【数学】2018届一轮复习人教A版第五章第2讲等差数列及其前n项和学案 9页

第2讲　等差数列及其前n项和 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P98])‎ ‎1．等差数列的有关概念 ‎(1)定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．‎ ‎(2)等差中项 数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．‎ ‎2．等差数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．‎ ‎(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝．‎ ‎3．等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．‎ ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．‎ ‎(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．‎ ‎(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．‎ ‎(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．‎ ‎1．辨明两个易误点 ‎(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．‎ ‎(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．‎ ‎2．妙设等差数列中的项 若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d；‎ 若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．‎ ‎3．等差数列的四种判断方法 ‎(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎1. 等差数列11，8，5，…，中－49是它的第几项(　　)‎ A．第19项　　　　　　　　　 B．第20项 C．第21项 D．第22项 ‎　C　[解析] a1＝11，d＝8－11＝－3，‎ 所以an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14.‎ 由－3n＋14＝－49，得n＝21.故选C.‎ ‎2. 已知p：数列{an}是等差数列，q：数列{an}的通项公式an＝k1n＋k2(k1，k2均为常数)，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　C　[解析] 若{an}是等差数列，不妨设公差为d.‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，‎ 令k1＝d，k2＝a1－d，则an＝k1n＋k2，‎ 若数列{an}的通项公式an＝k1n＋k2(k1，k2为常数，n∈N*)，‎ 则当n≥2且n∈N*时，an－1＝k1(n－1)＋k2，‎ 所以an－an－1＝k1(常数)(n≥2且n∈N*)，‎ 所以{an}为等差数列，‎ 所以p是q的充要条件．‎ ‎3. 等差数列{an}的前n项之和为Sn，若a5＝6，则S9为(　　)‎ A．45 B．54‎ C．63 D．27‎ ‎　B　[解析] 法一：因为S9＝＝9a5＝9×6＝54.故选B.‎ 法二：由a5＝6，得a1＋4d＝6，‎ 所以S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝9×6＝54，故选B.‎ ‎4．(2017·金丽衢十二校联考)已知等差数列{an}满足：a3＝13，a13＝33，则数列{an}的公差为________．‎ ‎[解析] 设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________．‎ ‎[解析] 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 由已知，得解得 所以S16＝16×3＋×(－1)＝－72.‎ ‎[答案] －72‎ ‎　等差数列的基本运算(高频考点)[学生用书P99]‎ 等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题．‎ 高考对等差数列基本量计算的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)求公差d、项数n或首项a1；‎ ‎(2)求通项或特定项；‎ ‎(3)求前n项和．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)‎ A．　　　　 B．　　　　C．10　　　　D．12‎ ‎(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【解析】　(1)因为公差为1，‎ 所以S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.‎ 因为 S8＝4S4，所以8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，‎ 所以a10＝a1＋9d＝＋9＝，故选B.‎ ‎(2)法一：由题知Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2，Sn＋2＝(n＋2)2，由Sn＋2－Sn＝36得，(n＋2)2－n2＝4n＋4＝36，所以n＝8.‎ 法二：Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n＝8.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)D 等差数列基本运算的解题方法 ‎(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．　 ‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　求公差d、项数n或首项a1‎ ‎1．(2017·豫东、豫北十所名校联考)已知等差数列{an}中，a5＝13，S5＝35，则公差d＝(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．1 D．3‎ ‎　D　[解析] 依题意，得解得故选D.‎ ‎ 角度二　求通项或特定项 ‎2．(2016·高考全国卷乙)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A．100 B．99‎ C．98 D．97‎ ‎　C　[解析] 设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98，选C.‎ ‎ 角度三　求前n项和 ‎3．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．‎ ‎[解析] 由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.