2018届二轮复习一题多变，利用导数研究单调性学案（全国通用） 6页

‎ ‎ ‎【经典母题】已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0).若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】a≥－.‎ ‎【解析】　由h(x)在[1，4]上单调递减得，‎ 当x∈[1，4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立， ‎ 即a≥－恒成立.设G(x)＝－， ]‎ 所以a≥G(x)max，而G(x)＝－1，‎ 因为x∈[1，4]，所以∈，‎ 所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－.‎ ‎【迁移探究1】若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；‎ ‎【答案】a>－1‎ ‎【迁移探究2】讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)的单调性；‎ ‎【解析】：h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2= ‎ 当时， 则 在 上递增，在 递减；‎ 当时， ‎ 当时，二次开口向上， 则 所以 在(0，＋∞)上递增；‎ 当0>时，所以有两个不等根 且 即两根都为正数，又二次开口向上，所以在 ‎ 当时，两根一正一负，，，又开口向下，所以 在 ‎ 综上：(1)当时，二次开口向上， 则 所以 在(0，＋∞)上递增；‎ ‎(2) 当0>时，在 ‎ ‎(3) 当时， 在 上递增，在 递减；‎ ‎(4) 当时，在 ‎ 规律方法　利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法 ‎(1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间.‎ 方法一：转化为“f′(x)>0(<0)在区间D上有解”；‎ 方法二：转化为“存在区间D的一个子区间使f′(x)>0(<0)成立”.‎ ‎(2)函数f(x)在区间D上递增(减).‎ 方法一：转化为“f′(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”问题；‎ 方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.‎ 易错警示　对于①：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；‎ 对于②：h(x)在(0，＋∞)上存在递减区间，应等价于h′(x)<0在(0，＋∞)上有解，易误认为“等价于h′(x)≤0在(0，＋∞)上有解”，多带一个“＝”之所以不正确，是因为“h′(x)≤0在(0，＋∞)上有解即为h′ (x)<0在(0，＋∞)上有解，或h′(x)＝0在(0，＋∞)上有解”，后者显然不正确；‎ 对于③：h(x)在[1，4]上单调递减，应等价于h′(x)≤0在[1，4]上恒成立，易误认为“等价于h′(x)<0在[1，4]上恒成立”.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(1，2] B.(4，＋∞] C.[－∞，2) D.(0，3] [来源: ]‎ ‎【答案】　A ‎【解析】　∵f(x)＝x2－9ln x，∴f′(x)＝x－(x>0)，‎ 当x－≤0时，有00且a＋1≤3，解得1e2 017f(0)‎ B.f(1)>ef(0)，f(2 017)>e2 017f(0)‎ C.f(1)>ef(0)，f(2 017)0，解得a>－.‎ 所以实数a的取值范围是.‎ ‎8.设函数f(x)＝x3－x2＋1. 设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围 ‎ ‎【答案】(－∞，－2).‎ ‎【解析】g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，‎ 使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，‎ 即x∈(－2，－1)时，a<＝－2，‎ 当且仅当x＝即x＝－时等号成立.‎ ‎9.已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则实数t的取值范围是________. ‎ ‎【答案】　(0，1)∪(2，3)‎ ‎10.已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R). 若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t，3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.‎ ‎∴g(x)＝x3＋x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，‎ 即g′(x)＝0在区间(t，3)上有变号零点.由于g′(0)＝－2，∴ 当g′(t)<0，即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1，2]恒成立，‎ 由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，即m<－5且m<－9，即m<－9；由g′ (3)>0，即m>－，所以－