新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：2-1 从位移、速度、力到向量 课件（55张） 55页

第二章　平面向量及其应用 §1　从位移、速度、力到向量 必备知识·自主学习 1.向量的概念 (1)既有大小又有方向的量统称为向量. (2)具有方向和长度的线段叫作有向线段.向量可以用有向线段表示,若有向线 段的起点为A,终点为B,则该有向线段记作 _ ,也可以用黑体小写字母a,b,c, …表示,手写则用 …表示. (3)向量 (或a)的大小,称为向量 (或a)的长度,也叫模,记作 .  AB  a,b,c,    AB  AB   | AB | | a |  或 【思考】 　有向线段就是向量,对吗? 提示:不对.有向线段的起点、终点是确定的,而向量与起点无关,可以自由平移, 它可以用有向线段表示,但不能说有向线段就是向量. 2.与向量有关的概念 零向量 长度为0的向量称为零向量,记作0.任何方向都可以 作为零向量的方向. 单位向量 模等于1个单位长度的向量称为单位向量. 相等向量 长度相等且方向相同的向量,叫作相等向量.向量a 与b相等,记作a=b. 共线(平 行) 向量 若两个非零向量的方向相同或相反,则称这两个向 量为共线向量或平行向量.a与b共线或平行,记作 a∥b.零向量与任一向量共线. 相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反,则称它们互为 相反向量. 向量a的相反向量记作-a. 【思考】 　相等向量的起点相同,对吗? 提示:不对.相等向量是指长度相等且方向相同的向量.所以,两个向量只要长度 相等,方向相同,就是相等的向量,与起点的位置无关. 3.向量的夹角 (1)定义:已知两个非零向量a和b,在平面内选一点O,作 =a, =b, 则θ=∠AOB称为向量a与b的夹角; (2)范围:0°≤θ≤180°; (3)大小与向量共线、垂直的关系:θ= OA  OB  0 a b 180 a b 90 a b.       与 同向， 与 反向， 【思考】 　△ABC为正三角形,设 =a, =b,则向量a与b的夹角是多少? 提示:如图,延长AB至点D,使BD=AB,则 =a,因为△ABC为等边三角形,所以 ∠ABC=60°,则∠CBD=120°,故向量a与b的夹角为120°. AB  BC  BD  【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)向量 与 是共线向量,则A,B,C,D必在同一直线上. (　　) (2)向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反. (　　) (3)向量 与向量 是两平行向量. (　　) (4)单位向量都相等. (　　) AB  CD  AB  BA  提示:(1)×.向量共线时,表示向量的有向线段可以在两条平行直线上,不一定 在同一直线上. (2)×.由于零向量与任一向量平行,因此,若a,b中有一个为零向量时,其方向是 不确定的. (3)√.由于向量 与向量 方向相反,所以二者是平行向量. (4)×.单位向量的长度都相等,方向任意,而向量相等不仅需要长度相等,还要 求方向相同. AB  BA  2.如图,在☉O中,向量 , , 是 (　　) A.有相同起点的向量 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等的向量 【解析】选C. , , 的模均为圆的半径长,故相等. OB  OC  AO  OB  OC  AO  关键能力·合作学习 类型一　向量的有关概念(数学抽象、直观想象) 【题组训练】 1.下列说法中,正确的是(　　) ①长度为0的向量都是零向量;②零向量的方向都是相同的; ③单位向量都是同方向;④任意向量与零向量都共线. A.①②　　　B.②③　　　C.②④　　　D.①④ 【解析】选D.对于①,长度为0的向量都是零向量,①正确;对于②,零向量的方 向是任意的,②错误;对于③,单位向量的方向不一定相同,③错误;对于④,零向 量的方向是任意的,所以任意向量与零向量都共线,④正确.综上,正确的是①④. 2.给出下列四个命题:①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b, 则|a|=|b|;④有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中,正确的命题有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【解析】选A.①忽略了0与0的区别,应为a=0,故①错.②混淆了两个向量的模相 等和两个实数的绝对值相等,两个向量的模相等,只能说明它们的长度相等,它 们的方向并不确定,故②错.③两个向量平行,可以得出它们的方向相同或相反, 它们的模未必相等,故③错.④向量可以用有向线段表示,有向线段也可以表示 向量,但二者是不同的概念,不能等同起来,它们的区别是:向量是可以自由移动 的,故当用有向线段来表示向量时,始点是任意的,而有向线段是不能自由移动 的,有向线段平移后就不是原来的有向线段了.有向线段有平行和共线之分,而 向量的平行和共线是同一概念,故④错. 3.如图,△ABC和△A′B′C′是在各边的 处相交的两个全等的等边三角形, 设△ABC的边长为a,图中列出了长度均为 的若干个向量,则 (1)与向量 相等的向量有________;  (2)与向量 共线,且模相等的向量有________;  (3)与向量 共线,且模相等的向量有________.  