高考数学考点30 空间点、直线、平面之间的位置关系 30页

1 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ·公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内. ·公理 2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. ·公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ·公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. ·定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 一、平面的基本性质及应用 1．平面的基本性质 名称 图形 文字语言 符号语言 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面 内，那么这条直线上所有的点都在 此平面内 A l ， B l ， 且 A α ， B α⇒l⊂α 公理 2 过不在同一条直线上的三点，有且 只有一个平面 A，B，C 三点不共线⇒有且只 有一个平面 α，使 A α，B α，C α 推 论 1 经过一条直线和直线外的一点，有 且只有一个平面 若点 直线 a，则 A 和 a 确 定一个平面 推 论 2 经过两条相交直线，有且只有一个 平面 ⇒有且只有一个平 面 ，使 ， 公 理 2 的 推 论 推 论 3 经过两条平行直线，有且只有一个 平面 ⇒有且只有一个平面 ， 使 ，        A  a b P  a  b  ∥a b  a  b  2 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线 P α，且 P β⇒α∩β=l，P l，且 l 是唯一的 公理 4 ———l1 ———l2 ———l 平行于同一条直线的两条直线互相 平行 l1∥l，l2∥l⇒l1∥l2 2．等角定理 （1）自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. （2）符号语言： 如 图 （ 1）、（ 2） 所 示 ， 在 ∠ AOB 与 ∠ A′O′B′中 ， ， 则 或 . 图（1） 图（2） 二、空间两直线的位置关系 1．空间两直线位置关系的分类 空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类： （2）从是否共面的角度分类： 【注意】异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 2．异面直线所成的角 （1）异面直线所成角的定义 如图,已知两异面直线 a,b,经过空间任一点 O,分别作直线 a′∥a,b′∥b,相交直线 a′，b′所成的锐角（或直角）    ,OA O A OB O B   ∥ ∥ AOB A O B      180AOB A O B              两条直线有且仅有一个公共点：相交直线 平行直线两条直线无公共点： 异面直线 直线       相交直线共面直线直线 平行直线 不共面直线：异面直线 3 叫做异面直线 a 与 b 所成的角（或夹角）. （2）异面直线所成角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是 . （3）两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线 a,b,记 作 a⊥b. 三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系 1．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 （1）直线和平面位置关系的分类 ①按公共点个数分类： ②按是否平行分类： ③按直线是否在平面内分类： （2）平面和平面位置关系的分类 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： （1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线. 2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示 π(0, ]2    直线和平面相交— 有且只有一个公共点 直线和平面平行— 没有公共点 直线在平面内— 有无数个公共点      直线与平面平行 直线与平面相交直线与平面不平行 直线在平面内      直线在平面内 直线和平面相交直线不在平面内( 直线在平面外) 直线和平面平行 4 图形语言 符号语言 公共点 直线 与平面 相交 1 个 直线 与平面 平行 0 个 直线 在平面 内 无数个 平面 与平面 平 行 0 个 平面 与平面 相 交 无数个 3．常用结论 （1）唯一性定理 ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． ②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． a  a A  a  a ∥ a  a     ∥   l   5 ③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （2）异面直线的判定方法 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 考向一 平面的基本性质及应用 （1）证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理 3.常用方法有： ①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理 3 知这些点都在这两个平面的 交线上； 学# ②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上. （2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该 点.常结合公理 3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明 三线共点. （3）证明点或线共面问题，主要有两种方法： ①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内； ②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. 典例 1 （1）在下列命题中，不是公理的是 A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 （2）给出以下四个命题： ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点 A、B、C、D 共面，点 A、B、C、E 共面，则 A、B、C、D、E 共面； ③若直线 a、b 共面，直线 a、c 共面，则直线 b、c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面. 其中正确命题的个数是 A．0 B．1 6 C．2 D．3 【答案】（1）A （2）B 1．如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AA1 的中点. 求证：（1）E,C,D1,F 四点共面； （2）CE,D1F,DA 三线共点. 考向二 空间线面位置关系的判断 两条直线位置关系判断的策略： (1)异面直线的判定常用到的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的 条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常 用到． (2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的 7 位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直． (3)对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查. 学@ 典例 2 如图，在正方体 中，M、N 分别为棱 C1D1、C1C 的中点，有以下四个结论： ①直线 AM 与 CC1 是相交直线； ②直线 AM 与 BN 是平行直线； ③直线 BN 与 MB1 是异面直线； ④直线 AM 与 DD1 是异面直线． 其中正确的结论为 A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】A 故选 A． 2．若直线 l 与平面 α 相交，则 A．平面 α 内存在直线与 l 异面 B．平面 α 内存在唯一一条直线与 l 平行 C．平面 α 内存在唯一一条直线与 l 垂直 D．平面 α 内的直线与 l 都相交 1 1 1 1ABCD A B C D 8 典例 3 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 A1B1,B1C1 的中点.问: （1）AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由. （2）D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由. 3．如图，平面 ,且 ，求证:b,c 是异面直线., , ,a b b a A c       平面 c a∥ 9 考向三 异面直线所成的角 求异面直线所成的角的常见策略： (1)求异面直线所成的角常用平移法． 平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形 平移． (2)求异面直线所成角的步骤 ①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角． 如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. (3)判定空间两条直线是异面直线的方法 ①判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线． ②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 典例 4 如图，四棱锥 中， ， ， 和 都是等边 三角形，则异面直线 和 所成角的大小为 A． B． C． D． 【答案】A P ABCD 90ABC BAD     2BC AD PAB△ PAD△ CD PB 90 75 60 45 10 则 ，所以 ，故选 A. #网 【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几 何体的结构特征，把空间中异面直线 和 所成的角转化为平面角 ，放置在三角形中，利用 解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属 于基础题. 4．如图,已知棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,设 M,N 分别是 A1B1,BC 的中点. （1）求 MN 与 A1C1 所成角的正切值; （2）求 B1D 与 A1C1 所成角的大小. 1．在正方体 中，与 成异面直线的棱共有 A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 2 2 2AG GH AH  90AEF   CD PB AEF 11 2．下面四个条件中，能确定一个平面的条件是 A．空间中任意三点 B．空间中两条直线 C．一条直线和一个点 D．两条平行直线 3．已知直线 平面 ,直线 平面 ,则 A． B． 异面 C． 相交 D． 无公共点 4．若直线 a α,给出下列结论： ①α 内的所有直线与 a 异面； ②α 内的直线与 a 都相交； ③α 内存在唯一的直线与 a 平行； ④α 内不存在与 a 平行的直线 其中成立的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图,在四面体中,若直线 和 相交,则它们的交点一定 A．在直线 上 B．在直线 上 C．在直线 上 D．都不对 6．在空间中,下列命题正确的是 A．若平面 内有无数条直线与直线 l 平行,则 B．若平面 内有无数条直线与平面 平行,则 C．若平面 内有无数条直线与直线 l 垂直,则 D．若平面 内有无数条直线与平面 垂直,则 7．给出下列四种说法: ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； ②一条直线和一个点确定一个平面； ③若四点不共面, 则每三点一定不共线； ④三条平行线确定三个平面． 正确说法的个数为  l ∥  ∥ l    12 A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知 为异面直线, 平面 平面 ，直线 满足 ,则 A． 且 B． 