2019届二轮（理科数学）　求数列的前n项和课件（34张）（全国通用） 34页

第3节　求数列的前n项和 内容简介 本节主要包含以下三方面的知识点 : (1) 数列求和方法的介绍 ; (2) 常见数列求和公式 ; (3) 常见的裂项公式 . 考试说明要求 : (1) 掌握等差、等比数列的前 n 项和公式 , 并能用公式解决简单的问题 ; (2) 理解等差、等比数列的前 n 项和公式的推导方法 ; (3) 能利用等差、等比数列的前 n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和 ; (4) 掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法 . 知识梳理 例题精讲 课前检测 知识梳理 求数列的前 n 项和的方法 (1) 公式法 ①直接利用等差数列、等比数列的求和公式 : 等差数列的前 n 项和公式 : . 等比数列的前 n 项和公式 : a. 当 q=1 时 ,S n =na 1 ; b. 当 q≠1 时 , . ② 一些常见数列的前 n 项和 : 1+2+3+…+n= . 1+3+5+…+(2n-1)= . 2+4+6+…+2n= . 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 = . 1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 = . (2) 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项之积构成的 , 那么这个数列的前 n 项和即可用此方法来求 , 如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的 . (4)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项或把数列的项重新组合,使其转化为几个等差数列或等比数列,然后由等差、等比数列求和公式再求解. (5)并项求和法 一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n =(-1) n f(n)类型,可采用两项合并求解. 例如: S n =100 2 -99 2 +98 2 -97 2 +…+2 2 -1 2 =(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. (6)倒序相加法 如果一个数列{a n },与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此方法推导的. 课前检测 1.( 2017 · 全国 Ⅲ 卷 ) 等差数列 {a n } 的首项为 1, 公差不为 0. 若 a 2 ,a 3 ,a 6 成等比数列 , 则 {a n } 前 6 项的和为 ( 　 　 ) (A)-24 (B)-3 (C)3 (D)8 A C 例题精讲 考点一 公式法求和 解: (1)由题意得a 1 · 5a 3 =(2a 2 +2) 2 , 由a 1 =10,{a n }为公差为d的等差数列得, d 2 -3d-4=0, 解得d=-1或d=4. 所以a n =-n+11(n∈ N * )或a n =4n+6(n∈ N * ). 【 例 1 】 在公差为 d 的等差数列 {a n } 中 , 已知 a 1 =10, 且 a 1 ,2a 2 +2,5a 3 成等比数列 . (1) 求 d,a n ; (2) 若 d<0, 求 |a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+…+|a n |. 变式: ( 2016 · 浙江卷 )设数列{a n }的前n项和为S n ,已知S 2 =4,a n+1 =2S n +1,n∈ N * . (1)求通项公式a n ; (2)求数列{|a n -n-2|}的前n项和. 考点二 错位相减法 (2) 记数列 {a n b n } 的前 n 项和为 T n , 求 T n . 解 : (2) 由 (1) 知 a n b n =n · 2 n , 因此 ,T n =2+2×2 2 +3×2 3 + … +n · 2 n , 2T n =2 2 +2×2 3 +3×2 4 + … +n · 2 n+1 , 所以 T n -2T n =2+2 2 +2 3 + … +2 n -n · 2 n+1 . 故T n =(n-1)2 n+1 +2(n∈ N * ). 变式 : (2017 · 山东卷 ) 已知 {x n } 是各项均为正数的等比数列 , 且 x 1 +x 2 =3,x 3 -x 2 =2. (1) 求数列 {x n } 的通项公式 ; (2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P 1 (x 1 ,1),P 2 (x 2 ,2),…,P n+1 (x n+1 , n+1)得到折线P 1 P 2 …P n+1 ,求由该折线与直线y=0,x=x 1 ,x=x n+1 所围成的区域的面积T n . 考点三 裂项相消法 【 例 3 】 (2017 · 绍兴二诊 ) 若 A n 和 B n 分别表示数列 {a n } 和 {b n } 的前 n 项和 , 对任意正整数 n,a n =2(n+1),3A n -B n =4n. (1) 求数列 {b n } 的通项公式 ; 变式 : 已知等差数列 {a n } 的公差为 2, 前 n 项和为 S n , 且 S 1 ,S 2 ,S 4 成等比数列 . (1) 求数列 {a n } 的通项公式 ; 考点四 分组求和法 分组求和法是较常见的数列求和方法,是把一个复杂的数列进行拆项、并项,组合成两个或几个等差数列、等比数列或常见的其他数列的和的形式,运用分组求和法,要注意有些数列较繁琐,会多出一项或几项不符合的数影响分组转化求和,需要我们将它们从总体分开,把其余的项进行拆项或并项求和,再一次性计算原数列的和. 【 例4 】 已知数列{a n }的通项公式a n =2 · 3 n-1 +(-1) n (ln 2-ln 3)+(-1) n nln 3,求其前n项和S n . 变式 2: 已知数列 {a n } 的前 n 项是 3+2-1,6+4-1,9+8-1,12+16-1,…, 则数列 {a n } 的通项公式 a n = 　　　　 , 其前 n 项和 S n = 　　　　　　　　　 .  考点五 并项求和法 答案 : 3 030 考点六 倒序相加法 如果一个数列前后具有 “ 对称性 ” , 即首末两端等 “ 距离 ” 的两项的和相等或等于同一常数 , 那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法 . 【 例 6 】 已知 lg x+lg y=1, 且 S n =lg x n +lg (x n-1 y)+lg (x n-2 y 2 )+…+lg (xy n-1 ) +lg y n , 则 S n = 　 .  点击进入 课时训练