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- 2021-06-30 发布
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2020届高三年级模拟考试
数学 Ⅰ
参考公式:
样本数据,,…,的标准差,其中;
柱体的体积公式:,其中S为柱体的底面积,h为柱体的高.
锥体的体积公式:,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高.
一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卡相应的位
置上.
1.已知全集,集合,则 ▲ .[来源:学科网ZXXK]
S←9
i←1
While S≥0
S←Si
i←i1
End While
Print i
(第6题)
2.已知复数(i为虚数单位)为纯虚数,则实数a的值为 ▲ .
3.数据1,3,5,7,9的标准差为 ▲ .
4.函数的定义域是 ▲ .
5.在一底面半径和高都是2m的圆柱形容器中盛满小麦,有一粒带麦锈病的种子混入了其中.现从中随机取出2的种子,则取出了带麦锈病种子的概率是 ▲ .
6.右图是一个算法的伪代码,则输出的i的值为 ▲ .
7. 在平面直角坐标系xOy中,若双曲线经过点,则该双曲线的准线方程为 ▲ .
8. 设是等比数列的前n项的和,成等差数列,则的值为 ▲ .
9.给出下列四个命题,其中正确命题的序号是 ▲ .(写出所有正确命题的序号)
①因为当时,,所以不是函数的周期;
②对于定义在上的函数,若,则函数不是偶函数;
③“”是“”成立的充分必要条件;
④若实数a满足,则.
(第10题)
10. 如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为2的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,则此四棱锥的体
积为 ▲ .
11.在平面直角坐标系xOy中,若函数在处的切线与圆C:存在公共点,则实数a的取值范围为 ▲ .
12. 已知函数,若关于x的不等式的解集是,则的值为 ▲ .
13.在边长为4的菱形ABCD中,A=60°,点P在菱形ABCD所在的平面内.若,,则= ▲ .
14.设函数,,其中.若存在唯一的整数x,使得,则实数k的取值范围是 ▲ .
二、 解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A
P
D
B
C
O
MO
(第15题)
15.(本小题满分14分)
如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,M为棱PD的中点,MAMC.
求证:(1)PB平面AMC;
(2)平面PBD平面AMC.
16.(本小题满分14分)
在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,成等差数列,,,成等比数列.
(1)求的值;
(2)若△ABC的面积为1,求c的值.
17.(本小题满分14分)
O
Q
P
B
A
D
C
(第17题)
某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖.如图,该弓形所在的圆是以AB为直径的圆,且米,景观湖边界CD与AB平行且它们间的距离为米.开发商计划从A点出发建一座景观桥(假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行),桥面在湖面上的部分记作PQ.设.
(1)用表示线段PQ,并确定的范围;
(2)为了使小区居民可以充分地欣赏湖景,所以要将PQ的长度设计到最长,求PQ的最大值.
18.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,右顶点A(2,0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若M,N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点,设P(-4,0),连接PM交椭圆C于另一点E.求证:直线NE过定点B,并求出点B的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点B的直线交椭圆C于S,T两点,求的取值范围.
19.(本小题满分16分)
已知函数,其中,.
(1)①求函数的单调区间;
②若x1,x2满足,且,.求证:.
(2)函数.若对任意,,都有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|,求的最大值.
20.(本小题满分16分)
已知{an},{bn},{cn}都是各项不为零的数列,且满足,其中Sn是数列{an}的前n项和,{cn}是公差为的等差数列.
(1)若数列{an}是常数列,d=2,c2=3,求数列{bn}的通项公式;
(2)若an=λn (λ是不为零的常数),求证:数列{bn}是等差数列;
(3)若 (k为常数,),.
求证:对任意的,恒成立.
数学II (附加题)
21. 【选做题】 在A,B,C四小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A. 选修42:矩阵与变换
已知二阶矩阵A=,矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1=,属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=.求矩阵A.
B. 选修44:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(α为参数).以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为=2.点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.
C. 选修45:不等式选讲
若正数a、b、c满足a+b+c=1,求++的最小值.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
O
B
P
D
C
A
22. (本小题满分10分)
如图,在正四棱锥P-ABCD中,底面正方形的对角线AC,BD交于点O且OP=AB.
(1)求直线BP与平面PCD所成角的正弦值;
(2)求锐二面角B-PD-C的大小.
(第22题)
23. (本小题满分10分)
定义:若数列满足所有的项均由构成且其中有m个,有p个,则称为“数列”.
(1)为“数列”中的任意三项,则使得的取法有多少种?
(2)为“数列”中的任意三项,则存在多少正整数对使得,且的概率为?
数学答案
参考公式:
样本数据,,…,的标准差,其中;
柱体的体积公式:,其中S为柱体的底面积,h为柱体的高.
锥体的体积公式:,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高.
一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卡相应的位
置上
1.
答案:
2.
答案:
3.
答案:
4.
答案:
5.
答案:
6. 答案:5
7.
答案:
8.
答案:2(必修五P.62第10题改编)
9.
答案:①②④
10.
答案:
11.
答案:
12.
答案:
13.
答案:-1
14.
