2021高考数学一轮复习课时作业31数列求和理 5页

1 课时作业 31 数列求和 [基础达标] 1．[2020·辽宁大连二十四中模拟]已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*. (1)若{an}是等差数列，公差为 d，且 bn 是 an 和 an＋1 的等比中项，设 cn＝b2 n＋1－b2 n，n∈N*， 求证：数列{cn}是等差数列； (2)若 a3 1＋a3 2＋a3 3＋…＋a3 n＝S2 n，Sn 为数列{an}的前 n 项和，求数列{an}的通项公式． 解析：(1)由题意得 b2 n＝anan＋1， 则 cn＝b2 n＋1－b2 n＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1， 因此 cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，∴{cn}是等差数列． (2)当 n＝1 时，a3 1＝a2 1，∵a1>0，∴a1＝1. 当 n≥2 时，a3 1＋a3 2＋a3 3＋…＋a3 n＝S2 n，① a3 1＋a3 2＋a3 3＋…＋a3 n－1＝S2 n－1，② ①－②得，a3 n＝S2 n－S2 n－1＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)． ∵an>0，∴a2 n＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an，③ ∵a1＝1 合适上式，∴当 n≥2 时，a2 n－1＝2Sn－1－an－1，④ ③－④得 a2 n－a2 n－1＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1， ∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1， ∴数列{an}是首项为 1，公差为 1 的等差数列，可得 an＝n. 2．[2020·四川绵阳诊断]已知等差数列{an}的公差大于 0，且 a4＝7，a2，a6－2a1，a14 是等比数列{bn}的前三项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列{bn}的前 n 项和为 Sn，若 Sn>39，求 n 的取值范围． 解析：(1)设等差数列{an}的公差为 d(d>0)， 由 a4＝7，得 a1＋3d＝7，① 又 a2，a6－2a1，a14 是等比数列{bn}的前三项， ∴(a6－2a1)2＝a2a14，即(5d－a1)2＝(a1＋d)(a1＋13d)，化简得 d＝2a1，② 联立①②，解得 a1＝1，d＝2.∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)∵b1＝a2＝3，b2＝a6－2a1＝9，b3＝a14＝27 是等比数列{bn}的前三项， ∴等比数列{bn}的首项为 3，公比为 3. ∴Sn＝3 1－3n 1－3 ＝3 3n－1 2 . 2 由 Sn>39，得3 3n－1 2 >39，化简得 3n>27，解得 n>3，n∈N*. 3．[2020·河北廊坊省级示范高中联考]在数列{an}中，a1＝1，an＋1 an ＝4 n＋1 2 n n＋2 ，设 bn ＝n＋1 n ·an. (1)证明：数列{bn}是等比数列； (2)求{an}的前 n 项积 Tn. 解析：(1)因为bn＋1 bn ＝ n＋2 n＋1 ·an＋1 n＋1 n ·an ＝n n＋2 n＋1 2 ·an＋1 an ＝n n＋2 n＋1 2 ·4 n＋1 2 n n＋2 ＝4，b1＝2a1 ＝2， 所以数列{bn}是首项为 2，公比为 4 的等比数列． (2)由(1)知 bn＝n＋1 n ·an＝2·4n－1，则 an＝ n n＋1 ·22n－1. 从而 Tn＝（1 2 ×2 3 ×3 4 ×…× n n＋1 ）·21＋3＋5＋…＋(2n－1)＝ 2n2 n＋1 . 4．[2020·山西河津二中月考]设数列{an}满足 a1＝1,3a2－a1＝1，且2 an ＝an－1＋an＋1 an－1an＋1 (n≥2， n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}中，b1＝1 2 ，4bn＝an－1an(n≥2，n∈N*)，{bn}的前 n 项和为 Tn，证明：Tn<1. 解析：(1)∵2 an ＝an－1＋an＋1 an－1an＋1 (n≥2)， ∴2 an ＝ 1 an－1 ＋ 1 an＋1 ， 又 a1＝1,3a2－a1＝1，∴1 a1 ＝1，1 a2 ＝3 2 ， ∴1 a2 －1 a1 ＝1 2 ， ∴ 1 an 是首项为 1，公差为1 2 的等差数列， ∴1 an ＝1＋1 2 (n－1)＝1 2 (n＋1)，即 an＝ 2 n＋1 . (2)∵4bn＝an－1an(n≥2)，∴bn＝ 1 n n＋1 ＝1 n － 1 n＋1 (n≥2)，又 b1＝1 2 符合上式，∴bn 3 ＝1 n － 1 n＋1 (n∈N*)， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1－1 2 ）＋（1 2 －1 3 ）＋…＋（1 n － 1 n＋1 ）＝1－ 1 n＋1 <1. 5．[2019·浙江诸暨中学期中]设数列{an}满足 a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n 3 ，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝ n，n 为奇数， 1 an ，n 为偶数， 求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解析：(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n 3 ①， 当 n≥2 时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－1 3 ②， ①－②，得 3n－1·an＝1 3 (n≥2)，即 an＝1 3n； 当 n＝1 时，a1＝1 3 ，符合上式． 所以数列{an}的通项公式为 an＝1 3n. (2)由(1)知 bn＝ n，n 为奇数， 3n，n 为偶数， ① 当 n 为 奇 数 时 ， Sn ＝ 1 ＋ 32 ＋ 3 ＋ 34 ＋ … ＋ 3n － 1 ＋ n ＝ 1＋n 2 · 1＋n 2 ＋ ＝n2＋2n＋1 4 ＋9 8 (3n－1－1)． ②当 n 为偶数时，Sn＝1＋32＋3＋34＋…＋(n－1)＋3n＝[1＋ n－1 ] 2 ·n 2 ＋ 9 1－9n 2 1－9 ＝n2 4 ＋9 8 (3n－1)． 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn＝ n2＋2n＋1 4 ＋9 8 3n－1－1 ，n 为奇数， n2 4 ＋9 8 3n－1 ，n 为偶数. 4 6．[2020·安徽合肥模拟]已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差 d>0，且 a2a3＝40， a1＋a4＝13，在公比为 q(00，所以 a2