　B.x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1‎ C.x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎12‎=1　　　　　D.x‎2‎‎12‎+y‎2‎‎16‎=1‎ 答案　CD 三、填空题(每题5分,共10分)‎ ‎11.(2020届湖北洪湖第二中学月考,14)万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次成为奥运会开幕式的主办场地.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为　　　　 cm. ‎ 答案　20‎ ‎12.(2020届广西南宁10月摸底考,15)已知F1,F2分别是椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点,过左焦点F1的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AF1|=3|BF1|,|AB|=|BF2|,则椭圆的离心率为　　　　. ‎ 答案　‎‎10‎‎5‎ 四、解答题(共50分)‎ ‎13.(2020届广东深圳第七高级中学第二次月考,20)已知椭圆G:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率为‎3‎‎2‎,直线l过椭圆G的右顶点A(2,0),且交椭圆G于另一点C.‎ ‎(1)求椭圆G的标准方程;‎ ‎(2)若以AC为直径的圆经过椭圆G的上顶点B,求直线l的方程.‎ 解析　(1)由题设可得e=ca=‎3‎‎2‎,a=2,解得c=‎3‎,‎ 因为a2=b2+c2,所以b=a‎2‎‎-‎c‎2‎=1,‎ 所以椭圆G的标准方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)设C(xC,yC).以AC为直径的圆经过点B等价于BC·BA=0.由题设及(1)可得B(0,1),所以BA=(2,-1),BC=(xC,yC-1),所以BC·BA=2xC-yC+1=0.‎ 又C(xC,yC)在椭圆G上,所以xC‎2‎‎4‎+yC‎2‎=1,‎ 由yC=2xC+1,可得17xC‎2‎+16xC=0,解得xC=0或xC=-‎16‎‎17‎,‎ 所以C(0,1)或C‎-‎16‎‎17‎,-‎‎15‎‎17‎,所以,直线l的方程为x+2y-2=0或3x-10y-6=0.‎ ‎14.(2020届广东珠海9月摸底测试,20)已知离心率为‎2‎‎2‎‎3‎的椭圆x‎2‎a‎2‎+y2=1(a>1)与直线l交于P,Q两点,记直线OP的斜率为k1,直线OQ的斜率为k2.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若k1·k2=-‎1‎‎9‎,则三角形POQ的面积是不是定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.‎ 解析　(1)由题意可知b=1,‎e=ca=‎2‎‎2‎‎3‎,‎a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎,‎解得a=3,c=2‎2‎,‎ 所以椭圆的方程为x‎2‎‎9‎+y2=1.‎ ‎(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,‎ 与椭圆方程联立得(9k2+1)x2+18kmx+9m2-9=0,‎ 则x1+x2=-‎18km‎9k‎2‎+1‎,x1x2=‎9m‎2‎-9‎‎9k‎2‎+1‎.‎ 因为|PQ|=‎1+‎k‎2‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎=‎6‎‎1+‎k‎2‎‎9k‎2‎-m‎2‎+1‎‎9k‎2‎+1‎,‎ 点O到直线PQ的距离d=‎|m|‎‎1+‎k‎2‎,‎ 所以S△POQ=‎1‎‎2‎|PQ|·d=3m‎2‎‎9k‎2‎+1‎‎1-‎m‎2‎‎9k‎2‎+1‎,(※)‎ 由k1k2=y‎1‎y‎2‎x‎1‎x‎2‎=k‎2‎x‎1‎x‎2‎‎+km(x‎1‎+x‎2‎)+‎m‎2‎x‎1‎x‎2‎=-‎‎1‎‎9‎ 化简得9k2=2m2-1,代入(※)式得S△POQ=‎3‎‎2‎.‎ 若直线PQ的斜率不存在,则易算得S△POQ=‎3‎‎2‎.‎ 综上,得三角形POQ的面积是定值‎3‎‎2‎.‎ ‎15.(2019福建四地七校3月调研,19)已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.‎ ‎(1)求椭圆E的离心率;‎ ‎(2)如图,若直线l与椭圆相交于A,B,且AB是圆(x-1)2+(y+1)2=5的一条直径,求椭圆E的标准方程.‎ 解析　(1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为a‎2‎‎,‎a‎2‎,代入椭圆方程可得‎1‎‎4‎+a‎2‎‎4‎b‎2‎=1,即a2=3b2,∴a2=3b2=3(a2-c2),∴2a2=3c2,∴e=‎6‎‎3‎.‎ ‎(2)由(1)得椭圆E的方程为x‎2‎‎3‎b‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1,易知直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x-1)-1,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ y=k(x-1)-1,‎x‎2‎‎+3y‎2‎=3‎b‎2‎‎⇒(3k2+1)x2-6k(k+1)x+3(k+1)2-3b2=0(*).‎ ‎∴x1+x2=‎6k(k+1)‎‎3k‎2‎+1‎,x1x2=‎3(k+1‎)‎‎2‎-3‎b‎2‎‎3k‎2‎+1‎.‎ 又x1+x2=2,∴k=‎1‎‎3‎,∴x1x2=‎16-9‎b‎2‎‎4‎,‎ 则|AB|=‎1+‎k‎2‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎=‎10‎‎3‎‎4-4·‎‎16-9‎b‎2‎‎4‎=2‎5‎,∴b2=‎10‎‎3‎,则a2=10,∴椭圆E的标准方程为x‎2‎‎10‎+y‎2‎‎10‎‎3‎=1.‎ ‎16.(2019黄山一模,20)已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=‎1‎‎2‎,点P是椭圆上的一个动点,△PF1F2面积的最大值是4‎3‎.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四点,AC与BD相交于点F1,AC·BD=0,且|AC|+|BD|=‎96‎‎7‎,求此时直线AC的方程.‎ 解析　(1)由题意知,当点P是椭圆上(或下)顶点时,△PF1F2的面积取得最大值.‎ 此时,S‎△PF‎1‎F‎2‎=‎1‎‎2‎·2c·b=4‎3‎,又e=ca=‎1‎‎2‎,a2=b2+c2,‎ 所以a=4,b=2‎3‎,故所求椭圆的方程为x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎12‎=1.‎ ‎(2)由(1)知F1(-2,0),由AC·BD=0得AC⊥BD.‎ ‎①当直线AC与BD中有一条直线的斜率不存在时,‎ ‎|AC|+|BD|=14,不合题意.‎ ‎②当直线AC的斜率存在且为k(k不为0)时,‎ 其方程为y=k(x+2).‎ 由y=k(x+2),‎x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎12‎=1‎消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-‎16‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎,x1x2=‎16k‎2‎-48‎‎3+4‎k‎2‎.‎ 所以|AC|=‎1+‎k‎2‎|x1-x2|=‎24(1+k‎2‎)‎‎3+4‎k‎2‎.‎ 直线BD的方程为y=-‎1‎k(x+2),同理可得|BD|=‎24(1+k‎2‎)‎‎4+3‎k‎2‎.‎ 由|AC|+|BD|=‎168(1+‎k‎2‎‎)‎‎2‎‎(4+3k‎2‎)(3+4k‎2‎)‎=‎96‎‎7‎,解得k2=1,则k=±1.故所求直线AC的方程为y=±(x+2).‎