新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：单元素养评价 第五章 复数 课件 35页

单元素养评价(四)(第五章) (120分钟　150分) 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.(2020·浙江高考)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a= (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 【解析】选C.因为(a-1)+(a-2)i为实数,所以a-2=0,所以a=2. 2.(2020·全国Ⅲ卷)复数 的虚部是 (　　) 【解析】选D.因为 所以复数 的虚部为 1 1 3i 3 1 1 3A. B. C. D.10 10 10 10      1 1 3i 1 3 i1 3i 1 3i 1 3i 10 10      ， 1 1 3i 3 .10 3.设i是虚数单位,则复数z= 在复平面内对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选C.因为1+ =1+ =1-i, 所以z= =(1-i)3=1-3i+3i2-i3=-2-2i, 所以复数z= 在复平面内对应的点的坐标为(-2,-2),位于第三象限. 31(1 )i  1 i 2 i i － － 31(1 )i  31(1 )i  4.(2020·天津高一检测)复数 的共轭复数是 (　　) 【解析】选A. 故其共轭复数为-i. 2 i 1 2i  － 3 3A. i B.i C. i D. i5 5－ － (2 i)(1 2i) 5i i(1 2i)(1 2i) 5     ，－ 5.已知 是纯虚数,则 = (　　) A. B. C.3 D.5 【解析】选B. =a2-4+4ai, 因为 是纯虚数, 所以 所以a=±2,所以 2(a 2i) (a R)  |a i| 53 2(a 2i) (a R)  2(a 2i) 2a 4 0 4a 0     － ， ， |a i| | 2 i| 5.     6.设z的共轭复数是 ,若z+ =4,z· =8,则 等于(　　) A.i　 B.-i C.±1　　 D.±i 【解析】选D.设z=x+yi(x,y∈R),则 =x-yi,由z+ =4,z· =8得 所以 z z z z z z z z 2 2 x 2x yi x yi 4 x 2 (x yi) (x yi) 8 y 2.x y 8        ＝ ，＋ ＋ － ＝ ， ＝ ， ＋ － ＝ ， ＝＋ ＝ ， 2 2 2 2 z x yi x y 2xyi i.z x yi x y － － －＝ ＝ ＝＋ ＋ 7.如图所示,在复平面上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i, 0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为 (　　) A.3+i　 B.3-i C.1-3i　 D.-1+3i 【解析】选D. =1+2i-2+i=-1+3i,所以C对应的复数为-1+3i.OC OA OB    ＝ ＋ 8.设z1,z2为复数,则下列四个结论中正确的是 (　　) A.若 B.|z1-z2|= C. =0⇔z1=z2=0 D.z1- 是纯虚数或零 2 2 2 2 1 2 1 2z z 0 z z＋ ＞ ，则 ＞－ 2 1 2 1 2(z z ) 4z z＋ － 2 2 1 2z z＋ 1z 【解析】选D.举例说明:若z1=4+i,z2=2-2i,则 =15+8i, =-8i, >0,但 与- 都是虚数,不能比较大小,故A错;因为|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,故 |z1-z2|与 不一定相等,B错;若z1=2+i,z2=1-2i,则 =3+4i, =-3-4i, =0,但z1=z2=0不成立,故C错;设z1=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi, 故z1- =2bi,当b=0时是零,当b≠0时,是纯虚数.故D正确. 2 1z 2 2z 2 2 1 2z z＋ 2 1z 2 2z 2 1 2 1 2(z z ) 4z z＋ － 2 1z 2 2z 2 2 1 2z z＋ 1z 1z 二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的 得0分) 9.