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- 2021-06-30 发布
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第
59
讲 直线与圆锥曲线的位置关系
考试要求
高考中重点考查直线与椭圆的位置关系,主要涉及弦长问题,最值范围问题,定点定值问题
.
诊
断
自
测
2.
已知过抛物线
y
2
=
4
x
的焦点
F
的直线交该抛物线于
A
,
B
两点,且
AF
=
2
,则
BF
=
________.
解析
设点
A
(
x
1
,
y
1
)
,点
B
(
x
2
,
y
2
)
,抛物线
y
2
=
4
x
,焦点为
(1
,
0)
,准线为
x
=-
1
,
AF
=
x
1
-
(
-
1)
=
2
,所以
x
1
=
1.
则
AF
与
x
轴垂直,故
BF
=
AF
=
2.
答案
2
3.
若直线
x
-
y
-
1
=
0
与抛物线
y
=
ax
2
相切,则
a
=
________.
答案
4
1.
直线和圆锥曲线的位置关系:直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离
.
知
识
梳
理
方程
ax
2
+
bx
+
c
=
0
的解
l
与
C
的关系
a
=
0
b
=
0
无解
(
含
l
是双曲线的渐近线
)
无公共点
b
≠0
有一解
(
含
l
与抛物线的对称轴或与双曲线的渐近线平行
)
一个交点
a
≠0
Δ
>0
两个不等的解
两个交点
Δ
=
0
两个相等的解
一个交点
Δ
<0
无实数解
无交点
2.
直线与圆锥曲线位置关系的应用
(
1)
求参数;
(2)
求弦长;
(3)
求最值、范围
.
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
(1)
求椭圆
E
的方程及点
T
的坐标;
(2)
设
O
是坐标原点,直线
l
′
平行于
OT
,与椭圆
E
交于不同的两点
A
,
B
,且与直线
l
交于点
P
.
证明:存在常数
λ
,使得
PT
2
=
λPA
·
PB
,并求
λ
的值
.
(1)
求椭圆
E
的标准方程;
(2)
设点
O
为坐标原点,过点
F
作直线
l
与椭圆
E
交于
M
,
N
两点,若
OM
⊥
ON
,求直线
l
的方程
.
(
2)
设
M
(
x
1
,
y
1
)
,
N
(
x
2
,
y
2
)
,
①
当
MN
垂直于
x
轴时,直线
l
的方程为
x
=
1
,不符合题意;
②
当
MN
不垂直于
x
轴时,设直线
l
的方程为
y
=
k
(
x
-
1).
因为
OM
⊥
ON
,
考点二 根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数
法二
由
(1)
可知椭圆方程为
5
x
2
+
9
y
2
=
5
a
2
,则
A
(
-
a
,
0).
设
B
(
x
1
,
y
1
)
,
C
(
x
2
,
y
2
).
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