2021高考数学一轮复习课后限时集训26正弦定理与余弦定理三角形中的几何计算文北师大版 7页

课后限时集训26‎ 正弦定理与余弦定理、三角形中的几何计算 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　)‎ A．2　　　　B．1　　　　C.　　　　D. D　[由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.]‎ ‎2．(2019·成都模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. A　[由正弦定理得，sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，因为sin B≠0，所以sin Acos C＋sin Ccos A＝，即sin(A＋C)＝，所以sin B＝.已知a＞b，所以B不是最大角，所以B＝.]‎ ‎3．(2019·福建厦门一模)在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于(　　)‎ A. B. ‎ C. D. D　[在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a；由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋4a2－2a·2a·＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面积为S＝acsin B＝×1×2×＝.故选D.]‎ ‎4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)‎ - 7 -‎ A. B. ‎ C. D. C　[由题可知S△ABC＝absin C＝，所以a2＋b2－c2＝2absin C，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，所以sin C＝cos C．因为C∈(0，π)，所以C＝.故选C.]‎ ‎5．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 D　[由已知＝＝＝，所以＝或＝0，即C＝90°或＝.当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当＝时，由正弦定理，得＝，所以＝，即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则角A＝________.‎ 　[因为2asin B＝b，所以2sin Asin B＝sin B，得sin A＝，所以A＝或A＝.因为△ABC为锐角三角形，所以A＝.]‎ ‎7．(2019·郑州第二次质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＋2sin Ccos B＝sin A，C∈，a＝，cos B＝，则b＝________.‎ 　[由正弦定理及题意可得c＋2c×＝a，即a＝c，又a＝，所以c＝，由余弦定理得b2＝6＋－＝，所以b＝.]‎ ‎8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．‎ - 7 -‎ ＋1　[∵b＝2，B＝，C＝，‎ 由正弦定理＝，‎ 得c＝＝＝2，A＝π－＝，‎ ‎∴sin A＝sin＝sin cos ＋cos sin ＝.‎ 则S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.]‎ 三、解答题 ‎9．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.‎ ‎(1)求b，c的值；‎ ‎(2)求sin(B－C)的值．‎ ‎[解](1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得 b2＝32＋c2－2×3×c×.‎ 因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×.‎ 解得c＝5.所以b＝7.‎ ‎(2)由cos B＝－得sin B＝.‎ 由正弦定理得sin C＝sin B＝.‎ 在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角．‎ 所以cos C＝＝.‎ 所以sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C＝.‎ ‎10．(2019·郑州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S，且满足sin B＝.‎ ‎(1)求sin Asin C；‎ ‎(2)若4cos Acos C＝3，b＝，求△ABC的周长．‎ ‎[解](1)∵△ABC的面积为S＝acsin B，sin B＝，‎ - 7 -‎ ‎∴4××sin B＝b2，∴ac＝.‎ ‎∴由正弦定理可得sin Asin C＝＝.‎ ‎(2)∵4cos Acos C＝3，sin Asin C＝.‎ ‎∴cos B＝－cos(A＋C)＝sin Asin C－cos Acos C＝－＝－，‎ ‎∵b＝，∴ac＝＝＝＝8，‎ ‎∴由余弦定理可得15＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝(a＋c)2－12，‎ 解得a＋c＝3，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋.‎ ‎1．(2019·武汉调研测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. B　[因为在△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，因为a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，所以cos B＝sin B，所以tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝，故选B.]‎ ‎2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝(　　)‎ A. B．2 ‎ C．3 D. B　[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B可得acos B＝，又acos B－c－＝0，a2＝bc，所以c＋＝，即2b2－5bc＋2c2＝0，所以有(b－2c)·(2b－c)＝0.所以b＝2c或 - 7 -‎ c＝2b，又b＞c，所以＝2.故选B.]‎ ‎3．在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则sin A＝________，BC＝________.‎ 　4　[依题意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，解得sin∠ACD＝.又∠ACD是锐角，所以cos∠ACD＝.在△ACD中，AD＝＝4.由正弦定理得，＝，即sin A＝＝.在△ABC中，＝，即BC＝＝4.]‎ ‎4．(2019·西安质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知2acos2＋2ccos2＝b.‎ ‎(1)求证：2(a＋c)＝3b；‎ ‎(2)若cos B＝，S＝，求b.‎ ‎[解](1)证明：由已知得，‎ a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝b.‎ 在△ABC中，过B作BD⊥AC，垂足为D，‎ 则acos C＋ccos A＝b.‎ 所以a＋c＝b，即2(a＋c)＝3b.‎ ‎(2)因为cos B＝，所以sin B＝.‎ 因为S＝acsin B＝ac＝，‎ 所以ac＝8.‎ 又b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，2(a＋c)＝3b，‎ 所以b2＝－16×，所以b＝4.‎ ‎1．(2019·郴州一模)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是(　　)‎ A.或 B. - 7 -‎ C. D. A　[由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，则cos A＝＝＝，则A＝，‎ 由bc＝a2，得sin Bsin C＝sin2A＝×＝，‎ 即4sin(π－C－A)sin C＝，‎ 即4sin(C＋A)sin C＝4sinsin C＝，‎ 即4sin C＝2sin2C＋2sin Ccos C＝，‎ 即(1－cos 2C)＋sin 2C＝－cos 2C＋sin 2C＝，‎ 则－cos 2C＋sin 2C＝0，则cos 2C＝sin 2C，则tan 2C＝，‎ 即2C＝或，即C＝或，故选A.]‎ ‎2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2，BC边上的中线AM的长为.‎ ‎(1)求角A和角B的大小；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ ‎[解](1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，‎ 得a2－b2－c2＝－bc，∴cos A＝＝，‎ 又0＜A＜π，∴A＝.‎ 由sin Asin B＝cos2，‎ 得sin B＝，即sin B＝1＋cos C，‎ 则cos C＜0，即C为钝角，‎ ‎∴B为锐角，且B＋C＝，‎ 则sin＝1＋cos C，化简得cos＝－1，‎ 解得C＝，∴B＝.‎ ‎(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，‎ - 7 -‎ 由余弦定理得AM2＝b2＋－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，‎ 解得b＝2，‎ 故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝.‎ - 7 -‎