已知i为虚数单位,复数z= 则以下真命题的是 (　　) A.z的共轭复数为 B.z的虚部为 C. =3 D.z在复平面内对应的点在第一象限 3 2i 2 i  ，－ 4 7i 5 5－ 7i 5 |z| 【解析】选AD.z= 故 故A正确. z的虚部为 故B错, ≠3,故C错, z在复平面内对应的点为 故D正确. 3 2i (3 2i)(2 i) 4 7i 4 7i 2 i 5 5 5 5        ，－ 4 7iz 5 5  － ， 7 5， 16 49 65|z| 5 5   4 7( , )5 5 ， 10.(2020·三亚高一检测)已知x,y∈R,i为虚数单位,且 i-y=-1+2i,复数 z= 则以下结论正确的是 (　　) A.z的虚部为-2i B.z的模为2 C.z的共轭复数为2i D.z对应的点在第四象限 (x 1) x y(1 i) － ， 【解析】选BC.因为 i-y=-1+2i,所以 所以z= =-2i. 对于A,z的虚部为-2,A错误;对于B, =2,B正确;对于C,z的共轭复数为2i,C正 确; 对于D,z对应 不在第四象限,D错误. (x 1) x 1 2 x 1 y 1 y 1         ， ，解得－ － ， ， 2(1 i)－ |z| (0, 2)－ ， 11.已知i为虚数单位,则下面命题正确的是 (　　) A.若复数z=3+i,则 B.复数z满足 =1,z在复平面内对应的点为 C.若复数z1,z2满足z1= 则z1z2≥0 D.复数z=1-3i的虚部是3. 1 3 i z 10 10  － |z 2i|－ 2 2(x,y) x (y 2) 1 ，则 － 2z ， 【解析】选ABC.由 故A正确;由z在复平面内对应 的点为 则 =1,即 =1,则x2+ =1, 故B正确; 设复数z1=a+bi,则z2=a-bi(a,b∈R),所以z1z2= =a2+b2≥0,故C正确; 复数z=1-3i的虚部是-3,故D不正确. 1 1 3 i 3 i z 3 i (3 i)(3 i) 10 10     － － ，－ (x,y)， |z 2i| | x y 2 i| － （ － ） 2 2x (y 2) － 2(y 2)－ (a bi)(a bi) － 12.已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1| =|z-i|,下列结论正确的是 (　　) A.P0点的坐标为(1,2) B.复数z0的共轭复数的虚部为-2i C.复数z对应的点Z在一条直线上 D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为 2 2 【解析】选ACD.对于A,由复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0可得P0 故A正确; 对于B,复数z0的共轭复数为 =1-2i, 的虚部为-2,故B错误;对于C,设 z=x+yi(x,y∈R),则点Z 由|z-1|=|z-i|可得 所以 整理得y=x,所以Z点在直线y=x上,故C正确; 对于D,易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0,Z之间距离的最小值,点P0到 直线y=x的距离d= 故D正确. (1,2)， 0z 0z (x,y)， | (x 1) yi| | x (y 1)i|  － － ， 2 2 2 2(x 1) y x (y 1)  － － ， |1 2| 2 22 － ， 三、填空题(每小题5分,共20分) 13.(2020·天津高考)i是虚数单位,复数 =________.  【解析】 答案:3-2i 8 i 2 i － 8 i (8 i)(2 i) 15 10i 3 2i.2 i (2 i)(2 i) 5     － － － － －－ 14.(2020·北京高一检测)已知i为虚数单位,若复数z满足z+ =1+ i,则 实数a的值为________.  【解析】设z=m+ni, =m-ni,m,n∈R,则可得2m=1+ i,所以a=5,m= . 答案:5 z (a 5)－ z (a 5)－ 1 2 15.设z-2i= 则 =________,z· =________.  【解析】因为z-2i= = =-i, 所以z=2i-i=i,则|z|=1,z· =i·(-i)=1. 答案:1　1 1 i 1 i － ， |z| z 1 i 1 i － 2(1 i) (1 i)(1 i) － － z 16.(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2= +i,则|z1-z2|= __________.  【解析】因为|z1|=|z2|=2, 可设z1=2cos θ+2sin θ·i, z2=2cos α+2sin α·i, 所以z1+z2=2(cos θ+cos α)+2(sin θ+sin α)·i= +i, 所以 两式平方作和得: 3 3 2(cos cos ) 3 2(sin sin ) 1           ， 4(2+2cos θcos α+2sin θsin α)=4, 化简得cos θcos α+sin θsin α=- , 所以|z1-z2|=|2(cos θ-cos α)+2(sin θ-sin α)·i| = = 答案:2 1 2 2 24(cos cos ) 4(sin sin )       8 8(cos cos sin sin ) 8 4 2 3.         