1 3 GH  GH  EA  a 3 【解析】(1) .　 (2) (3) LB,HC   EC,LE,LB,GB,HC.      EF,FB,HA,HK,KB.      【解题策略】 　模相等就是表示向量的有向线段的长度相等;向量相等⇔向量方向相同且模 相等;向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合.向量的模是一个数量, 指的是有向线段的长度,与方向无关,可以比较大小.寻求相等向量,抓住长度相 等、方向相同两个要素,与起点和终点的位置无关;寻求共线向量,抓住方向相 同或相反这一个要素.注意共线的向量不一定相等,但相等的向量一定共线,零 向量和单位向量都只关注长度. 【补偿训练】 　　如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有 两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且 . (1)画出所有的向量 ; (2)求 的最大值与最小值. | AC | 5  AC  | BC |  【解析】(1)画出所有的向量 ,如图所示. (2)由(1)所画的图知, ①当点C位于点C1或C2时, 取得最小值 ; ②当点C位于点C5和C6时, 取得最大值 ,所以 的最大值为 , 最小值为 . AC  | BC |  2 21 2 5  | BC |  2 24 5 41  | BC |  41 5 类型二　向量的表示(直观想象) 【典例】一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B,然后改变航线向 东偏北60°航行了400海里到达C岛,最后又改变航线向西航行了200海里到达D 岛. (1)试作出向量 (2)求 . 【思路导引】准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向, 然后结合向量的大小确定向量的终点. AB,BC,CD;    | AD |  【解析】(1)建立如图所示的直角坐标系,向量 即为所求. (2)根据题意,向量 与 方向相反,故向量 ∥ .又| |=| |,所以在 四边形ABCD中,AB CD,四边形ABCD为平行四边形,所以 = ,所以| | =| |=400(海里). AB,BC,CD    AB  CD  AB  CD  AB  CD  AD  BC  AD  BC  　【解题策略】画向量的方法 准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的 大小确定向量的终点.用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、 长度和终点,三者缺一不可.确定向量的长度或方向时,需要用平面几何的知识, 如直角三角形的解法、平行四边形的性质等. 【跟踪训练】 1.某人向正东方向行进100 m后,再向正南方向行进100 m,则此人位移的方 向是 (　　) A.南偏东60°　　　　 B.南偏东45° C.南偏东30° D.南偏东15° 【解析】选C.如图,在直角三角形ABC中, tan θ= = ,所以θ=60°. 3 | BC | | AB |   3 2.一辆消防车从A地去B地执行任务,先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地, 然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地,从C地又向南偏西30°方向行 驶了2千米才到达B地. (1)在如图所示的坐标系中画出 (2)求B地相对于A地的位置. AD,DC,CB,AB;     【解析】(1)向量 如图所示. (2)由题意知 = ,所以AD BC,所以四边形ABCD为平行四边形,所以 = ,所以B地相对于A地的位置为“北偏东60°,6千米”. AD,DC,CB,AB     AD  BC  AB  DC  【补偿训练】 　　一架测绘飞机从A点向北飞行200 km到达B点,再从B点向东飞行100 km到达 C点,再从C点向东南45°飞行了100 km到达D点,则飞机从D点飞回A点的位移 大小是________km.  2 【解析】如图,建立平面直角坐标系xAy,其中x轴的正方向表示正东方向,y轴 的正方向表示正北方向,作DE⊥AB,CF⊥DE,垂足分别为E,F.在Rt△CDF中, | |=100 ,∠CFD=90°,∠CDF=45°,所以CF=DF=100,ED=200,在Rt△AED中, EA=BE=100,所以| |= (km).故飞机从D点飞回A点的位移 大小为100 km. 答案:100 CD  2 DA  2 2100 200 100 5  5 5 典例备选　用相等或共线向量证明平面几何问题 【典例】如图所示,在四边形ABCD中, = ,N,M分别是AD,BC上的点,且 = . 求证: = . 【思路导引】向量相等要从长度和方向两个方面说明,同时向量相等的条件也 会提供平行且相等两个方面的依据. AB  DC  CN  MA  DN  MB  【证明】因为 = ,所以| |=| |且AB∥CD, 所以四边形ABCD是平行四边形,所以| |=| |,且DA∥CB.又因为 与 的 方向相同,所以 = . 同理可证,四边形CNAM是平行四边形,所以 = .