2018届二轮复习数列求和与数学归纳法课件理（全国通用） 50页

第 2 讲　数列求和与数学归纳法 - 2 - 热点考题诠释 高考方向解读 1 . (2017 全国 2, 理 3) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题 :“ 远望巍巍塔七层 , 红光点点倍加增 , 共灯三百八十一 , 请问尖头几盏灯 ?” 意思是 : 一座 7 层塔共挂了 381 盏灯 , 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍 , 则塔的顶层共有灯 ( 　　 ) A . 1 盏 B . 3 盏 C . 5 盏 D . 9 盏 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 3 - 热点考题诠释 高考方向解读 2 . (2017 全国 1, 理 12) 几位大学生响应国家的创业号召 , 开发了一款应用软件 . 为激发大家学习数学的兴趣 , 他们推出了 “ 解数学题获取软件激活码 ” 的活动 . 这款软件的激活码为下面数学问题的答案已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16, … , 其中第一项是 2 0 , 接下来的两项是 2 0 ,2 1 , 再接下来的三项是 2 0 ,2 1 ,2 2 , 依此类推 . 求满足如下条件的最小整数 N : N> 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂 . 那么该款软件的激活码是 ( 　　 ) A . 440 B . 330 C . 220 D . 110 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 4 - 热点考题诠释 高考方向解读 3 . (2017 全国 3, 文 17) 设数列 { a n } 满足 a 1 + 3 a 2 + … + (2 n- 1) a n = 2 n. (1) 求 { a n } 的通项公式 ; 答案 答案 关闭 - 5 - 热点考题诠释 高考方向解读 4 . (2017 天津 , 理 18) 已知 { a n } 为等差数列 , 前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ),{ b n } 是首项为 2 的等比数列 , 且公比大于 0, b 2 +b 3 = 12, b 3 =a 4 - 2 a 1 , S 11 = 11 b 4 . (1) 求 { a n } 和 { b n } 的通项公式 ; (2) 求数列 { a 2 n b 2 n- 1 } 的前 n 项和 ( n ∈ N * ) . 解 : (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d , 等比数列 { b n } 的公比为 q. 由已知 b 2 +b 3 = 12, 得 b 1 ( q+q 2 ) = 12, 而 b 1 = 2, 所以 q 2 +q- 6 = 0 . 又因为 q> 0, 解得 q= 2 . 所以 , b n = 2 n . 由 b 3 =a 4 - 2 a 1 , 可得 3 d-a 1 = 8 . ① 由 S 11 = 11 b 4 , 可得 a 1 + 5 d= 16, ② 联立 ①② , 解得 a 1 = 1, d= 3, 由此可得 a n = 3 n- 2 . 所以 , 数列 { a n } 的通项公式为 a n = 3 n- 2, 数列 { b n } 的通项公式为 b n = 2 n . - 6 - 热点考题诠释 高考方向解读 (2) 设数列 { a 2 n b 2 n- 1 } 的前 n 项和为 T n , 由 a 2 n = 6 n- 2, b 2 n- 1 = 2 × 4 n- 1 , 有 a 2 n b 2 n- 1 = (3 n- 1) × 4 n , 故 T n = 2 × 4 + 5 × 4 2 + 8 × 4 3 + … + (3 n- 1) × 4 n , 4 T n = 2 × 4 2 + 5 × 4 3 + 8 × 4 4 + … + (3 n- 4) × 4 n + (3 n- 1) × 4 n+ 1 , 上述两式相减 , 得 - 3 T n = 2 × 4 + 3 × 4 2 + 3 × 4 3 + … + 3 × 4 n - (3 n- 1) × 4 n+ 1 - 7 - 热点考题诠释 高考方向解读 高考中对数列求和及其综合应用的考查 , 主、客观题均会出现 . 主观题常与函数、不等式等知识点交汇 , 综合考查函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想 . 考查内容主要是 : 以等差、等比数列为载体 , 考查数列的通项、求和 ; 利用递推关系求数列的通项、前 n 项的和 ; 根据题设信息 , 研究有关数列的性质 , 利用数学归纳法进行证明 . 该部分的重点是等差、等比数列的基本公式和性质的理解和应用 , 难点是数列与函数、解析几何、不等式等知识点的交汇问题 , 也会涉及对数列不等式放缩等技巧 . 考向预测 : 从前几年考试情况来看 ,2018 年浙江高考数列与不等式的综合应用仍然是热点和难点 , 是高考的压轴题 . 平时应注意数列的不等式放缩技巧和数学归纳法技巧的积累 . - 8 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 例 1 (1) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n . 已知 S 2 = 4, a n+ 1 = 2 S n + 1, n ∈ N * . ① 求通项公式 a n ; ② 求数列 { |a n -n- 2 | } 的前 n 项和 . (2) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 若 a 1 = 1, 且 S n =ta n - , 其中 n ∈ N * . ① 求实数 t 的值和数列 { a n } 的通项公式 ; - 9 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 10 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 11 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 规律方法 在处理一般数列求和问题时 , 一定要注意使用转化思想 . 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和 , 在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列 , 哪些项构成等比数列 , 清晰正确地求解 . (1) 在利用分组求和法求和时 , 如果数列的各项是正负交替的 , 那么一般需要对项数 n 进行讨论 , 最后验证是否可以合并为一个公式 . (2) 错位相减法求数列的前 n 项和是一种重要的方法 . 在应用这种方法时 , 一定要抓住数列的特征 , 即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题 . (3) 裂项相消法的解题思想是利用通项变形 , 将通项分裂成两项或几项的差 , 通过相加过程中的相互抵消 , 最后只剩下有限项的和 . 利用裂项相消法求和时 , 应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 , 也有可能前面剩两项 , 后面也剩两项 ( 即前后 “ 对称 ” ) . - 12 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 13 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 14 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 迁移训练 2 　 已知 { a n } 是各项均为正数的等比数列 , 且 a 1 +a 2 = 6, a 1 a 2 =a 3 .   (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2){ b n } 为各项非零的等差数列 , 其前 n 项和为 S n . 已知 S 2 n+ 1 =b n b n+ 1 , - 15 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 16 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 例 2 数列 { a n } 各项均为正数 , 且对任意 n ∈ N * , 满足 a n+ 1 =a n +c ( c> 0 且为常数 ) . (1) 若 a 1 ,2 a 2 ,3 a 3 依次成等比数列 , 求 a 1 的值 ( 用常数 c 表示 ); - 17 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 18 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 19 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 规律方法 数列与不等式相结合的问题是近几年高考热点 , 常见题型是数列前 n 项的和 S n 与某常数或某式的不等关系问题 , 或证明或求值 . 证不等式的常用方法有 : ① 作差、作商、比较 ; ② 判断数列的单调性 , 根据数列的取值范围证明不等式 ; ③ 合理利用放缩法 . 而求值问题则常常转化为解不等式来解决 . - 20 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 21 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 22 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 23 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 例 3 已知数列 { x n } 是各项均为正数的等比数列 , 且 x 1 +x 2 = 3, x 3 -x 2 = 2 . (1) 求数列 { x n } 的通项公式 ; (2) 如图 , 在平面直角坐标系 xOy 中 , 依次连接点 P 1 ( x 1 ,1), P 2 ( x 2 ,2), … , P n+ 1 ( x n+ 1 , n+ 1) 得到折线 P 1 P 2 … P n+ 1 , 求由该折线与直线 y= 0, x=x 1 , x=x n+ 1 所围成的区域的面积 T n . - 24 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 解 : (1) 设数列 { x n } 的公比为 q , 由已知 q> 0 . 所以 3 q 2 - 5 q- 2 = 0 . 因为 q> 0, 所以 q= 2, x 1 = 1, 因此数列 { x n } 的通项公式为 x n = 2 n- 1 . - 25 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 (2) 过 P 1 , P 2 , P 3 , … , P n+ 1 向 x 轴作垂线 , 垂足分别为 Q 1 , Q 2 , Q 3 , … , Q n+ 1 , 由 (1) 得 x n+ 1 -x n = 2 n - 2 n- 1 = 2 n- 1 , 记梯形 P n P n+ 1 Q n+ 1 Q n 的面积为 b n , 所以 T n =b 1 +b 2 + … +b n = 3 × 2 - 1 + 5 × 2 0 + 7 × 2 1 + … + (2 n- 1) × 2 n- 3 + (2 n+ 1) × 2 n- 2 . ① 又 2 T n = 3 × 2 0 + 5 × 2 1 + 7 × 2 2 + … + (2 n- 1) × 2 n- 2 + (2 n+ 1) × 2 n- 1 , ② ① - ② , 得 -T n = 3 × 2 - 1 + (2 + 2 2 + … + 2 n- 1 ) - (2 n+ 1) × 2 n- 1 - 26 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 规律方法 数列与函数、方程、解析几何、不等式的综合问题是近几年高考的热点 , 解题时要注意数列与函数的内在联系 , 灵活运用函数的思想方法求解 , 在该问题的求解过程中往往会遇到递推数列 , 因此掌握递推数列的常见解法有助于解该类问题 . - 27 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 28 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 29 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 30 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 31 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 32 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 33 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 34 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 规律方法 数学归纳法可用来证明一些与自然数有关的命题 , 应用数学归纳法证题时 , 要注意以下几点 : (1) 弄清命题结构 : 弄清当 n 取初始值 n 0 时及当 n=k , n=k+ 1 时的命题的结构 ; (2) 用好归纳假设 : 在第二步进行归纳证明时 , 一定要用上归纳假设 , 完成从 n=k 到 n=k+ 1 时的归纳证明 ; (3) 注意解题格式 : 第一步是归纳基础 , 做好初始值时的命题证明 ; 第二步是归纳证明 , 即在假设 n=k 时命题成立的基础上证明 n=k+ 1 时命题也成立 , 最后是结语 , 由 (1)(2) 可知命题对任意 n ∈ N * ( n ≥ n 0 ) 都成立 . - 35 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 36 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 37 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 38 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 39 - 解答题解题过程要求 “ 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ” , 因此 , 在解答题答题过程中应该有规范的书写步骤 , 分步得分 . 典例 ( 本题 15 分 ) 设数列 { a n } 满足 a n+ 1 = -a n + 1( n ∈ N * ), S n 为 { a n } 的前 n 项和 . 证明 : 对任意 n ∈ N * , (1) 当 0 ≤ a 1 ≤ 1 时 ,0 ≤ a n ≤ 1; - 40 - - 41 - - 42 - 1 2 3 4 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 43 - 1 2 3 4 2 . 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且满足 S 4 = 24, S 7 = 63 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; - 44 - 1 2 3 4 - 45 - 1 2 3 4 - 46 - 1 2 3 4 - 47 - 1 2 3 4 - 48 - 1 2 3 4 - 49 - 1 2 3 4 - 50 - 1 2 3 4