3 四、解答题(共70分) 17.(10分)已知复数z1=1-i,z1·z2+ =2+2i,求复数z2. 【解析】因为z1=1-i,所以 =1+i, 所以z1·z2=2+2i- =2+2i-(1+i)=1+i. 设z2=a+bi(a,b∈R),由z1·z2=1+i, 得(1-i)(a+bi)=1+i,所以(a+b)+(b-a)i=1+i, 所以 解得a=0,b=1,所以z2=i. 1z 1z 1z a b 1, b a 1    ＋ ＝ － ＝ ， 18.(12分)已知复数z满足|z|= ,z2的虚部是2. (1)求复数z; (2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积. 【解析】(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2, 解得a=b=1或a=b=-1, 所以z=1+i或z=-1-i. 2 (2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i, 所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=1. 当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i, 所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC=1. 19.(12分)复数z=- +(6m-16)i.(i为虚数单位) (1)若复数z为纯虚数,求实数m的值; (2)若复数z对应的点在第三象限或第四象限,求实数m的取值范围. 【解析】 (1)z=- +(6m-16)i, 因为复数z为纯虚数,所以 所以m=-2; m 2 m 8   m 2 m 8   m 2 0m 8 m 8 0, 6m 16 0         － ， － ， (2)因为复数z对应的点在第三、四象限, 因此实数m的取值范围为 m 2 0 m 2m 8 m 8 0, m 8 6m 16 0 8m 3            － ， － ， 所以 解得 － ， － ， ， 8, 8) ( 8, 2) ( 2, ).3   (－ － － － － 20.(12分)已知z为虚数,z+ 为实数. (1)若z-2为纯虚数,求虚数z; (2)求|z-4|的取值范围. 9 z 2－ 【解析】设z=x+yi(x,y∈R,y≠0). (1)z-2=x-2+yi,由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+ =2+yi+ =2+ i∈R,得y- =0,y=±3,所以z=2+3i或z=2-3i. (2)因为z+ =x+yi+ =x+ i∈R,所以 y- =0,因为y≠0,所以(x-2)2+y2=9, 由(x-2)2<9得x∈(-1,5), 所以|z-4|=|x+yi-4|= 9 z 2－ 9 yi 9(y )y－ 9 y 9 z 2－ 9 x yi 2＋ － 2 2 2 2 9(x 2) 9yy ](x 2) y (x 2) y     ＋[ 2 2 9y (x 2) y－  2 2 2 2(x 4) y (x 4) 9 (x 2) 21 4x 1,5 .－ ＋ ＝ － ＋ － － ＝ － 21.(12分)(2020·上海高一检测)设两复数集合M= N={z|z=2cos θ+i(λ+3sin θ),θ∈R}(i为虚数单位),且M∩N≠∅ ,求实数λ 的取值范围. 2{z | z m i(4 m ),m R}  － ， 【解析】由M∩N≠∅ ,可知至少存在一个复数z同时属于集合M和N, 即m+i =2cos θ+i(λ+3sin θ), 故 从而λ=4-4cos2θ-3sin θ=4sin2θ-3sin θ=4 由-1≤sin θ≤1,得- ≤λ≤7. 2(4 m )－ 2 m 2cos 4 m 3sin        ， － ， 23 9(sin )8 16 － － ， 9 16 22.(12分)(2020·南京高一检测)已知z是复数,z+2i与 均为实数(i为虚 数单位),且复数 在复平面上对应点在第一象限. (1)求复数z;(2)求实数a的取值范围. z 2 i－ 2(z ai) 【解析】(1)设z=x+yi 又z+2i=x+ i,且为实数,所以y+2=0,解得y=-2.所以 因为 为实数,所以 =0,解得x=4.所以 z=4-2i. (2)因为复数 所以 解得2