且 C． 与 相交,且交线垂直于 D． 与 相交,且交线平行于 9．若空间中四条两两不同的直线 ，满足 ， ， ，则下列结论一定正确的是 A． B． C． 与 既不垂直也不平行 D． 与 的位置关系不确定 10．在如图所示的正方体 中 分别是棱 的中点,则异面直线 与 所成 角的余弦值为 A． B． C． D． 11．已知在正方体 中（如图）， 平面 ，且 与 不平行，则下列一定不 可能的是 A．l 与 AD 平行 B．l 与 AB 异面 ,m n  ∥ l ∥ 1 2 3 4, , ,l l l l 1 2l l 2 3l l∥ 3 4l l 1 4l l 1 4l l∥ 1l 4l 1l 4l 1 1 1 1ABCD A B C D 14 7 5 7 10 5 2 5 5 1 1 1 1ABCD A B C D l  1 1 1 1A B C D l 1 1B C 13 C．l 与 CD 所成的角为 30° D．l 与 BD 垂直 12．在空间四边形 中， 分别是 的中点.若 ，且 与 所成的角为 ，则四边形 的面积为 A． B． C． D． 13．我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺， 无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体 ，其三个侧面皆为等腰梯形， 两个底面为直角三角形，其中 尺， 尺， 尺， 间的距离为 尺， 间的距 离为 尺，则异面直线 与 所成角的正弦值为 A． B． C． D． 14．如图是正四面体的平面展开图， 分别是 的中点，在这个正四面体中：① 与 平行；② 与 为异面直线；③ 与 成 60°角；④ 与 垂直.以上四个命题中，正确命题的个 数是 A．1 B．2 C．3 D．4 ABCD , , ,E F G H , , ,AB BC CD DA AC BD a  AC BD 60 EFGH 23 8 a 23 4 a 23 2 a 23a 14 15．若直线 和平面 平行,且直线 ,则两直线 和 的位置关系为 _____ . 16．如图所示， 是长方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，给出下 列结论： ①A、M、O 三点共线；②A、M、O、A1 不共面；③A、M、C、O 共面；④B、B1、O、M 共面． 其中正确结论的序号为____________． 17．已知 m,n 是两条不同的直线， ,β 是两个不同的平面,给出下列命题: ①若 ⊥β, ∩β=m,n⊥m,则 n⊥α 或 n⊥β; ②若 α∩β=m,n//α,n//β,则 n//m ; ③若 m 不垂直于平面 α,则 m 不可能垂直于 α 内的无数条直线; ④若 m⊥α,n⊥β, α//β,则 m//n . 其中正确的是__________.(填上所有正确的序号) 18．在四面体 中, 分别是 的中点,若 所成的角为 ,且 ,则 的长度为 __________. 19．如图，已知四棱锥 中，底面 为菱形， 分别是 的中点， 在 上，且 . 1 1 1 1ABCD A B C D 1 3PG PD 15 证明:点 四点共面. 20．已知空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是边 AB,AD 的中点,F,G 分别是边 BC,CD 的中点. (1)求证:BC 与 AD 是异面直线; (2)求证:EG 与 FH 相交. 21．如图,等腰直角三角形 ABC 中,∠A＝90°,BC＝ ,DA⊥AC,DA⊥AB,若 DA＝1,且 E 为 DA 的中点.求异面 直线 BE 与 CD 所成角的余弦值. 16 1．（2018 新课标全国Ⅱ理科）在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A． B． C． D． 2．（2017 新课标全国Ⅱ理科）已知直三棱柱 中， ， ， ， 则异面直线 与 所成角的余弦值为 A． B． C． D． 3．（2015 安徽理科）已知 ， 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是 A．若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行 B．若 ， 平行于同一平面，则 与 平行 C．若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线 1 1 1 1ABCD A B C D 1AB BC  1 3AA  1AD 1DB 1 5 5 6 5 5 2 2 1 1 1ABC A B C 120ABC   2AB  1 1BC CC  1AB 1BC 3 2 15 5 10 5 3 3 m n       m n m n     17 D．若 ， 不平行，则 与 不可能垂直于同一平面 4．（2016 新课标全国Ⅰ理科）平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A， //平面 CB 1D1， 平面 ABCD=m， 平面 ABB1 A1=n，则 m，n 所成角的正弦值为 A． B． C． D． 5．(2017 新课标全国Ⅲ理科) a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在 直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角； ②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 6．（2015 浙江理科）如图，三棱锥 中， ，点 分别 是 的中点，则异面直线 ， 所成的角的余弦值是 ． 7．（2016 上海理科）将边长为 1 的正方形 （及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，如图， 长 为 ， 长为 ，其中 与 在平面 的同侧. m n m n α - α α I α I 3 2 2 2 3 3 1 3 A BCD 3, 2AB AC BD CD AD BC      ,M N ,AD BC AN CM 1 1AAO O 1OO AC 2 π3 1 1A B π 3 1B C 1 1AAO O 18 （1）求三棱锥 的体积； （2）求异面直线 与 所成的角的大小. 1．【解析】（1）如图,连接 EF,CD1,BA1. 因为 E,F 分别是 AB,AA1 的中点,所以 EF∥BA1. 又 BA1∥CD1,所以 EF∥CD1. 所以 E,C,D1,F 四点共面. （2）因为 EF∥CD1,EF