2018届二轮复习（文）　三角函数、解三角形与平面向量专题三第2讲学案（全国通用） 17页

第2讲　三角变换与解三角形 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：‎ ‎1．边和角的计算．‎ ‎2．三角形形状的判断．‎ ‎3．面积的计算．‎ ‎4．有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．‎ 热点一　三角恒等变换 ‎1．三角求值“三大类型”‎ ‎“给角求值”“给值求值”“给值求角”．‎ ‎2．三角函数恒等变换“四大策略”‎ ‎(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．‎ ‎(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．‎ ‎(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．‎ ‎(4)弦、切互化：一般是切化弦．‎ 例1　(1)(2017·河南省洛阳市统考)设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b 答案　D 解析　由三角恒等变换的公式，可得 a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos(50°－127°)‎ ‎＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，‎ b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°‎ ‎＝sin(56°－45°)＝sin 11°，‎ c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12° .‎ 因为函数y＝sin x，x∈为单调递增函数，‎ 所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，‎ 所以a>c>b，故选D.‎ ‎(2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.‎ 又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.‎ 又sin α＝，所以cos α＝，‎ 所以sin β＝sin[α－(α－β)]‎ ‎＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝.‎ 所以β＝.‎ 思维升华　(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．‎ ‎(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．‎ 跟踪演练1　(1)(2017·河北省衡水中学三调)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　由3cos 2α＝sin(－α)，‎ 可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，‎ 于是3(cos α＋sin α)＝，所以1＋2sin αcos α＝，‎ 所以sin 2α＝－，故选C.‎ ‎(2)(2017届山东省师大附中模拟)已知sin－cos α＝，则cos＝________.‎ 答案　 解析　∵sin－cos α＝cos α－sin α－cos α ‎＝－sin＝，‎ ‎∴sin＝－.‎ 则cos＝1－2sin2＝.‎ 热点二　正弦定理、余弦定理 ‎1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．‎ ‎2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.‎ 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.‎ 例2　已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asin C－ccos A.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.‎ 解　(1)由c＝asin C－ccos A及正弦定理，得 sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.‎ 由于sin C≠0，所以sin＝.‎ 又00)的最小正周期为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)在△ABC中，sin B，sin A，sin C成等比数列，求此时f(A)的值域．‎ 押题依据　三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高．‎ 解　(1)f(x)＝sin 2ωx－(cos 2ωx＋1)‎ ‎＝sin－，‎ 因为函数f(x)的周期为T＝＝，所以ω＝.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin－，‎ 易得f(A)＝sin－.‎ 因为sin B，sin A，sin C成等比数列，‎ 所以sin2A＝sin Bsin C，‎ 所以a2＝bc，‎ 所以cos A＝＝ ‎≥＝(当且仅当b＝c时取等号)．‎ 因为00，sin α－cos α＝－，‎ 因此sin α＝－，cos α＝，‎ tan ＝＝＝ ‎＝＝－，故选C.‎ ‎4．(2017·合肥一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆的面积为(　　)‎ A．4π B．8π C．9π D．36π 答案　C 解析　∵bcos A＋acos B＝2，∴b·＋a·＝2，‎ ‎∴c＝2.由cos C＝，‎ 得sin C＝，∴2R＝＝＝6，R＝3，‎ S＝π×32＝9π，故选C.‎ ‎5．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)‎ A. B. C.或 D.或 答案　A 解析　∵sin 2α＝，α∈，‎ ‎∴cos 2α＝－且α∈，‎ 又∵sin(β－α)＝，β∈，‎ ‎∴cos(β－α)＝－，‎ ‎∴sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]‎ ‎＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α ‎＝×＋×＝－，‎ cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]‎ ‎＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ‎＝×－×＝，‎ 又α＋β∈，∴α＋β＝，故选A.‎ ‎6．(2017·全国Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，则cos＝________.‎ 答案　 解析　cos＝cos αcos ＋sin αsin ‎＝(cos α＋sin α)．‎ 又由α∈，tan α＝2知，sin α＝，cos α＝，‎ ‎∴cos＝×＝.‎ ‎7．(2017届湖南省百所重点中学阶段性诊断)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“‎ 问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．‎ 答案　21‎ 解析　设△ABC的对应边边长分别为a＝13里，‎ b＝14里，c＝15里，‎ cos C＝＝⇒sin C＝ ‎⇒S＝×13×14××250 000＝21×106(平方米)‎ ‎＝21(平方千米)．‎ ‎8.(2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝，cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，则BC的长为________．‎ 答案　3‎ 解析　因为cos∠BAD＝－，‎ 故sin∠BAD＝ ＝，‎ 在△ADC中运用余弦定理，可得 ‎ cos∠CAD＝＝，‎ 则sin∠CAD＝ ＝，‎ 所以sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)‎ ‎＝×＋×＝＝，‎ 在△ABC中运用正弦定理，可得 ＝⇒BC＝××＝3.‎ ‎9．(2017·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A＝4bsin B，ac＝(a2－b2－c2)．‎ ‎(1)求cos A的值；‎ ‎(2)求sin(2B－A)的值．‎ 解　(1)由asin A＝4bsin B及＝，得a＝2b.‎ 由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理，得 cos A＝＝＝－.‎ ‎(2)由(1)可得sin A＝，代入asin A＝4bsin B，‎ 得sin B＝＝.‎ 由(1)知，A为钝角，所以cos B＝＝.‎ 于是sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos 2B＝1－2sin2B＝，故sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A ‎＝×－×＝－.‎ ‎10．(2017·浙江省“超级全能生”联考)已知f(x)＝sin(ωx＋φ) 满足f ＝－f(x)，若其图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2c－a)cos B＝bcos A，求f(A)的取值范围．‎ 解　(1)∵f ＝－f(x)，‎ ‎∴f(x＋π)＝－f ＝f(x)，‎ ‎∴T＝π，∴ω＝2，‎ 则f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数为g(x)＝sin，而g(x)为奇函数，则有＋φ＝kπ，k∈Z，而|φ|<，则有φ＝－，‎ 从而f(x)＝sin.‎ ‎(2)∵(2c－a)cos B＝bcos A，‎ 由正弦定理得2sin Ccos B＝sin(A＋B)＝sin C，‎ 又C∈，∴sin C≠0，∴cos B＝，∴B＝.‎ ‎∵△ABC是锐角三角形，C＝－A<，‎ ‎∴