答案:
二、 解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(本小题满分14分)
证明:(1)连结,
因为为菱形ABCD对角线AC,BD的交点,
所以为BD的中点. …… 2分[来源:学。科。网]
又M为棱PD的中点,
所以, …… 4分
又平面AMC,平面AMC,
所以PB平面AMC; …… 6分
(2)在菱形ABCD中,ACBD,且为AC的中点,
又MAMC,故ACOM, …… 8分
而OMBD,OM,BD平面PBD,
所以AC平面PBD, …… 11分
又AC平面AMC,
所以平面PBD平面AMC. …… 14分
16. (本小题满分14分)
解:(1)由题意知:,
因为,所以
又因为△ABC为锐角三角形,所以①, …… 2分
所以,
所以,与①式联立,
解得(负舍), …… 4分
又,所以. …… 6分
(2)由(1)知,,,且,
又,结合解出, …… 8分
同理解出, …… 10分
在△ABC中,由正弦定理知:,
因此, …… 12分
又,由此解出. …… 14分
17.(本小题满分14分)
解:(1)过点Q作于点H,则,
在三角形AOP中,
因为,,
所以,,
所以,故. …… 4分
因为,即,且. …… 6分
(2)因为,
令,,且. …… 8分
所以,
令,即,
所以, …… 10分
记,,
所以当时,,单调递增;
所以当时,,单调递减,
又因为,所以当时,取最大值.
此时,所以PQ的最大值为米.
答:湖上桥面PQ长度的最大值为米. …… 14分
18.
解:(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,
由题意得a=2,e=, …… 2分
即,所以c=1,.
所以椭圆C的标准方程为+=1. …… 4分
(2)证明:根据对称性,直线NE过的定点B一定在x轴上.
由题意可知直线PM的斜率存在,设直线PM的方程为y=k(x+4).
由消去y得 (4k2+3)x2+32k2x+64k2-12=0.
设点M(x1,y1),E(x2,y2),
所以x1+x2=-,x1x2=, …… 6分
又因为N(x1,-y1),所以直线NE的方程为y-y2=(x-x2).
令y=0,得x=x2-.
将y1=k(x1+4),y2=k(x2+4)代入上式并整理,
得.
整理得.
所以,直线NE过x轴上的定点B(-1,0). …… 10分
(3)当过点M的直线ST的斜率不存在时,
直线ST的方程为x=-1,S(-1,),T(-1,-),此时·=-.…… 12分
当过点B的直线ST的斜率存在时,
设直线ST的方程为y=m(x+1),且S(xS,yS),T(xT,yT)在椭圆C上,
由,得(4m2+3)x2+8m2x+4m2-12=0,
则Δ=(8m2)2-4(4m2+3)(4m2-12)=144(m2+1)>0.
故有xS+xT=-,xSxT=, …… 14分
从而ySyT=m2(xS+1)(xT+1)=m2[(xS+xT)+xSxT+1]=-.
所以·=xSxT+ySyT=-=--.[来源:学科网ZXXK]
由,得.
综上,·的取值范围是. …… 16分[来源:学科网ZXXK]
19.(本小题满分16分)
解:(1)①因为f ′ (x)=,.
令f ′ (x)>0,得x<-或x>,
所以f(x)的单调增区间为(-∞,-)和(,+∞). ……2分
令f ′ (x)<0,得-<x<0或0<x<,
所以f(x)的单调减区间为(-,0)和(0,). ……4分[来源:学科网]
②因为x1+x2>0,x2>0,所以x1>0,或x1<0.
若x1>0,因为|xi|>(i=1,2),所以x1>,x2>,
由①,知f(x)在(,+∞)上是增函数,
所以f(x1)+2f(x2)>f()+2f()=>. ……5分
若x1<0,由|x1|>,得x1<-,
因为x1+x2>0,x2>0,所以x2>-x1>,
由①,知f(x)在(,+∞)上是增函数,所以f(x1)+2f(x2)>f(x1)+2f(-x1)=f(-x1)>.
综上,f(x1)+2f(x2)>. ……8分
(2)g′ (x)=ax-=,x(0,),所以g ′ (x)<0,
所以函数g(x)在(0,)上是减函数.
不妨假设x1<x2.
由(1),知f(x) 在(0,)上是减函数,
所以不等式|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|等价于f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2), ……10分
即[f(x1)-g(x1)]-[f(x2)-g(x2)]>0.
令M(x)=f(x)-g(x),x(0,),则M(x)为减函数.
因为M ′ (x)=f ′ (x)-g′ (x)=-ax+=,
所以≤0在区间(0,)上恒成立,
即1-2bx≥0在区间(0,)上恒成立,
所以1-≥0,即b≤. ……14分
所以b-a≤-a=-(-)2+≤.
所以b-a的最大值为. ……16分
20.(本小题满分16分)
解:(1)因为d=2,c2=3,所以cn=2n-1.
因为数列{an}是各项不为零的常数列,所以a1=a2=…=an,Sn =na1,
则由Sncn=a1b1+a2b2+…+anbn及cn=2n-1,得n(2n-1)=b1+b2+…+bn,
当n≥2时,(n-1)(2n-3)=b1+b2+…+bn-1,
两式相减得bn=4n-3.