‎ ‎[答案] 27‎ ‎　等差数列的判定与证明[学生用书P100]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　已知数列{an }的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎(1)证明：an＋2－an＝λ；‎ ‎(2)是否存在λ，使得{an }为等差数列？并说明理由．‎ ‎【解】　(1)证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，‎ 由于an＋1≠0，‎ 所以an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，‎ 可得a2＝λ－1.‎ 由(1)知，a3＝λ＋1.‎ 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.‎ 故an＋2－an＝4，‎ 由此可得{a2n－1}是首项为1，‎ 公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；‎ ‎{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.‎ 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，‎ 因此存在λ＝4，‎ 使得数列{an}为等差数列．‎ ‎(1)判断证明一个数列是否是等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．‎ ‎(2)用定义证明等差数列时，常采用两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．　 ‎ ‎　已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)．设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}是等差数列．‎ ‎[证明] 因为an＝2－，所以an＋1＝2－.‎ 所以bn＋1－bn＝－，‎ ‎＝－，‎ ‎＝＝1，‎ 所以{bn}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列．‎ ‎　等差数列的性质及最值[学生用书P100]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝(　　)‎ A．18　　　　　　　　　　　 B．99‎ C．198 D．297‎ ‎(2)已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________．‎ ‎(3)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．‎ ‎【解析】　(1)因为a3＋a9＝27－a6，2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝(a1＋a11)＝11a6＝99.‎ ‎(2)因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.‎ ‎(3)当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，说明 所以 所以－1＜d＜－.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)21　(3) 应用等差数列的性质应注意的两点 ‎(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m、n、p、q、k∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性质．‎ ‎(2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．30 D．40‎ ‎　A　[解析] 设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.‎ ‎2．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)‎ A．S15 B．S16‎ C．S15或S16 D．S17‎ ‎　A　[解析] 设{an}的公差为d，‎ 因为a1＝29，S10＝S20，‎ 所以10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2，‎ 所以Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.‎ 所以当n＝15时，Sn取得最大值．‎ ‎3．(2017·陕西省五校模拟)等差数列{an}中，如果 a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前9项的和为(　　)‎ A．297 B．144‎ C．99 D．66‎ ‎　C　[解析] 由等差数列的性质可知，2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)＝39＋27＝66，‎ 所以a2＋a5＋a8＝33，‎ 所以数列{an}前9项的和为66＋33＝99.‎ ‎,　　　　　　 　　[学生用书P100])‎ ‎——整体思想在等差数列中的应用 ‎　在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________．‎ ‎【解析】　法一：设数列{an}的公差为d，首项为a1，‎ 则 解得所以S110＝110a1＋d＝－110.‎ 法二：法一中两方程相减得 ‎－90a1－d＝90，‎ 所以a1＋d＝－1，‎ 所以S110＝110a1＋d＝－110.‎ 法三：因为S100－S10＝＝－90，‎ 所以a11＋a100＝－2，‎ 所以S110＝＝＝－110.‎ ‎【答案】　－110‎ ‎　(1)法一是利用等差数列的前n项和公式求解基本量，然后求和，是等差数列运算问题的常规思路．而法二、法三都突出了整体思想，分别把a1＋d、a11＋a100看成了一个整体，解起来都很方便．‎ ‎(2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这就要求学生要熟练掌握公式，理解其结构特征．‎ ‎　已知{an}为等差数列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a19＋a20＋a21＝________．‎ ‎[解析] 法一：设数列{an}的公差为d，则a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20.‎ 法二：由等差数列的性质，‎ 可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差数列，设此数列公差为D.‎ 所以5＋2D＝10，‎ 所以D＝.‎ 所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20.‎ ‎[答案] 20‎ ‎,　　　　　　　 　　[学生用书P327(独立成册)])‎ ‎1．