因为| |=| |, | |=| |,所以| |=| |, 又因为 与 的方向相同,所以 = . AB  DC  AB  DC  DA  CB  DA  CB  CB  DA  CM  NA  CB  DA  CM  NA  MB  DN  DN  MB  DN  MB  　【解题策略】相等或共线向量在平面几何中的应用: (1)两向量相等包括长度相等,方向相同或相反,可以在图形中获得平行、相等 关系. (2)向量共线有三种情形:①共线且同向;②共线且反向;③有一个是零向量.利 用①②两种情形可以在图形中获得平行关系. 【跟踪训练】 　在四边形ABCD中, = ,且| |=| |,tan D= ,判断四边形ABCD的形 状. 【解析】因为在四边形ABCD中, = ,所以AB DC,所以四边形ABCD是平行 四边形.因为tan D= ,所以B=D=60°,又| |=| |,所以△ABC是等边三角 形.所以| |=| |,所以四边形ABCD是菱形. AC  DC  AB  AC  3 AB  DC  3 AB  AC  AB  AC  1.下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥密度;⑦功.其中不是 向量的有 (　　) A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 【解析】选D.本题主要考查向量的概念,看一个量是不是向量,就是看它是否具 备向量的两个要素:大小和方向,因为②③④是既有大小,又有方向的量,所以它 们是向量;而①⑤⑥⑦是只有大小而没有方向的量,所以不是向量. 课堂检测·素养达标 2.下列说法正确的是 (　　) A.向量 与向量 的长度相等 B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同 C.零向量没有方向 D.向量的模是一个正实数 【解析】选A.向量 与向量 的长度都等于线段AB的长度,A正确;有共同起 点且长度相等的向量,只要方向不同,它们的终点就不同,B错;零向量的方向是 任意的,但不是没有方向,C错;零向量的模是0,不是正实数,D错. AB  BA  AB  BA  3.如图,在四边形ABCD中,若 = ,则图中相等的向量是 (　　) A. 与 　　　　 B. 与 C. 与 D. 与 【解析】选D.因为 = ,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AC,BD互相平 分,所以 = . AB  DC  AD  CB  OB  OD  AC  BD  AO  OC  AB  DC  AO  OC  4.若向量a与向量b不相等,则a与b一定 (　　) A.不共线 B.长度不相等 C.不都是单位向量 D.不都是零向量 【解析】选D.若向量a与向量b不相等,则说明向量a与向量b的方向和长度至少 有一个不同.所以a与b有可能共线,有可能长度相等,也有可能都是单位向量, 所以A,B,C都是错误的.但是a与b一定不都是零向量. 5.如图,设每一个正方形小方格的边长为1,则向量 中模最大 的向量是________,其长度为________. 【解析】由图形, =2 , =3, =4, = , =3 . 所以 长度最大,为3 . 答案: 　3 AB,CD,EF,FG,GH      | AB |  2 | CD |  | EF |  | FG |  13 | GH |  2 GH  2 GH  2 十四　从位移、速度、力到向量 【基础通关—水平一】 (15分钟　30分) 1.若a为任一非零向量,b为模为1的向量,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b; ③|a|>0;④|b|=±1,其中正确的是 (　　) A.①④　　B.③　　C.①②③　　D.②③ 【解析】选B.a为任一非零向量,故|a|>0. 课时素养评价 2.给出下列命题:①起点相同,方向相同的两个非零向量的终点相同;②起点相 同的两个相等的非零向量的终点相同;③两个平行的非零向量的方向相同; ④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是 (　　) A.①② B.② C.②③ D.③④ 【解析】选B.起点相同,方向相同的两个非零向量若长度不相等,则终点不相同, 故①不正确;起点相同且相等的两个非零向量的终点相同,故②正确;两个平行的 非零向量的方向相同或相反,故③不正确;两个共线的非零向量的起点与终点不 一定共线,所对应的直线可能平行,故④不正确. 3.A,B,C是不共线的三点,向量m与向量 是平行向量,与 是共线向量,则 m=　　　　. 【解析】因为A,B,C三点不共线,所以 与 不共线,又因为m∥ 且m∥ , 所以m=0. 答案:0 AB  BC  AB  BC  AB  BC  4.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点,则终点构成的图形是　　　 　;若这些向量是单位向量,则终点构成的图形是　　　　. 【解析】因为向量平行,且表示它们的有向线段有共同的起点,所以终点在一 条直线上;而对于单位向量,其大小都是一个单位长度,所以它们的终点在起点 的两侧,且距起点一个单位长度,所以终点构成的图形是两个点. 答案:一条直线　两个点 5.如图所示,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中. (1)写出与 , 相等的向量; (2)写出与 模相等的向量. 【解析】(1) = = , = .(2) , , . AF  AE  AD  AF  BE  CD  AE  BD  DA  CF  FC  【能力进阶—水平二】 (20分钟　40分) 一、单选题(每小题5分,共15分) 1.给出下列命题: ①若a=-b,则|a|=|b|;②若|a|<|b|,则a