当n=1时,b1=1,也满足bn=4n-3,故bn=4n-3(n∈N*). ……4分
(2)因为a1b1+a2b2+…+anbn=Sncn,
当n≥2时,Sn-1cn-1=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1,
两式相减得Sncn-Sn-1cn-1=anbn,
即(Sn-1+an) cn-Sn-1cn-1=anbn,Sn-1 (cn-cn-1)+ancn=anbn,
即Sn-1d+λncn=λnbn. ……7分
又Sn-1=,所以d+λncn=λnbn,即d+cn=bn,
所以当n≥3时,d+cn-1=bn-1,
两式相减得bn-bn-1=d(n≥3),
所以数列{bn}从第二项起是公差为d等差数列.
又当n=1时,由S1c1=a1b1,得c1=b1,
当n=2时,由b2=d+c2=d+c1+d=b1+d,得b2-b1=d.
故数列{bn}是公差为d等差数列. ……10分
(3)由(2)得当n≥2时,Sn-1 (cn-cn-1)+ancn=anbn,即Sn-1d=an(bn-cn),
因为bn=cn+k,所以bn=cn+kd,即bn-cn=kd,所以Sn-1d=an·kd,即Sn-1=kan.
所以Sn=Sn-1+an=(k+1)an.
当n≥3时,Sn-1=(k+1)an-1=kan,
即an=an-1,故从第二项起数列{an}是等比数列.
所以当n≥2时,an=a2()n-2. ……12分
bn=cn+k=cn+kd=c1+(n-1)k+k2=k+(n-1)k+k2=k(n+k).
另外由已知条件得,(a1+a2)c2=a1b1+a2b2,又c2=2k,b1=k,b2=k(2+k),
所以a2=1,因而an=()n-2.
令dn=,则-1=-1=-1=-<0,
对任意的,恒成立. ……16分
数学II (附加题)
21. 【选做题】 在A,B,C四小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A. 选修42:矩阵与变换
解:由特征值、特征向量定义可知,Aα1=λ1α1,
即=-1×,得 ……5分
同理可得
解得a=2,b=3,c=2,d=1.
因此矩阵A=. ……10分
B. 选修44:坐标系与参数方程
解:ρcos=2化简为ρcosθ+ρsinθ=4,
则直线l的直角坐标方程为x+y=4. ……4分
设点P的坐标为(2cosα,sinα),
得P到直线l的距离d=,
即d=,其中cosφ=,sinφ=. ……8分
当sin(α+φ)=-1时,dmax=2+. ……10分
C. 选修45:不等式选讲
解:因为正数a、b、c满足a+b+c=1,
所以[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]≥(1+1+1)2, ……5分
即++≥1,
当且仅当3a+2=3b+2=3c+2,即a=b=c=时,原式取最小值1. ……10分
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22. (本小题满分10分)
解:(1)在正四棱锥P-ABCD中,底面正方形的对角线AC,BD交于点O,
所以OP⊥平面ABCD,取AB的中点E,BC的中点F,
所以OP ,OE,OF两两垂直,故以点O为坐标原点,
以OE,OF,OP分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.
设底面正方形边长为2,因为OP=AB,所以OP=1,
所以B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,1),
所以=(-1,-1,1), ……2分
设平面PCD的法向量是=(x,y,z),
因为=(0,-2,0),=(1,-1,1),
所以·=-2y=0,·=x-y+z=0,
取x=1,则y=0,z=-1,所以=(1,0,-1),
所以cos<,>==-,
所以直线BP与平面PCD所成角的正弦值为. ……5分
(2)设平面BPD的法向量是=(x,y,z),
因为=(-1,-1,1),=(-2,-2,0),
所以·=-x-y+z=0,·=-2x-2y=0,
取x=1,则y=-1,z=0,所以=(1,-1,0), ……7分
由(1)知平面PCD的法向量是=(1,0,-1),
所以cos<,>==,所以<,>=60°,
所以锐二面角B-PD-C的大小为60°. ……10分
23. (本小题满分10分)
解:(1)三个数乘积为1有两种情况:“”“” ,
“”:共有种;“”:共有种.
利用分类计数原理,共有种取法. ……2分
(2)与(1)基本同理,“”共有种;“”:共有种.
而在“数列”中任取三项共有种,
所以根据古典概型有:, ……4分
再根据组合数的计算公式能得到:,
① 时,
应满足,所以,
共有99个. ……6分
② 时,应满足,
视为常数,可解得.因为,所以,
根据可知,(否则)
下设,则由于为正整数知必为正整数,
又因为,所以.
化简上述关系式可以知道:,
所以均为偶数,所以设,则,
所以,由于中必存在偶数,
故只需中存在数为3的倍数即可,所以,
所以, ……8分
检验:符合题意,
所以共有16个.
综上所述:共有115个数对符合题意. ……10分
阅卷注意:8分点到10分点之间的检验如果没写则扣去两分