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　)‎ A．12　　　　　　　　　　　　 B．13‎ C．14 D．15‎ ‎　B　[解析] 设{an}的公差为d，由S5＝⇒25＝⇒a4＝7，所以7＝3＋2d⇒d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.‎ ‎2．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C． D． ‎　B　[解析] 由题知，a2＋a4＝2a3＝2，‎ 又因为a2a4＝，数列{an}单调递增，‎ 所以a2＝，a4＝.‎ 所以公差d＝＝.所以a1＝a2－d＝0.‎ ‎3．在等差数列{an}中，a3＋a5＋a11＋a17＝4，且其前n项和为Sn，则S17为(　　)‎ A．20 B．17‎ C．42 D．84‎ ‎　B　[解析] 由a3＋a5＋a11＋a17＝4⇒2(a4＋a14)＝4⇒a1＋a17＝2，故S17＝＝17.‎ ‎4．(2017·东北三校联考(一))已知数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b2＝12，则a8＝(　　)‎ A．0 B．－109‎ C．－181 D．121‎ ‎　B　[解析] 设等差数列{bn}的公差为d，则d＝－14，因为an＋1－an＝bn，所以a8－a1＝b1＋b2＋…＋b7＝＝[(b2－d)＋(b2＋5d)]＝－112，则a8＝－109.‎ ‎5．(2017·黄冈质检)在等差数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝(　　)‎ A．95 B．100‎ C．135 D．80‎ ‎　B　[解析] 由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.‎ ‎6．(2017·杭州重点中学联考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＜0，a5＞|a4|，则使Sn＞0成立的最小正整数n为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ ‎　C　[解析] 在等差数列{an}中 ，因为a4＜0，a5＞|a4|，所以a5＞0，a5＋a4＞0，S7＝＝＝7a4＜0，S8＝＝＝4(a4＋a5)＞0.‎ 所以使Sn＞0成立的最小正整数n为8，故选C.‎ ‎7．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为________．‎ ‎[解析] am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37.‎ 所以m＝37.‎ ‎[答案] 37‎ ‎8．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝__________．　‎ ‎[解析] 设{an}的公差为d，由题意知 解得所以a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1.‎ ‎[答案] －1‎ ‎9．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则等于________．‎ ‎[解析] 因为a5＝，b5＝，‎ 所以＝＝＝＝＝.‎ ‎[答案] ‎10．记等差数列{an}的前n项和为Sn，当k≥2时，若Sk－1＝8，Sk＝0，Sk＋1＝－10，则Sn的最大值为________．‎ ‎[解析] 当k≥2时，ak＝Sk－Sk－1＝－8，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－10，公差d＝ak＋1－ak＝－2，Sk＝＝0，所以a1＋ak＝0，所以a1＝8，所以an＝－2n＋10，由an＝0得n＝5，所以S4＝S5＝20最大．‎ ‎[答案] 20‎ ‎11．已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n∈N*，n≥2)，数列{bn}满足关系式bn＝(n∈N*)．‎ ‎(1)求证：数列{bn}为等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解] (1)证明：因为bn＝，且an＝，‎ 所以bn＋1＝＝＝，‎ 所以bn＋1－bn＝－＝2.‎ 又b1＝＝1，所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝，所以an＝＝.‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝.‎ ‎12．已知等差数列{an}中，Sn是前n项的和，a1＝－2 017，－＝2，则S2 019的值为________．‎ ‎[解析] 由－＝a1 009－a1 008＝2.‎ 即{an}的公差d＝2，又a1＝－2 017，‎ 所以S2 019＝2 019×(－2 017)＋×2＝2 019.‎ ‎[答案] 2 019‎ ‎13．各项均为正数的数列{an}满足a＝4Sn－2an－1(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和．‎ ‎(1)求a1，a2的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解] (1)当n＝1时，a＝4S1－2a1－1，‎ 即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.‎ 当n＝2时，a＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，‎ 解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．‎ ‎(2)a＝4Sn－2an－1，①‎ a＝4Sn＋1－2an＋1－1.②‎ ‎②－①得a－a＝4an＋1－2an＋1＋2an＝2(an＋1＋an)，‎ 即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)．‎ 因为数列{an}各项均为正数，所以an＋1＋an>0，an＋1－an＝2，‎ 所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．‎ 所以an＝2n－1.‎ ‎14．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，若bn＝an－30，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．‎ ‎[解] 因为2an＋1＝an＋an＋2，所以an＋1－an＝an＋2－an＋1，‎ 故数列{an}为等差数列．‎ 设数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝10，S6＝72得，‎ 解得a1＝2，d＝4.‎ 所以an＝4n－2，则bn＝an－30＝2n－31，‎ 令即 解得≤n≤，‎ 因为n∈N*，所以n＝15，‎ 即数列{bn}的前15项均为负值，所以T15最小．‎ 因为数列{bn}的首项是－29，公差为2，‎ 所以T15＝＝－225.‎