高中数学选修2-2课时练习第二章 1 11页

‎§1　变化的快慢与变化率 ‎[学习目标]‎ ‎1．理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念．‎ ‎2．会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度．‎ ‎[知识链接]‎ 很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？‎ 答　气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝，‎ ‎(1)当V从0增加到‎1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，‎ 气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)．‎ ‎(2)当V从‎1 L增加到‎2 L时，气球半径增加了 r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，‎ 气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L)．‎ 可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．函数的平均变化率 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.‎ ‎2．函数的瞬时变化率 对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy ‎＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率为＝＝；当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．‎ ‎3．平均变化率与瞬时变化率的特点 平均变化率用来刻画函数值在某个范围内变化的快慢，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 要点一　求平均变化率 例1　已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.‎ ‎(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.‎ ‎(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？‎ 解　(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，‎ ‎∴＝－4.9Δx－3.3.‎ ‎①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；‎ ‎②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；‎ ‎③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；‎ ‎④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.‎ ‎(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.‎ 规律方法　求平均变化率的主要步骤：‎ ‎(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．‎ ‎(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.‎ ‎(3)得平均变化率＝.‎ 跟踪演练1　求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．‎ 解　函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝ ‎＝＝6x0＋3Δx.‎ 当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.‎ 要点二　求瞬时变化率 例2　已知函数f(x)＝2x2＋1.‎ ‎(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率；‎ ‎(3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率．‎ 解　(1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)‎ ‎＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝2Δx(2x0＋Δx)，‎ ‎∴＝＝4x0＋2Δx.‎ ‎(2)由(1)可知：＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02.‎ ‎(3)在x＝2处取自变量的增量Δx，得一区间[2,2＋Δx]．‎ ‎∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx.‎ ‎∴＝2Δx＋8，当Δx→0时，→8.‎ 规律方法　求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率变化情况估计出瞬时变化率．‎ 跟踪演练2　在本例中，(1)分别求函数在x＝1，x＝2附近，Δx取－的平均变化率，再比较其大小．(2)求在x0处的瞬时变化率．‎ 解　由已知f(x)＝2x2＋1，‎ ‎(1)当x＝1时，区间变为＝，‎ ‎∴k1＝＝＝＝3.‎ 当x＝2时，区间变为＝.‎ ‎∴k2＝＝＝＝7.‎ ‎∴k2＞k1.‎ ‎(2)在x0处设自变量增量为Δx，则在[x0，x0＋Δx]上，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－(2x＋1)‎ ‎＝2(2x0＋Δx)·Δx.‎ ‎∴＝＝4x0＋2Δx，‎ 当Δx→0时，→4x0，‎ ‎∴y＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为4x0.‎ 要点三　物体运动的瞬时速度 例3　已知s(t)＝5t2，‎ ‎(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；‎ ‎(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度；‎ ‎(3)求t＝3秒时的瞬时速度．‎ 解　(1)当3≤t≤3.1时，‎ Δt＝0.1，Δs＝s(3.1)－s(3)‎ ‎＝5×3.12－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)，‎ ‎∴＝＝30.5(m/s)．‎ ‎(2)当3≤t≤3.01时，Δt＝0.01，Δs＝s(3.01)－s(3)‎ ‎＝5×3.012－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)，‎ ‎∴＝＝30.05(m/s)．‎ ‎(3)在t＝3附近取一个小时间段Δt，‎ 即3≤t≤3＋Δt(Δt＞0)，‎ ‎∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5×(3＋Δt)2－5×32，‎ ‎＝5·Δt·(6＋Δt)，‎ ‎∴＝＝30＋5Δt.‎ 当Δt→0时，→30.‎ ‎∴在t＝3时的瞬时速度为‎30 m/s.‎ 规律方法　(1)依据平均速度与瞬时速度定义求解时，注意Δs与Δt之间的对应关系，还要注意运用有关数学公式来简化运算．‎ ‎(2)在某一时间段内的平均速度与时间段Δt有关，随Δt变化而变化；但求某一时刻的瞬时速度时，Δt是趋于0，而不是Δt＝0，此处Δt是个时间间隔任意小，但绝不能认为是0.‎ 跟踪演练3　质点M按规律s(t)＝2t2＋3t做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t＝2时的瞬时速度．‎ 解　当t从2变到2＋Δt时，函数值从2×22＋3×2变到 ‎2(2＋Δt)2＋3(2＋Δt)，函数值s(t)关于t的变化率为 ‎＝ ‎＝2Δt＋11(cm/s)‎ 当Δt趋于0时，瞬时变化率趋于11，所以质点在t＝2时的瞬时速度v＝11(cm/s)．‎ ‎1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．4 B．‎4.1 C．0.41 D．3‎ 答案　B 解析　＝＝4.1.‎ ‎2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为(　　)‎ A．2 B．‎1 C. D. 答案　C 解析　当t＝2时，Δs＝(2＋Δt)2－×22‎ ‎＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt.‎ 当Δt趋于0时，趋于.‎ ‎3．质点运动方程为s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)内，相应的平均速度等于________．‎ 答案　6＋Δt ‎4．函数y＝f(x)＝＋2在x＝1处的瞬时变化率为________．‎ 答案　－2‎ 解析　Δy＝＋2－ ‎＝－1＝，‎ ‎∴＝，当Δx趋于0时，趋于－2.‎ ‎1．‎ 平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢．‎ ‎2．可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、基础达标 ‎1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率中，Δx不可能是(　　)‎ A．大于0 B．小于0‎ C．等于0 D．大于0或小于0‎ 答案　C ‎2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是(　　)‎ A．0 B．‎1 C．2 D．Δx 答案　A 解析　＝＝0.‎ ‎3．在曲线y＝x2＋2的图像上取一点(1,3)及附近一点 ‎(1＋Δx,3＋Δy)，则等于(　　)‎ A．Δx＋＋2 B．Δx－－2‎ C．Δx＋2 D．2＋Δx－ 答案　C 解析　＝＝2＋Δx.‎ ‎4．自由落体运动方程为s(t)＝gt2，g＝‎9.8 m/s2，若＝，则Δt趋于0时，趋于‎9.8 m/s，它是(　　)‎ A．0～1秒内的平均速度 B．1～(1＋Δt)秒内的瞬时速度 C．1秒这一时刻的瞬时速度 D．1～(1＋Δt)秒内的平均速度 答案　C ‎5．函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为________．‎ 答案　－9‎ 解析　函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为＝＝－9.‎ ‎6．过曲线y＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________.‎ 答案　2.1‎ 解析　∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)‎ ‎＝2Δx＋(Δx)2，∴＝2＋Δx，‎ ‎∴割线斜率为2＋Δx，当Δx＝0.1时，‎ 割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.‎ ‎7．一质点按规律s(t)＝2t3运动，求t＝1时的瞬时速度．‎ 解　t从1变到1＋Δt的平均速度为 ‎＝2(Δt)2＋6Δt＋6.‎ 当Δt趋于0时得t＝1时的瞬时速度为6.‎ 二、能力提升 ‎8．函数y＝2x2－x在x＝2附近的平均变化率是(　　)‎ A．7 B．7＋Δx C．7＋2Δx D．7＋2(Δx)2‎ 答案　C 解析　Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2－(2＋Δx)－6‎ ‎＝7Δx＋2(Δx)2，∴＝＝7＋2Δx.‎ ‎9.‎ 甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是(　　)‎ A．甲 B．乙 C．相同 D．不确定 答案　B 解析　在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，‎ 但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt)