高中数学第二章 §1 变化的快慢与变化率 课件 19页

第二章 变化率与导数 §1 变化的快慢与变化率 问题提出 世界上 , 变化无处不在 , 人们以常关心变化的 快慢问题 , 如何刻画事物变化的快慢呢 ? 实例分析 t/s 0 2 5 10 13 15 … s/m 0 6 9 20 32 44 … 问题 1 分析 我们通常用平均速度来比较运动的快慢 . 显然 , 物体在后一段时间比前一段时间 运动得快 . 问题 2 某病人吃完退烧药 , 他的体温变化如图所示 : 39 38 37 36 10 20 30 40 50 60 70 分析 由上图可看出 : 两段时间下降相同的温度 , 而后一段时间比前 一段时间短 , 所以后一段时间的体温比前一段 时间变化快 . 归纳 抽象概括 问题 平均速度反映了汽车在前 10 秒内的快慢程度，为了了解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度 —— 瞬时速度． 2 ． 瞬时速度 经调查发现其中一辆汽车在 10h 内行驶了 150km. 这段时间内汽车的平均速度为 已知物体作变速直线运动，其运动方程为 s ＝ s ( t )( ｓ 表示位移， t 表示时间 ) ，求物体在 t 0 时刻的速度． 如图设该物体在时刻 t 0 的位置是 ｓ (t 0 ) ＝ OA 0 ，在时刻 t 0 + D t 的位置是 s (t 0 + D t) ＝ OA 1 ，则从 t 0 到 t 0 + D t 这段时间内，物体的 位移是 在时间段 ( t 0 + D t) － t 0 = D t 内，物体的平均速度为 : 要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是 s = s ( t ) ，那么物体在时刻 t 的 瞬时速度 v ，就是物体在 t 到 t + D t 这段时间内，当 D t  0 时平均速度 例 物体作自由落体运动， 运动方程为： ，其中位移 单位是 m ，时间单位是 s ， g =9.8 m/s 2 ． 求： (1) 物体在时间区间 [2 ， 2.1] 上的平均速度； (2) 物体在时间区间 [2 ， 2.01] 上的平均速度； (3) 物体在 t =2 时的瞬时速度 . (1) 将 D t=0.1 代入上式，得 (2) 将 D t=0.01 代入上式，得 ( 3) 当 平均速度 的趋近于 : 当时间间隔 D t 逐渐变小时 , 平均速度 就越接近 t 0 =2(s) 时的 瞬时速度 v =19.6(m/s) 即物体在时刻 t 0 =2(s) 的 瞬时速度 等于 19.6(m/s). 抽象概括 在前面的问题中 , 我们通过减小自变量的改变量 用平均变化率“逼近”瞬时变化率 . 练习 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水面的高度 h( 单位：米 ) 与起跳后的时间 t （单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t 2 +6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态 ? h t o 请计算 回顾小结 : 2. 平均变化率的定义 : 一般地 , 函数 在 区间 上的平均 变化 率 为 : =△x x 2 -x 1 x y B ( x 2 ,f(x 2 )) A ( x 1 ,f(x 1 )) 0 f ( x 2 )- f ( x 1 ) =△y 3. 平均变化率的 几何意义： 曲线 上两点 连线的斜率 . 1. 理解什么是平均速度，什么是瞬时速度，它们之间有什么关系 .