2019届二轮复习【高中数学】必须掌握的题型之二次函数学案（全国通用） 8页

‎【高中数学】必须掌握的题型之二次函数 ‎【知识概括】‎ ‎1.二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式 ‎①一般式：.‎ ‎②顶点式：.‎ ‎③零点式: .‎ ‎(2)二次函数的图象和性质 解析式 图象 定义域 值域 单调性 在上单调递减；‎ 在上单调递增 在上单调递增；‎ 在上单调递减 对称性 函数的图象关于对称 题型一　求二次函数的解析式 例1　 ‎(1)(2016·南京模拟)已知二次函数与轴的两个交点坐标为和且有最小值，则 .‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】　设函数的解析式为，‎ 所以，由，‎ 得，所以.‎ ‎(2)已知二次函数的图象经过点，它在轴上截得的线段长为，并且对任意，都有，求的解析式.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】　对任意恒成立，‎ 的对称轴为.‎ 又的图象被轴截得的线段长为.‎ 的两根为和.‎ 设的解析式为，‎ 又的图象过点，‎ ‎，‎ 所求的解析式为，‎ 即.‎ ‎【思维升华】　求二次函数解析式的方法 题型二　二次函数的图象和性质 例2 二次函数的单调性 ‎　函数在区间上是递减的，则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】　当时，在上递减，满足条件.‎ 当时，的对称轴为，‎ 由在上递减知，‎ 解得.‎ 综上，的取值范围为.‎ 例3 二次函数之定轴定区间 已知函数在闭区间上取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画图像，找出最高点和最低点，即可。‎ ‎【思维升华】如果认定端点处一定取得最值的，拉出去打一顿，打到怀疑人生即可.‎ 二次函数之定轴动区间 例4：已知函数在闭区间上有最大值，最小值2，则的取值范围为 .‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】　如图，由图象可知的取值范围是.‎ 例5：求函数在闭区间上的取值范围为 .‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎1.如图 ‎2.（2咋来的？清楚不？）‎ ‎，（认为最小的，可以拉出去打了，不过要打满5分钟哦）‎ 3. ‎，（最小值写成3的，开打吧）‎ 二次函数之动轴定区间 例6.已知二次函数，求函数的值域.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎1.时 如图，值域为 2. 时 当时，值域为；当时，值域为（这里理解没？）‎ ‎3.‎ 值域为 ‎【思维升华】都是根据对称轴和开口方向来画草图，在草图上找到最高点和最低点的.‎ 二次函数之动轴动区间 高中碰到的不多，这里不做赘述了 ‎　二次函数中的恒成立问题 例7 (1)已知是实数，函数在上恒小于零，则实数的取值范围为 .‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】　在上恒成立.‎ 当时，，成立；‎ 当时，，因为，当时，右边取最小值，所以.‎ 综上，实数的取值范围是 .‎ ‎(2)(2016·江苏徐州一中质检改编)若在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】　求二次函数在给定区间上的最大值，二次函数的图象的对称轴为直线.‎ ‎①当，即时，或，由，得且，解得，又，故；‎ ‎②当，即时，函数在上单调递增，故，由，得，又，故；‎ ‎③当，即时，函数在上单调递减，故，由，得，‎ 又，故.‎ 综上知，实数的取值范围为.‎ ‎【思维升华】　(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.‎ ‎(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 ‎①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.‎ ‎②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：恒成立，恒成立.‎ 分类讨论思想在二次函数最值中的应用 ‎　已知函数在区间上有最大值，求实数的值.‎ ‎ 思想方法指导　已知函数的最值，而图象的对称轴确定，要讨论的符号.‎ ‎【答案】的值为或. ‎ ‎【解析】　. ‎ ‎（1）当时，函数在区间上的值为常数，不符合题意，舍去； ‎ ‎(2)当时，函数在区间上是增函数，最大值为，解得；‎ ‎(3)当时，函数在区间上是减函数，最大值为，解得.‎ 综上可知，的值为或. ‎