【数学】2020届一轮复习人教B版1-3　简易逻辑联结词、全称量词与存在量词学案 2页

‎1.3　简易逻辑联结词、全称量词与存在量词 典例精析 题型一　全称命题和特称命题的真假判断 ‎【例1】判断下列命题的真假.‎ ‎(1)∀x∈R，都有x2－x＋1＞；‎ ‎(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β；‎ ‎(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N；‎ ‎(4)∃x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.‎ ‎【解析】(1)真命题，因为x2－x＋1＝(x－)2＋≥＞.‎ ‎(2)真命题，例如α＝，β＝，符合题意.‎ ‎(3)假命题，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4∉N.‎ ‎(4)真命题，例如x0＝0，y0＝3，符合题意.‎ ‎【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.‎ ‎【变式训练1】已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：∀x∈R，x2＞0.则下面结论正确的是(　　)‎ A.命题“p∧q”是真命题 B.命题“p∧q”是假命题 C.命题“p∨q”是真命题 D.命题“p∧q”是假命题 ‎【解析】选D.先判断命题p和q的真假，再逐个判断.容易知命题p是真命题，如x＝，p是假命题；因为当x＝0时，x2＝0，所以命题q是假命题，q是真命题.所以“p∧q”是假命题，A错误；“p∧q”是真命题，B错误；“p∨q”是假命题，C错误；“p∧q”是假命题，D正确.‎ 题型二　含有一个量词的命题的否定 ‎【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假.‎ ‎(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；‎ ‎(2)q：所有的正方形都是矩形；‎ ‎(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；‎ ‎(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.‎ ‎【解析】(1) p：∃x∈R，x2－x＋＜0，是假命题.‎ ‎(2) q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.‎ ‎(3) r：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命题.‎ ‎(4) s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题.‎ ‎【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可.‎ ‎【变式训练2】已知命题p：∀x∈(1，＋∞)，log3x＞0，则p为　　　　　.‎ ‎【解析】∃x0∈(1，＋∞)，log3x0≤0.‎ 题型三　命题的真假运用 ‎【例3】若r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0，如果“对任意的x∈R，r(x)为假命题”且“对任意的x∈R，s(x)为真命题”，求实数m的取值范围.‎ ‎【解析】因为由m＜sin x＋cos x＝sin(x＋)恒成立，得m＜－；‎ 而由x2＋mx＋1＞0恒成立，得m2－4＜0，即－2＜m＜2. ‎ 依题意，r(x)为假命题且s(x)为真命题，所以有m≥－且－2＜m＜2，‎ 故所求m的取值范围为－≤m＜2.‎ ‎【点拨】先将满足命题p、q的m的取值集合A、B分别求出，然后由r(x)为假命题(取A的补集)，s(x)为真命题同时成立(取交集)即得.‎ ‎【变式训练3】(2018广东模拟)设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立.已知下列函数：①f(x)＝；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos πx，其中属于集合M的函数是　　　(写出所有满足要求的函数的序号).‎ ‎【解析】②④.对于①，方程＝＋1，显然无实数解；‎ 对于②，由方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1；‎ 对于③，方程lg[(x＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg 3，显然也无实数解；‎ 对于④，方程cos[π(x＋1)]＝cos πx＋cos π，‎ 即cos πx＝，显然存在x使等式成立.故填②④.‎ 总结提高 ‎1.同一个全称命题，特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择.‎ ‎2.命题的否定，一定要注意与否命题的区别：全称命题的否定，先要将它变成特称命题，然后将结论加以否定；反过来，对特称命题的否定，先将它变成全称命题，然后对结论加以否定.而命题的否命题，则是将原命题中的条件否定当条件，结论否定当结论构成一个新的，即否命题.‎